微分方程求解

1、(1)(2)(3)(4)第一節(jié)微分方程的基本概念學習目的：理解并掌握微分方程的基本概念， 主要包括微分方程的階，微分方程的通解、特解及微分方程的初始條件等學習重點：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始條件 學習難點：微分方程的通解概念的理解學習內(nèi)容：1、首先通過幾個具體的問題來給出微分方程的基本概念。(1) 一條曲線通過點(1，2)，且在該曲線上任一點M (x,y)處的切線的斜率為2x，求這條曲線的方程。解 設(shè)曲線方程為y = y(x) 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知函數(shù) y = y(x)滿足dy c2xdx同時還滿足以下條件：x =1 時，y = 2把(1)式兩端積分，得y = 2xdx

2、 即 y = x2 C其中C是任意常數(shù)。把條件(2)代入(3)式，得C =1，由此解出C并代入(3)式，得到所求曲線方程：2y 二 x 亠 1(2)列車在平直線路上以20 m / s的速度行駛；當制動時列車獲得加速度- 0.4m / s2.問開始制動后多少時間列車才能停住，以及列車在這段時間里行駛了多少路程？解 設(shè)列車開始制動后t秒時行駛了 s米。根據(jù)題意，反映制動階段列車運動規(guī)律的函數(shù)s = s( t)滿足：2d s2 =_0.4 dt此外，還滿足條件:(5)(12)t =0 時，s =0,v =竺=20dt（5）式兩端積分一次得:dsv0.4t 亠 C1dt(7)再積分一次得s - -0.

3、2t-C1t C2(8)其中C1,C2都是任意常數(shù)。把條件“ t = 0時v =20和“ t = 0時s = 0 ”分別代入（7）式和（8）式，得6 =20,C2 二 0(12)(12)把Ci ,C2的值代入（7）及（8）式得v 二-0.4t - 20,（ 9）2s = -0.2t - 201（10）在（9）式中令v =0，得到列車從開始制動到完全停止所需的時間：20t = 二 50 （s）。0.4再把t =5代入（10）式，得到列車在制動階段行駛的路程2 ,s = -0.2502050 = 500 （m）.上述兩個例子中的關(guān)系式（1 ）和（5）都含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，它們都是微分方程。2、定義

4、 一般地，凡表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系到的方程，叫做微分方程。未知函數(shù)是一元函數(shù)的方程叫做常微分方程；未知函數(shù)是多元函數(shù)的方程，叫做偏微分方程。本章只討論常微分方程。微分方程中所出現(xiàn)的求知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，叫做微分方程的階。例如，方程（1）是一階微分方程；方程（5）是二階微分方程方程。又如，方程y（4 ）_4y+10 y_12 y+5y = sin 2x是四階微分方程。一般地，n階微分方程的形式是(11)（n）.F （x, y , y , y ）=0,其中F是個n 2變量的函數(shù)。這里必須指出，在方程（11）中，y（n）是必須出現(xiàn)的，而(nx, y, y, y丄）等變量

5、則可以不出現(xiàn)。例如n階微分方程中，除y（n）夕卜,其他變量都沒有出現(xiàn)。如果能從方程（11）中解出最高階導(dǎo)數(shù),得微分方程(n)(n _)且（12）y =f(x,y, y, ,y ).以后我們討論的微分方程都是已解出最高階導(dǎo)數(shù)的方程或能解出最高階導(dǎo)數(shù)的方程, 式右端的函數(shù)f在所討論的范圍內(nèi)連續(xù)。由前面的例子我們看到，在研究某些實際問題時，首先要建立微分方程，然后找出滿足 微分方程的函數(shù)，就是說，找出這樣的函數(shù)，把這函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等式。這個函數(shù)就叫做該微分方程的解。確切地說，設(shè)函數(shù)y二（X）在區(qū)間I上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，如果在區(qū)間I上，F(xiàn) xW（x）, （x），狀 lx）三0,那么函數(shù)

6、y =（X）就叫做微分方程（11）在區(qū)間I上的解。例如，函數(shù)（3）和（4）都是微分方程（1）的解；函數(shù)（8）和（10）都是微分方程（5） 的解。如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解。例如，函數(shù)（3）是方程（1）的解，它含有一個任意常數(shù)，而方程（1 ）是一階的，所以函數(shù)（3）是方程（1）的通解。又如，函數(shù)（8）是方程的解，它含有 兩個任意常數(shù)，而方程（5）是二階的，所以函數(shù)（8）是方程（5）的通解。由于通解中含有任意常數(shù)，所以它還不能完全確定地反映某一客觀事物的規(guī)律性，必須確定這些常數(shù)的值。為此，要根據(jù)問題的實際情況提出確定這些常數(shù)的條

7、件。例如，例1中的條件（2），例2中的條件（6），便是這樣的條件。設(shè)微分方程中的未知函數(shù)為y二y（x），如果微分方程是一階的，通常用來確定任意常數(shù)的條件是X = X 0 時，y = y 0，或?qū)懗蓎 |x n0 = yo其中X。, y0都是給定的值；如果微分方程是二階的，通常用來確定任意常數(shù)的條件是:x = X。時，y = y。，y = y?；?qū)懗蓎Lmy。， yLm。二 y。其中X0，y。和y。都是給定的值。上述條件叫做 初始條件。確定了通解中的任意常數(shù)以后，就得到了微分方程的特解。例如（4）式是方程（1）滿足條件（2）的特解；（10）式是方程（5）滿足條件（6）的特解。求微分方程y = f

8、（x,y）滿足初始條件 y |x=x。二y o的特解這樣一個問題，叫 做一階微分方程的 初值問題，記作f（x,y）,丿,（13）y 1X 三。=y0 .微分方程的解的圖形是一條曲線，叫做微分方程的積分曲線。初值問題（13）的幾何意義是求微分方程的通過點（x。，y。）的那條積分曲線。二階微分方程的初值問題V= f （x,y,y）,y lx# = y。，ylx# = y。的幾何意義是求微分方程的通過點（X。, y0）且在該點處的切線斜率為y。的那條積分曲線。3、例題(14)(15)例1 驗證：函數(shù)x = Ct cos kt C2 sin kt是微分方程k22-k C! cos kt - k C2

9、sin kt - -k (6 cos kt C2 sin kt)xdt的解。解求出所給函數(shù)（14）的導(dǎo)數(shù)dx2d x2dt=-kCt sin kt kC 2 cos kt, dt2把d x及x的表達式代入方程(15)得dt222小k (C i cos kt C 2 sin kt) + k (C1 cos kt C 2 sin kt)三 0(15)特解函數(shù)(14)及其導(dǎo)數(shù)代入方程(15)后成為一個恒等式，因此函數(shù)(14)是微分方程的解。小結(jié)：本節(jié)講述了微分方程的基本概念，及一般形式，常微分方程的通解、及微分方程的初始問題第二節(jié)可分離變量的微分方程學習目的：熟練掌握可分離變量的微分方程的解法 學習

10、重點：可分離變量的微分方程的解法學習難點：可分離變量的微分方程的解法 學習內(nèi)容：本節(jié)開始，我們討論一階微分方程(1)y 丨 f (x, y)的一些解法.一階微分方程有時也寫成如下的對稱形式：P (x , y)dx Q (x, y )dy 二 0在方程(2)中，變量x與y對稱，它既可以看作是以為 x自變量、y為未知函數(shù)的方程dy = _ P(x, y) dx Q(x, y)(Q (x, y) = 0),也可看作是以x為自變量、y為未知函數(shù)的方程dx = Q(x, y) dy P(x, y)(P(x,y) =0),在第一節(jié)的例1中，我們遇到一階微分方程dy c2 x，dxdy = 2 x d x把

11、上式兩端積分就得到這個方程的通解:dydx=2xy（3）3）的右端含有未知但是并不是所有的一階微分方程都能這樣求解。例如，對于一階微分方程就不能像上面那樣直接兩端用積分的方法求出它的通解。原因是方程（ 函數(shù)y積分_ 22 xy dxdx求不出來。為我解決這個困難，在方程（3）的兩端同時乘以 篤，使方程（3）變?yōu)閥2dy2 = 2xdx ， y這樣，變量x與y已分離在等式的兩端，然后兩端積分得1 2x Cy或y = -二（4）x +C其中C是任意常數(shù)?？梢则炞C，函數(shù)（4）確實滿足一階微分方程（3），且含有一個任意常數(shù)，所以它是方程（3）的通解。一般地，如果一個一階微分方程能寫成g（y）dy 二

12、f （x）dx（5）的形式，就是說，能把微分方程寫成一端只含y的函數(shù)和dy ,另一端只含x的函數(shù)和dx，那么原方程就稱為可分離變量的微分方程。假定方程（5）中的函數(shù)g（y）和f （x）是連續(xù)的，設(shè)y V：（x）是方程的解，將它代入（5）中得到恒等式g （X）（x）dx 二 f （x）dx.將上式兩端積分，并由y二（x）引進變量y ,得.g(y)dy= f (x) dx(6)設(shè)G（y）及F （x）依次為g （y）和f （x）的原函數(shù)，于是有G(y) =F (x) C因此，方程（5）滿足關(guān)系式（6）。反之，如果y =6（x）是由關(guān)系到式（6）所確定的隱函數(shù)，那么在g（y） =0的條件下，y - G

13、（x）也是方程（5）的解。事實上，由隱函數(shù)的求導(dǎo)法可知，當g （y） = 0時，G(x)F(x) _ f (x)G(y) g(y)這就表示函數(shù)y -:：（x）滿足方程（5） o所以如果已分離變量的方程（5）中g(shù) （y ）和f （x）是連續(xù)的，且g（y）工0，那么（5）式兩端積分后得到的關(guān)系式 （6）,就用隱式給出了方程 （5） 的解，（6）式就叫做微分方程 （5）的隱式解。又由于關(guān)系式（6）中含有任意常數(shù)，因此（6） 式所確定的隱函數(shù)是方程（5）的通解，所以（6）式叫做微分方程（5）的隱式通解。例1求微分方程dy-2xy（7）dx的通解。解 方程（7）是可分離變量的，分離變量后得dy2xdxy

14、兩端積分I - = 2xd xy2得In y = x +6 ,成正比。已知t =0時鈾的含量為M 0，求在衰變過程中含量 M （t）隨時間變化的規(guī)律。解鈾的衰變速度就是M （t）對時間t的導(dǎo)數(shù)虬。由于鈾的衰變速度與其含量成正dt比，得到微分方程如下dMM ,（ 8）dt其中. 0）是常數(shù)，叫做衰變系數(shù)。 前的負號是指由于當t增加時M單調(diào)減少，即虬=： 0的緣故。dt由題易知，初始條件為M k 蘭二 M 方程（8）是可以分離變量的，分離后得dM-dt.M兩端積分=- dt. M尸以InC表示任意常數(shù)，因為M .0,得In M - -，t Tn C ,是方程（8）的通解。以初始條件代入上式，解得M

15、 0 = Ce = C故得M 二 M0e-由此可見，鈾的含量隨時間的增加而按指數(shù)規(guī)律衰落減。小結(jié)：本節(jié)講述了一階微分方程中可分離變量的微分方程，及其解法第三節(jié)齊次方程學習目的：熟練掌握齊次微分方程的解法學習重點：齊次方程的解法學習難點：齊次方程的解法學習內(nèi)容:1、齊次方程的形式如果一階微分方程yj f (x,y)中的函數(shù)f (x, y)可寫成的函數(shù)，即f (x, y)=()，則稱這方程為 齊次方程。例如xx(x y)dx (yx)dy =0是齊次方程，因為其可化為dyx ydxx y2、齊次方程(1)yf (x,y)八)x的解法。作代換u = Y，貝y yx從而分離變量得兩端積分得=ux，于是

16、dyduxu.dxdxd u.x u = (u), d xdu“u)_u二 ?dxxdudx：(u) - uxdudx1= fu) _ux求出積分后，再用 丄代替u，便得所給齊次方程的通解。如上例xdu1 亠 ux u =dx1 - u分離變量，得(1 亠 u )dudx1 u 2 x積分后，將u = y代回即得所求通解。x例1 解方程xy，y (1 In y - ln x)。解原式可化為dyyy、(1 - in ),dxxxyd y du令 u =，貝yx u ,xd x于是分離變量兩端積分得即故方程通解為3、練習“ 2 21 x y y 二 xy2 22 (_3xy )dx2xydy =

17、0dux udxd uIn In uIn uy = xe=u (1 In u)d xx=I n u + I n C=CxCxoCxoy通解為In yCx通解為 x2 一 y2 = Cx小結(jié)：本節(jié)講述了齊次方程，及其解法第四節(jié) 一階線性微分方程學習目的：掌握一階線性微分方程的形式，熟練掌握其解法；掌握利用變量代換解微分方程的方法；了解貝努利方程的形式及解法學習重點：一階線性微分方程的形式，及解的形式，利用變量代換解微分方程 學習難點：一階線性微分方程通解的形式，利用變量代換解微分方程 學習內(nèi)容：一、線性方程dy1、定義 方程 ，P(x)y=Q(x) (1)稱為一階線性微分方程。dx特點 關(guān)于未知

18、函數(shù)y及其導(dǎo)數(shù)y是一次的。若Q(x)三0 ，稱 1)為齊次的;若Q(x) 0 ，稱 1)為非齊次的。5y 2 xyX= 2xe 一(2)y_2y=(X - 1)2、解法當Q(x)三0時，方程(1)為可分離變量的微分方程。當Q(x) =0時，為求其解首先把 Q (x)換為0，即dy P(x)y=0( 2)dx稱為對應(yīng)于(1)的齊次微分方程，求得其解_|P (X) dxy = Ce_P (x) dx 為求(1)的解，利用常數(shù)變易法，用u(x)代替C，即y =u(x)eT于是,代入(1)，得3、例求方程dydx= ue寸(x)dx- P(+ ue)dx-P(x)P (x)dxu = Q(x)e dx

19、 C_/P (x) dxP (x ) dxy = e( Q(x)e dx C) (3)52 y-y(x - 1)2x +1(4)解 這是一個非齊次線性方程。先求對應(yīng)的齊次方程的通解。dy 2 ydx x 亠 1dy 2dxy x 1In y =21 n( x - 1) In C，y = C (x 1)(5)用常數(shù)變易法。把 C換成u(x)，即令2則有dyd x代入（1）式中得1u= (x - 1)2，兩端積分，得u =?(X 1)2 C3再代入（4）式即得所求方程通解=(x - 1)22(x33-1)2 C 。另解我們可以直接應(yīng)用（3)式_ P(x)dx(Q(x)eP (x )dxdx + C

20、)得到方程的通解，其中,2P(x)x +15Q(x) =(x 1)2代入積分同樣可得方程通解y =(x 1)22(x33-1)2 - C，此法較為簡便，因此，以后的解方程中，可以直接應(yīng)用（3 ）式求解。二、貝努力方程d yn1、定義P （x） y = Q （x） y （n嚴0,1）稱為貝努力方程。d x當n =0,1時，為一階線性微分方程。2、解法兩邊同除y令z二y1，則有-dy2yP (x) y = Q (x)dxdz“、dydxdx1 dzP(x)z 二Q(x)1 n dx2y = u(x 1)，2二 u(x 亠 1)亠 2u(x 亠 1)，dz (1 _ n) P (x)z = (1 _

21、 n)Q (x)dx(1)兩端同(1 _ n) y為一階線性微分方程，故_/(1 _p)P(x)dx(1 衛(wèi))P(x)dxz 二 e( (1 - n)Q(x)edx C)。貝努力方程的解題步驟(2) 代換z = y(3) 解關(guān)于z的線性微分方程(4) 還原例解方程36xy 亠 y = x y解過程略，通解為_5yCx 5、利用變量代換解微分方程例解方程xy 亠y = y (In x亠In y)解令xy = u，貝Ududy=yx，于:曰是dxdxduu=yIn u = In udxx解得u d ,即Cxxy = e例解方程dy1dxx y解過程略，通解為1 x y二 Ceyo小結(jié)：本節(jié)講述了一

22、階線性微分方程，及貝努力方程的解法，利用常數(shù)變易法, 和變量代換法來解微分方程。第五節(jié)全微分方程學習目的：掌握全微分方程成立的充要條件， 掌握全微分方程的解法，會用觀察法找積分因子學習重點：全微分方程的解法，觀察法找積分因子學習難點：全微分方程的解法，觀察法找積分因子學習內(nèi)容:某個u (x, y)，使有du = P (x, y)dx Q (x, y)dy，則稱(1)為全微分方程。2、可以證明u(x,y)二C是(1 )式的隱式通解。解法 若P (x, y)， Q (x, y)在單連通域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，條件.:P :Q(1) 式為全微分方程的充要要條件。通解為u(x,y) = P(x,y)

23、dx 亠丨 Q (x, y)dy =C 。% %423222例 1 求解 (5x- 3xy 一 y )dx (3x y 一 3xy y )dy = 042解令 p = 5 x - 3 xy2 2-3xy 亠 y1515.：P2 ;Q=6xy 3y =.:y；:x此方程為全微分方程。于是.4 丄2u (x, y) (5x 3xy3-y )dxy 2.0 y dy1515通解為 x5 .3x 于是將方程乘以丄，則有y2 xy3 y 3 二 C233、積分因子若蘭=衛(wèi)，則(1)式不是全微分方程, dy ex但若有一個適當函數(shù)=J(x, y)，使(1)式乘以(x,y)后為全微分方程，稱函數(shù) (x,y)

24、為積分因子。般積分因子不好求，我們只要求通過觀察找到積分因子。例2方程ydx -xdy =0不是全微分方程，但x ydx xdy d (廠y即d(-) =0，從而-=C為其通解。此時 丄為其積分因子。yyy注意 積分因子一般不唯一。如上述方程，若同乘丄有 仝_空=o ,xyx yx1于是d (ln x -In y) = 0，即卩 =C為其通解。也是其積分因子。yxy小結(jié)：本節(jié)講述了全微分方程的解法，用觀察法長積分因子，使之滿足全微分方程的充要條件。第六節(jié) 可降階的高階微分方程學習目的：掌握三種容易降階的高階微分方程的求解方法 學習重點：三種可降階的高階微分方程的求法 學習難點：三種可降階的高階

25、微分方程的求法學習內(nèi)容：一、y 5)= f (x)型令 y(n)=z，則原方程可化為一=f(x)，dx于是 z = y(n 丄=f (x) dx C!同理y(n)=f(x)dx - Cjdx - Cn次積分后可求其通解。其特點：只含有y (n)和x，不含y及y的1(n - 1)階導(dǎo)數(shù)。例1解方程12x 1151551一2解得 y二一(2xT)2,6x C 2x C3為其通解。、y=f(x,y)令y二P,則y = P，于是可將其化成一階微分方程。特點含有m，不含y。15C1y1 （x） - C2y2（x）何時成為通解？只有當y與y2線性無關(guān)時。例 2 xy y_x2 =01解得通解為 y =_x

26、3 nx C9三、y=f(y,y)人，則,dp dp dy dp令 y = p,則yp -dx dy dx dy于是可將其化為一階微分方程。特點不顯含x。例 3 yy_y2 y = 0解化為一階線性或可分離變量的微分方程，解得通解為In(10 y) = 0 x C2。小結(jié)：本節(jié)講述了三種容易降階的高階微分方程及其求解方法第七節(jié)高階線性微分方程學習目的：掌握二階線性方程解的結(jié)構(gòu)，齊次線性方程的通解，非齊線性方程的 特解及通解的形式。學習重點：齊次線性方程的通解，非齊線性方程的特解及通解的形式。學習難點：齊次線性方程的通解，非齊線性方程的特解及通解的形式。學習內(nèi)容：21、定義：方程 4，P(x)生

27、Q(x)y = f(x) (1)稱為二階線性微分方程。dxdx當f (x) =0時稱為齊次的，當f(x) =0時稱為非齊次的。為求解方程(1)需討論其解的性質(zhì)2、解的性質(zhì)2貯 P(x)f;Q(x)y (2)性質(zhì) 1 若 y1 (x), y2( x)是(2)的解，貝V= C! y!(x) C 2y 2(x)也是(2)的解,其中C,，C2為任意常數(shù)。稱性質(zhì)1為解的疊加原理。但此解未必是通解，若 yi(x) =3y2(x)，貝U yi(x) = (C2 * 3CJy2(x)，那么線性相關(guān)設(shè)人2,，yn是定義在區(qū)間I內(nèi)的函數(shù)，若存在不全為零的數(shù) 匕飛2,，kn使得ki k?y2 knyn =0恒成立，

28、則稱 比，w, y線性相關(guān)。線性無關(guān)不是線性相關(guān)。如:1, cos 2 x, sin 2 x線性相關(guān)，1 ,x x?線性無關(guān)。對兩個函數(shù)，當它們的比值為常數(shù)時，此二函數(shù)線性相關(guān)。若它們的比值是函數(shù)時，線性無關(guān)。性質(zhì)2若yx）, y2（x）是（2）的兩個線性無關(guān)的特解，那么y =Ciyi （x） C2y2（x）（C1，C2為任意常數(shù)）是方程（2）的特解。此性質(zhì)稱為二階齊次線性微分方程（2）的通解結(jié)構(gòu)。女口： y1 = cos x, y 2 =sinx是yy =0的兩個解，又 吐 =ctgx匯 常數(shù)。因此， y2y = C1 cos x C2 sin x 為 y y = o 的通解。又（x -1）

29、 y - xy y = 0的解y x, y ex亦線性無關(guān)。則y =CtX亠C2ex為其通解。下面討論非齊次微分方程（1）的解的性質(zhì)稱（2）為（1）所對應(yīng)的齊次方程。性質(zhì)3 設(shè)y*是（1 ）的特解，丫是（2）的通解，貝U y=Y，y*是（1）的通解。女口： y 目=/ , y = C1 cos x C2 sin x 為 y y = o 的通解，又 y* = x22 是特解，則 y =0 cos x C2 sin x 的通解。性質(zhì) 4 設(shè)（5）式中 f（ x）二 f1（x） f2（x），若 yt *, y 2 * 分別是2d y2dxdyP(x) Q(x)y 二 fx),dx4 P(x)空 Q(

30、x)y = f2(x)dxdx的特解，則y為原方程的特解。稱此性質(zhì)為解的疊加原理。小結(jié)：本節(jié)講述了二階線性方程解的結(jié)構(gòu)， 包括齊次線性方程的通解，非齊線性方程的特解及通解的形式。第八節(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程學習目的：掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程，特征根，及對應(yīng)于特征根的三種情況，通解的三種不同形式。學習重點：特征方程，特征根，及對應(yīng)于特征根的三種情況， 通解的三種不同形 式。學習難點：根據(jù)特征根的三種不同情況，得到三種不同形式的通解。學習內(nèi)容：2若P （x），Q（x）y =0（ 2）中P（x）, Q （x）為常數(shù)，稱之為二階常系數(shù)齊次dxdx微分方程，而（2）稱之為二階變系數(shù)齊

31、次微分方程。記：y py qy =0（ 3）rx2r*Y2將y = e代入（3）中有（r亠pq）e =0，稱r ，pr亠q=0為（3）的特征方程。設(shè)r1,r2為（4）的解。（1 ）當 R hr2 即 p? _4q 0 時，y =C1X - C 2ex 為其通解。（2）當片=r2 = r 即 p2 -4q =0 時，（3）只有一個解 y = Ce。（3）當 r=otiP 即 p2-4q0 時，有 y = e-x 是解。利用歐拉公式可得實解，故通解為=X（C1 cos Px +C2 sin Px） o例求下列微分方程的通解1、y_2y_3y =02、y_2y 5y =0解過程略。通解為(1) y =C1e - C2e3x ,(2) y -ex(C1 cos 2