2018年材料閱讀題及答案

1、重慶中考材料閱讀題分類講練含答案類型 1 代數(shù)型新定義問題例1【2021 重慶 A對任意一個(gè)三位數(shù)n,如果n滿足各數(shù)位上的數(shù)字互不一樣，且都不為零，那么稱這個(gè)數(shù)為“相異 數(shù)將一個(gè)“相異數(shù)任意兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字對調(diào)后可以得 到三個(gè)不同的新三位數(shù)， 把這三個(gè)新三位數(shù)的和與 111 的商記 為F(n).例如n= 123,對調(diào)百位與十位上的數(shù)字得到213,對調(diào)百位與個(gè)位上的數(shù)字得到 321，對調(diào)十位與個(gè)位上的數(shù)字得到132，這三個(gè)新三位數(shù)的和為213 + 321 + 132 = 666, 666一111 = 6,所以，F(xiàn)(123) = 6.(1) 計(jì)算：F(243) , F(617);(2) 假設(shè) s,

2、 t 都是“相異數(shù),其中 s= 100x+ 32, t = 150+ y(1 <xw 9, 1< y< 9, x, y 都是正整數(shù))，規(guī)定：k =.當(dāng) F(s) + F(t) = 18時(shí)，求k的最大值.針對訓(xùn)練1 .對于一個(gè)兩位正整數(shù)(0 < ywxw 9,且x、y為正整數(shù))，我 們把十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)的平方和叫做 t 的“平方和 數(shù)，把十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)的平方差叫做 t 的“平方差 數(shù).例如：對數(shù) 62來說，62 + 22= 40, 62- 22= 32,所以40 和 32 就分別是 62 的“平方和數(shù)與“平方差數(shù).(1) 75 的“平方和數(shù)是, 5 可以是的

3、“平方差數(shù)；假設(shè)一 個(gè)數(shù)的“平方和數(shù)為 10,它的“平方差數(shù)為 8,那么這個(gè) 數(shù)是.(2) 求證：當(dāng) xw 9, yw 8 時(shí), t 的 2 倍減去 t 的“平方差數(shù) 再減去 99 所得結(jié)果也是另一個(gè)數(shù)的“平方差數(shù). 將數(shù)t的十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)交換得到數(shù)t ',假設(shè)t與t的“平方和數(shù)之和等于t '與t '的“平方差數(shù)之和， 求 t.2將一個(gè)三位正整數(shù) n 各數(shù)位上的數(shù)字重新排列后 ( 含 n 本 身).得到新三位數(shù)(a v c)，在所有重新排列中，當(dāng)最小時(shí)， 我們稱是n的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)，并規(guī)定F(n) = b2 -.例如215可以重新排列為125、152、215,因?yàn)?/p>

4、=2,= 7,= 5，且2v 5v乙所以125是215的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)，F(xiàn)(215) = 22- 1X5 =-1.(1) F(236)=；(2) 如果在正整數(shù) n 三個(gè)數(shù)位上的數(shù)字中，有一個(gè)數(shù)是另外兩 個(gè)數(shù)的平均數(shù)，求證： F(n) 是一個(gè)完全平方數(shù)； 設(shè)三位自然數(shù) t = 100x + 60 + y(1 <xw 9, K y < 9, x, y 為自然數(shù))，交換其個(gè)位上的數(shù)字與百位上的數(shù)字得到數(shù)t '.假設(shè)t -t '= 693,那么我們稱t為“和順數(shù).求所有“和 順數(shù)中 F(t) 的最大值.3進(jìn)制也就是進(jìn)位制，是人們規(guī)定的一種進(jìn)位方法對于任 何一種進(jìn)制 X 進(jìn)制，

5、就表示某一位置上的數(shù)運(yùn)算時(shí)是逢 X 進(jìn)一位十進(jìn)制是逢十進(jìn)一，十六進(jìn)制是逢十六進(jìn)一，二進(jìn)制 就是逢二進(jìn)一，以此類推，X進(jìn)制就是逢X進(jìn)一.為與十進(jìn)制進(jìn)展區(qū)分，我們常把用 X進(jìn)制表示的數(shù)a寫成(a) x.類比于十進(jìn)制，我們可以知道：X進(jìn)制表示的數(shù)(1111) X中，右 起第一位上的1表示1 x X0,第二位上的1表示1 x X1,第三位 上的1表示1x X2,第四位上的1表示1x X3.故(1111) x= 1x X3 +1 x X2+ 1 x X+1 x X, 即: (1111) x轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制表示的數(shù)為 X3 + 乂 + X1 + X.女口： (1111) 2= 1x2 3 + 1x2 2 +

6、1 x 21+ 1x2 °= 15, (1 1 1 1) 5= 1 x 5 3+ 1 x 5 2 + 1 x 51 + 1 x 50,完成以下問題：(1) 把以下進(jìn)制表示的數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制表示的數(shù)：(101011)2 =; (302) 4=; (257) 7=(2) 假設(shè)一個(gè)五進(jìn)制三位數(shù) (a4b) 5與八進(jìn)制三位數(shù) (4) 8 之和能 被13整除(1 < aw 5, K b< 5,且a、b均為整數(shù))，求a的值;(3) 假設(shè)一個(gè)六進(jìn)制數(shù)與一個(gè)八進(jìn)制數(shù)之和為 666，那么稱這兩個(gè)數(shù)互為“如意數(shù),試判斷(1) 6與(5) 8是否互為“如意數(shù)？假設(shè)是,求出這兩個(gè)數(shù);假設(shè)不是,說明

7、理由4.我們知道,任意一個(gè)正整數(shù) n 都可以進(jìn)展這樣的分解： n= px q(p , q是正整數(shù)，且pw q)，在n的所有這種分解中，如 果p，q兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱pXq是n的最正確分解.并規(guī)定：F(n)=.例如12可以分解成1X 12, 2 x 6或 3X4,因?yàn)?2- 1>6-2>4-3，所以3X4是12的最正確分 解,所以 F(12) =.(1)如果一個(gè)正整數(shù) m是另外一個(gè)正整數(shù) n的平方，我們稱正 整數(shù)m是完全平方數(shù).求證：對任意一個(gè)完全平方數(shù)m總有F(m) = 1.如果一個(gè)兩位正整數(shù) t , t = 10x + y(1 <xw yw 9, x, y為

8、自然數(shù) ) ，交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原 來的兩位正整數(shù)所得的差為 36，那么我們稱這個(gè)數(shù) t 為“桔祥 數(shù)，求所有“桔祥數(shù)；(3) 在(2) 所得的“桔祥數(shù)中，求 F(t) 的最大值類型 2 函數(shù)型新定義問題例2 一個(gè)大于1的正整數(shù)t可以分解成t =+ b2的形式（其中 awc, a, b, c均為正整數(shù)），在t的所有表示結(jié)果中，當(dāng)取 得最小值時(shí)，稱“+ b2”是t的“等比中項(xiàng)分解，此時(shí)規(guī)定：P（t）=,例如：7 = 1X6+ 12 = 2X3+ 12 = 1X3+ 22, 1X 6 1X1 >2X 3 2X 1> 1X 3 1X2, 所以 2X 3+ 12是

9、7 的“等比中項(xiàng)分解，P=(1) 假設(shè)一個(gè)正整數(shù)q = m+ n2，其中m n為正整數(shù)，那么稱q 為“偽完全平方數(shù)，證明：對任意一個(gè)“偽完全平方數(shù) q 都有P (q)=.假設(shè)一個(gè)兩位數(shù)s = 10x + y( K y< x< 5,且x, y均為自然 數(shù)) ，交換原數(shù)十位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字得到的新數(shù)的兩 倍再加上原數(shù)的 14 倍，結(jié)果被 8 除余 4，稱這樣的數(shù) s 為“幸 福數(shù)，求所有“幸福數(shù)的 P(s) 的最大值針對訓(xùn)練1. 如果關(guān)于x的一元二次方程先閱讀以下材料，再解答以下問題： 材料：因式分解： (x + y) 2+ 2(x + y) + 1.解：將“ x+ y看成整體，

10、令x + y= A,那么原式=A + 2A+ 12 =(A+1)2. + + c = 0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其 中一個(gè)根為另一個(gè)根的 2 倍，那么稱這樣的方程為“倍根方 程，以下關(guān)于倍根方程的說法： 方程X2 x-2= 0是倍根方程； 假設(shè)(x 2)( + n) = 0是倍根方程，那么4卅+ 5+ n2= 0; 假設(shè)點(diǎn)(p , q)在反比例函數(shù)y =的圖象上，那么關(guān)于 x的方 程 2+ 3x+ q= 0 是倍根方程其中正確的選項(xiàng)是 (寫出所有正確說法的序號(hào) )再將“A復(fù)原，得原式=(x + y + 1)2.上述解題中用到的是“整體思想， 整體思想是數(shù)學(xué)解題中常 用的一種思想方法，請你解答以下問題：

11、(1) 因式分解：1 + 2(x - y) + (x -y)2=; 因式分解：(a + b)(a + b-4) + 4=;(3) 證明：假設(shè) n 為正整數(shù)，那么式子 (n1)(n 2)(n 23n) 1 的值一定是某一個(gè)整數(shù)的平方3. 假設(shè)三個(gè)非零實(shí)數(shù) x，y，z 滿足：只要其中一個(gè)數(shù)的倒數(shù)等于另外兩個(gè)數(shù)的倒數(shù)的和，那么稱這三個(gè)實(shí)數(shù)x，y，z 構(gòu)成“和諧三數(shù)組(1) 實(shí)數(shù) 1，2，3 可以構(gòu)成“和諧三數(shù)組嗎？請說明理由；(2) 假設(shè) M(t, yi) , N(t + 1, y2), R(t + 3,肩 三點(diǎn)均在函數(shù) y =(k為常數(shù)，kz 0)的圖象上，且這三點(diǎn)的縱坐標(biāo) yi, y2, ys

12、構(gòu)成“和諧三數(shù)組，求實(shí)數(shù) t 的值； 假設(shè)直線y = 2+ 2c(工0)與x軸交于點(diǎn)A(xi, 0),與拋物線 y =2 + 3 + 3c(a 工 0)交于 B(x2, y2), C(xs, ys)兩點(diǎn). 求證：A, B, C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)xi, X2, xs構(gòu)成“和諧三數(shù)組； 假設(shè)a>2b>3c, X2= 1，求點(diǎn)P(,)與原點(diǎn)O的距離的取值 范圍.4. 假設(shè)一個(gè)整數(shù)能表示成a2b2(a，b 是整數(shù))的形式，那么 稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù).例如， 5是“完美數(shù)，因?yàn)?5 = 22 + 12.再如，M= x2+ 2+ 2y2 = (x + y)2+ y2(x , y 是整數(shù))，所以 M 也

13、是“完美數(shù).(1) 請你再寫一個(gè)小于 10的“完美數(shù)，并判斷 29是否為“完 美數(shù).22(2) S =x24y24x12yk(x ， y 是整數(shù)， k 是常數(shù) )，要使 S 為“完美數(shù)，試求出符合條件的一個(gè) k 值，并說明理由.(3) 如果數(shù) m， n 都是“完美數(shù)，試說明也是“完美數(shù).5. 假設(shè)將自然數(shù)中能被 3 整除的數(shù)，在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)稱為“3倍點(diǎn) P,取任意的一個(gè)“3倍點(diǎn) P,到點(diǎn)P距離為1的 點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)分別記為 a, b.定義：假設(shè)數(shù)K= a2 + b2，那么 稱數(shù) K 為“尼爾數(shù)例如：假設(shè) P 所表示的數(shù)為 3，那么 a =2, b= 4,那么K= 22 + 42 2 X 4=

14、12;假設(shè)P所表示的數(shù)為 12,那么 a= 11, b= 13,那么 K= 132+ 112 13X 11= 147,所 以 12, 147 是“尼爾數(shù)(1) 請直接判斷 6和39是不是“尼爾數(shù), 并且證明所有“尼 爾數(shù)一定被 9 除余 3;(2) 兩個(gè)“尼爾數(shù)的差是 189,求這兩個(gè)“尼爾數(shù)類型 3 整除問題例3我們知道，任意一個(gè)大于1的正整數(shù)n都可以進(jìn)展這樣的 分解：n= p+ q(p、q是正整數(shù)，且pw q)，在n的所有這種分 解中，如果 p、 q 兩數(shù)的乘積最大，我們就稱 pq 是 n 的最正 確分解.并規(guī)定在最正確分解時(shí)：F(n)=.例如6可以分解成1 + 5 或 2+ 4 或 3+

15、 3,因?yàn)?1X 5<2X 4<3X 3,所以 3+ 3 是 6 的最正確分解，所以 F(6) = 3X 3= 9.(1) 求 F(11) 的值；(2) 一個(gè)正整數(shù),由 N 個(gè)數(shù)字組成,假設(shè)從左向右它的第一位 數(shù)能被 1 整除,它的前兩位數(shù)被 2 除余 1,前三位數(shù)被 3 除余 2,前四位數(shù)被4除余3,，一直到前N位數(shù)被N除余(N - 1), 我們稱這樣的數(shù)為“多余數(shù) 如： 236 的第一位數(shù)“ 2”能被1 整除,前兩位數(shù)“ 23”被 2 除余 1,“236”被 3 除余 2,那么 236 是一個(gè)“多余數(shù)假設(shè)把一個(gè)小于 200 的三位“多余 數(shù)記為 t ，它的各位數(shù)字之和再加 1

16、為一個(gè)完全平方數(shù)，請 求出所有“多余數(shù)中 F(t) 的最大值針對訓(xùn)練1. 一個(gè)正整數(shù)，由 N 個(gè)數(shù)字組成，假設(shè)從左向右它的第一位 數(shù)可以被 1 整除，它的前兩位數(shù)可以被 2 整除，前三位數(shù)可以 被3整除，一直到前 N位數(shù)可以被N整除，那么這樣的數(shù) 叫做“精巧數(shù) 如：123 的第一位數(shù)“ 1”可以被 1 整除， 前 兩位數(shù)“12”可以被 2整除，“123”可以被 3整除，那么 123 是一個(gè)“精巧數(shù)(1) 假設(shè)四位數(shù) 123k 是一個(gè)“精巧數(shù)，求 k 的值；(2) 假設(shè)一個(gè)三位“精巧數(shù) 2 各位數(shù)字之和為一個(gè)完全平方 數(shù)，請求出所有滿足條件的三位“精巧數(shù)2. 人和人之間講友情，有趣的是，數(shù)與數(shù)之

17、間也有相類似的 關(guān)系假設(shè)兩個(gè)不同的自然數(shù)的所有真因數(shù)( 即除了自身以外的正因數(shù) ) 之和相等，我們稱這兩個(gè)數(shù)為“親和數(shù)例如：18 的正因數(shù)有 1、2、3、6、 9、18，它的真因數(shù)之和為 12+ 3+ 6+ 9= 21; 51的正因數(shù)有1、3、17、51,它的真因數(shù)之 和為1 + 3+ 17= 21,所以稱18和51為“親和數(shù).數(shù)還可以 與動(dòng)物形象地聯(lián)系起來，我們稱一個(gè)兩頭 (首位與末位 ) 都是 1 的數(shù)為“兩頭蛇數(shù)例如： 121、 1351 等(1)8 的真因數(shù)之和為； 求證：一個(gè)四位的“兩頭蛇數(shù)與它去 掉兩頭后得到的兩位數(shù)的 3倍的差，能被 7 整除；(2) 一個(gè)百位上的數(shù)為 4 的五位

18、“兩頭蛇數(shù)能被 16 的“親和 數(shù)整除， 假設(shè)這個(gè)五位“兩頭蛇數(shù)的千位上的數(shù)字小于十 位上的數(shù)字，求滿足條件的五位“兩頭蛇數(shù)3. 材料 1：將分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式 ( 分子為整數(shù) ) 的和的形式解：=x 2+, 這樣，分式就拆分成一個(gè)整式 x 2 與一個(gè)分式的和的形式材料 2：一個(gè)能被 11 整除的個(gè)位與百位一樣的三位整數(shù) 100x+ 10y + x，且 Kxw4,求y與x的函數(shù)關(guān)系式.解：T = = 9x + y +,又 v 1wxw 4, 0w y w 9，二7w 2xyw 8,還要使為整數(shù)，二 2x y = 0.(1) 將分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分子為整數(shù)的分式的和的形 式,那么

19、結(jié)果為；(2) 整數(shù) x 使分式的值為整數(shù),那么滿足條件的整數(shù) x=；(3) 一個(gè)六位整數(shù) 2021 能被 33 整除,求滿足條件的 x, y 的值.4. 在任意n(n>1且n為整數(shù))位正整數(shù)K的首位后添加6得到 的新數(shù)叫做K的“順數(shù)，在K的末位前添加6得到的新數(shù)叫 做 K 的“逆數(shù).假設(shè) K 的“順數(shù)與“逆數(shù)之差能被 17 整除,稱 K 是“最正確拍檔數(shù).比方 1324 的“順數(shù)為 16324,1324 的“逆數(shù)為 13264,1324 的“順數(shù)與“逆數(shù) 之差為 16324 13264= 3060, 3060一 17= 180,所以 1324 是“最正確拍檔數(shù).(1) 請根據(jù)以上方法判

20、斷 31568( 填“是或“不是 )“最正 確拍檔數(shù)；假設(shè)一個(gè)首位是 5 的四位“最正確拍檔數(shù) N, 其個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和為 8,且百位數(shù)字不小于十位數(shù)字,求所有符合條件的 N 的值；(2) 證明：任意三位或三位以上的正整數(shù) K 的“順數(shù)與“逆 數(shù)之差一定能被 30 整除5. 假設(shè)整數(shù)a能被整數(shù)b整除，那么一定存在整數(shù)n,使得=n,即a=.例如：假設(shè)整數(shù)a能被整數(shù)7整除，那么一定存在整數(shù)n，使得a = 7n.(1) 將一個(gè)多位自然數(shù)分解為個(gè)位與個(gè)位之前的數(shù),讓個(gè)位之 前的數(shù)減去個(gè)位數(shù)的兩倍，假設(shè)所得之差能被 7 整除，那么原 多位自然數(shù)一定能被 7 整除例如：將數(shù)字 1078 分解為 8

21、和 107, 107-8X2= 91，因?yàn)?1能被7整除，所以1078能被7 整除，請你證明任意一個(gè)三位數(shù)都滿足上述規(guī)律(2) 假設(shè)將一個(gè)多位自然數(shù)分解為個(gè)位與個(gè)位之前的數(shù)，讓個(gè)位之前的數(shù)加上個(gè)位數(shù)的 k(k為正整數(shù)，K kw 5)倍，所得之 和能被 13整除，求當(dāng) k 為何值時(shí)使得原多位自然數(shù)一定能被 13 整除參考答案例 1.解：(1) F(243) = (423 + 342 + 234) 一 111= 9, F(617) = (167 + 716 + 671) 一 111= 14.v s, t都是“相異數(shù)，二 F( s) = (302 + 10x + 230 + x+ 100x + 23

22、) -111= x + 5,F(t) = (510 + y+ 100y + 51 + 105+ 10y) 111= y + 6,F(s) + F(t) = 18, x + 5 + y + 6 = x + y + 11 = 18, x + y = 乙t 1w xw 9, 1< yw 9, x, y都是正整數(shù)，或或或或或2： s是“相異數(shù)，xm2, xm3, t t是“相異數(shù)，yM 1, yM 5，或或或或k=或 k = 1 或 k= = , k 的最大值為 . 針對訓(xùn)練1 解： 1 74； 32； 31(2) 證明：令 t = 10x+ y,222(10x+y) (x2y2)992 2 2

23、 2= 20x+ 2yx2+ y299=(y2+ 2y+ 1) (x220x+ 100) = (y22+ 1) (x10) , t 的 2 倍減去 t 的“平方差數(shù)再減去 99所得結(jié)果是另一個(gè) 數(shù)的“平方差數(shù)令t =, t =,由題意知： 10x+ y+ x2+ y2= 10y+ x+ y2x2,22所以 9x9y+ 2x2= 0, 9(xy) + 2x2= 0,2tx y>0, 2x >0, x = y= 0.故 t = 0.2. 解：(1) F(236) = 3(2) 證明：設(shè)這個(gè)正整數(shù) n 三個(gè)數(shù)位上的數(shù)字分別為：x, y.t + c 2最小時(shí)，我們稱是n的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)，F(xiàn)(

24、 n) = b2 . F(n) 為一個(gè)完全平方數(shù)； t = 100x+ 60+ y, t'= 100y + 60 + x,：t 1'= 99x 99y= 693,二 99( x y) = 693, x y= 7, x = y+ 7,iw xw 9, 1 w yw 9,. 1 w y + 7w 9,. 1w yw 2,或二 t = 861 或 t = 962,當(dāng)t = 861時(shí)，可以重新排列為168, 186, 618.v |1 + 8 2X 6| = 3, |1 + 6 2X 8| = 9, |6 + 8 2X 1| = 12,. 168 為 861 的“調(diào)和優(yōu)選數(shù), F(86

25、1) = 6X 6 1X 8= 28;當(dāng)t = 962時(shí)，可以重新排列為 269, 296, 629,v |2 + 9 2X6| = 1, |2 + 6 2X 9| = 10, |6 + 9 2X 2| = 11,. 269 為 962 的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)，二 F(962) =6X 6 2X 9= 18.所有“和順數(shù)中F(t)的最大值為28. 解：1 43; 50; 1401 2 2(2) b + 4X51+ aX52 + 4+ ax8+ bX 82= 33a + 65b+ 24= 13(2a +5b+1)+7a+11,13整除 7a+11,而 1 w aw 5, 1 w bw 5, 18w 7a

26、 + 11w46,. 7aa=(舍去)或 4,. a= 4.(3) (1) 6+(5) 8=1+6m+36m+5+8n+64n= 6+ 42m+ 72n.假設(shè)互為“如意數(shù)，那么 6+ 42m+ 72n= 666， 7m+ 12n= 110,此時(shí)m必為偶數(shù)，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng) m= 2, n= 8 時(shí)，7m+ 12n= 110,這兩個(gè)數(shù)為 85 和 581.4. (1)證明：對任意一個(gè)完全平方數(shù) m設(shè)m= a 由題意,得 2(10y+x)+14(10x+y)=8k+4(k 為整數(shù)), 即： 142x+ 34y= 8k+ 4. 8(18x+ 4y) + 2y 2x 4= 8k, 2(y x 2)是8的倍數(shù)

27、，二y x 2是4的倍數(shù).又/ K ywxW5且x, y均為自然數(shù)， 6w y x 2w 2,二 y x 2= 4,(a為正整數(shù)),= 0,二ax a是m的最正確分解，對任意一個(gè)完全平方數(shù) m總有F( m = = 1.(2) 設(shè)交換t的個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t '，那么t'= 10y + x, v t是“桔祥數(shù)， t ' t = (10y+ x) (10x + y) = 9(y x) = 36, y= x + 4,v 1< x<y< 9, x, y 為自然數(shù)， 滿足“桔祥數(shù)的有 15， 26， 37， 48， 59.(3) F(15) =,

28、 F(26) =, F(37) =, F(48) = = , F(59) =.v >>>>,所有“桔祥數(shù)中,F(t) 的最大值是 .類型二例2解：(1)證明：v a< c, a, b, c為正整數(shù), .=b( c a)0.又 q= m+ n2= m- m+ n2, 令 n= b, m= a= c, 那么此時(shí)最小為 0, 故m- m+ n2是q的“等比中項(xiàng)分解， P(q) = .二 x= y+ 2,二 s= 31, 42, 53.t= b(c a)，且 a, b, c 為正整數(shù)，a< c, 二當(dāng)b越小，c a的差越小，b(c a)越小.當(dāng) s= 31 時(shí)，31

29、 = 5X6+ 1 M（t，） ，N（t +1，） ，R（t + 3，） ，且，構(gòu)成“和諧三數(shù),那么 R31)=;當(dāng) s= 42 時(shí), 42 = 2X 3+ 62,那么 P(42)=;當(dāng) s = 53 時(shí)，53= 7X 7+ 22或 53 = 2X 2+ 72,那么 P(53) =.>>,. P(s)=.針對訓(xùn)練1. 2. 解：(1)1 +2(xy) +(xy) 2= (x y+1) 2;令 A= a+ b,那么原式變?yōu)?A(A 4) + 4= A2 4A+ 4= (A 2)2,故(a+ b)( a+ b 4) + 4 = (a+ b 2)2；(3) 證明： (n+1)( n+2)

30、( n2+3n) + 12= (n2+ 3n)( n+ 1)( n+ 2) + 1 = (n2+ 3n)( n2+ 3n+ 2) + 1222=(n2+ 3n)2+ 2(n2+3n)+ 122= (n2+ 3n+ 1) 2,v n為正整數(shù)， n2+ 3n+ 1 也為正整數(shù),代數(shù)式 (n+ 1)( n+2)( n2+3n) + 1 的值一定是某一個(gè)整數(shù)的 平方.3. 解：（1） v1, 2, 3 的倒數(shù)分別為 1,且 1>>. v +工1,二1, 2, 3不可以構(gòu)成“和諧三數(shù)組.4；=2； = 2.組 假設(shè)=+ ,得2t + 4= t，得t 假設(shè)=+，得2t + 3= t + 1，得

31、t 假設(shè)=+，得2t + 1 = t + 3，得t 綜上， t 的值為 4或2或 2.證明：a, b, c均不為0,二xi, X2, xs都不為0,令y = 2+ 2c= 0，那么 x1=， 聯(lián)立整理得： + c= 0./ X2 + X3= , X2 X3=,.+ = = =, A, B, C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)xi, X2, X3構(gòu)成“和諧三數(shù)組.X2= 1,. a + b+ c = 0,. c = a b.a>2b>3c,. a>2b>3( a b)，且 a>0，整理得 vv且工 0. V P(,),2 2 2 2 2 2. 2=() 2+() 2=() 2+() 2

32、=2(+)2+，令 m=，那么vmv且 什0,那么 2= 2(m+ )2+,v 2>0,.當(dāng)一vmv時(shí)，2隨m的增大而減小，當(dāng)m=時(shí)，2有最大值 ，當(dāng)m=時(shí)，2有最小值；當(dāng)vmv：且m0時(shí)，2隨m的增大而增大，當(dāng) m=時(shí)，2有最 小值，當(dāng)m=時(shí)，2有最大值，且 $工 1 ,.w v且工 1. 解： (1)( 答案不唯一 )0, 1, 2, 4, 8, 9 均可因?yàn)?29= 52+ 22,所以 29 是“完美數(shù)；(2) 當(dāng) k= 13 時(shí), S= x2+ 4y2+ 4x 12y+ 13= x2+ 4x+ 4+ 4y2 12y+ 9= (x+ 2) 2+ (2y 3) 2,V x, y 是整

33、數(shù),. x+ 2, 2y 3 也是整數(shù),. S 是一個(gè)“完美數(shù) v m與 n 都是“完美數(shù)，二設(shè) m= a2 + b2, n= c2 + d2(a, b, c, d 都是整數(shù) ) ,那么= (a2+ b2)( c2+ d2) = a2c2+ a2d2+ b2c2+ b2d2=a2c2 + 2 + b2d2 + b2c2 2 + a2d222=(+ ) + ().t a, b, c, d是整數(shù)，+與都是整數(shù)，二也是“完美數(shù).5. 解：(1)6 不是“尼爾數(shù)； 39 是“尼爾數(shù)；設(shè)a= 3n+1, b = 3n 1(其中n為自然數(shù))，K= (3n+ 1)2+ (3n 1)2 (3n+ 1)(3 n

34、 1)=2X9 n2 + 2X 1 (9 n2 1) = 9n2 + 3,所有“尼爾數(shù)一定被 9除余3.(2) 設(shè)這兩個(gè)“尼爾數(shù)分別為 9m2+ 3, 9n2+ 3,其中 m n 為整數(shù)，那么(9 ni+ 3) (9 n2+ 3) = 189, 22m n = 21. ( n+ n)( m- n) = 1X 21 或 3X 7.二或解得或當(dāng) m= 11, n= 10 時(shí)，9m+ 3=9X 112 + 3 = 1092,229n2+3=9X102+3=903.當(dāng) m= 5, n= 2 時(shí), 9m2+ 3= 9X52+ 3= 228, 229n + 3= 9X2+ 3= 39.答：這兩個(gè)“尼爾數(shù)分

35、別是 1092 和 903 或 228 和 39.例3. 解：(1)11 =1+10=2+9=3+8=4+7=5+6,且 1X 10<2X 9<3X 8<4X 7<5X 6, 所以 F(11) = 5X 6= 30.(2) 設(shè)此數(shù)為 1 ,由題可得10+ b= 2m+1，由得：10+ b為奇數(shù)，所以b為奇數(shù); 100+ 10b + c = 3n + 2，由得：1 + b+ c + 1 是 3 的倍數(shù);1 + b+ c +1 = k2.(其中m n, k為整數(shù))又因?yàn)?1w bw 9, 1w cw 9,所以 4w 1 + b+ c + 1w 20, 所以1 + b+ c+

36、 1只能等于9, 即卩b+ c = 7. 所以當(dāng)b= 1時(shí)，c = 6,此數(shù)為116.當(dāng) b= 3 時(shí)， c= 4，此數(shù)為 134；當(dāng)b= 5時(shí)，c = 2,此數(shù)為152;當(dāng)b= 7時(shí)，c = 0,此數(shù)為170; 當(dāng) b= 9 時(shí),舍去；所以 F(t) = F(170) = 85X 85= 7225.針對訓(xùn)練1. 解：(1) T四位數(shù)123k是一個(gè)“精巧數(shù)，二1230 + k是4的倍數(shù)；即 1230+ k= 4n,當(dāng) n= 308 時(shí), k= 2；當(dāng) n= 309 時(shí), k= 6,二 k= 2 或 6;v 2是“精巧數(shù)，二a為偶數(shù)，且2 + a+ b是3的倍數(shù)，/ av 10, bv 10,二 2+ a+ bv 22,v各位數(shù)字之和為一個(gè)完全平方數(shù)，2二 2+ a+ b= 3 = 9,當(dāng) a= 0 時(shí)，b= 7；當(dāng) a= 2 時(shí)，b= 5；當(dāng) a= 4 時(shí)，b= 3； 當(dāng) a= 6 時(shí), b= 1 ,所有滿足條件的三位“精巧數(shù)有： 207, 225, 243, 261.2. 解： (1) 證明：設(shè)這個(gè)四位“兩頭蛇數(shù)為 11,由題意,得 113=1001+100a+10b30a3b= 1