微積分的起源與發(fā)展

1、微積分的起源與發(fā)展主要內(nèi)容：一、微積分為什么會(huì)產(chǎn)生二、中國古代數(shù)學(xué)對(duì)微積分創(chuàng)立的貢獻(xiàn)三、對(duì)微積分理論有重要影響的重要科學(xué)家四、微積分的現(xiàn)代發(fā)展一、微積分為什么會(huì)產(chǎn)生微積分是微分學(xué)和積分學(xué)的統(tǒng)稱， 它的萌芽、發(fā)生與發(fā)展經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的時(shí)期。 公元前三世紀(jì)，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、 螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中， 就隱含著近代積分學(xué)的思想。 作為微 分學(xué)基礎(chǔ)的極限理論來說， 早在古代以有比較清楚的論述。 比如我國的莊周所著 的莊子一書的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭” 。三 國時(shí)期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不

2、 可割，則與圓周和體而無所失矣。 ”這些都是樸素的、也是很典型的極限概念。到了十七世紀(jì)，哥倫布發(fā)現(xiàn)新大陸，哥白尼創(chuàng)立日心說，伽利略出版力學(xué) 對(duì)話，開普勒發(fā)現(xiàn)行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律航海的需要，礦山的開發(fā)，火松制造提出 了一系列的力學(xué)和數(shù)學(xué)的問題， 這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素， 微積 分在這樣的條件下誕生是必然的。歸結(jié)起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運(yùn)動(dòng)的時(shí)候直接出現(xiàn)的，也就是求即時(shí)速度的問題。 已知物體移動(dòng)的距離表為時(shí)間的函數(shù)的公式， 求物體在任意時(shí)刻的速度和加 速度；反過來，已知物體的加速度表為時(shí)間的函數(shù)的公式，求速度和距離。困難在于： 十七世紀(jì)所涉及的速度和加速度每時(shí)每刻都在變化

3、。 例如，計(jì)算 瞬時(shí)速度， 就不能象計(jì)算平均速度那樣， 用運(yùn)動(dòng)的時(shí)間去除移動(dòng)的距離， 因?yàn)樵?給定的瞬刻，移動(dòng)的距離和所用的時(shí)間都是 0，而 0 / 0 是無意義的。但根據(jù)物 理學(xué)，每個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體在它運(yùn)動(dòng)的每一時(shí)刻必有速度，是不容懷疑的。第二類問題是求曲線的切線的問題。 這個(gè)問題的重要性來源于好幾個(gè)方面： 純幾何問題、 光學(xué)中研究光線通過透 鏡的通道問題、運(yùn)動(dòng)物體在它的軌跡上任意一點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)方向問題等。困難在于：曲線的“切線”的定義本身就是一個(gè)沒有解決的問題。 古希臘人把圓錐曲線的切線定義為 “與曲線只接觸于一點(diǎn)而且位于曲線的一 邊的直線”。這個(gè)定義對(duì)于十七世紀(jì)所用的較復(fù)雜的曲線已經(jīng)不適應(yīng)了。

4、第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。十七世紀(jì)初期，伽利略斷定，在真空中以 45°角發(fā)射炮彈時(shí)，射程最大。 研究行星運(yùn)動(dòng)也涉及最大最小值問題。困難在于：原有的初等計(jì)算方法已不適于解決研究中出現(xiàn)的問題。但新的方法尚無眉目。第四類問題是求曲線長(zhǎng)、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、 一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。困難在于：古希臘人用窮竭法求出了一些面積和體積， 盡管他們只是對(duì)于比 較簡(jiǎn)單的面積和體積應(yīng)用了這個(gè)方法， 但也必須添加許多技巧，因?yàn)檫@個(gè)方法缺 乏一般性，而且經(jīng)常得不到數(shù)值的解答。窮竭法先是被逐步修改，后來由微積分的創(chuàng)立而被根本修改了。歐多克斯的窮竭法是一

5、種有限且相當(dāng)復(fù)雜的幾何方法。它的思想雖然古老， 但很重要，阿基米德用得相當(dāng)熟練，我們就用他的一個(gè)例子來說明一下這種方法。阿基米德證明的主 要精神是證明圓可以被 圓內(nèi)接多邊形窮竭耆在圓里面內(nèi)接一個(gè) 正方形，其面積大于圓 面積的1/2 （因?yàn)樗?于圓外切正方形面積的 1/2,而外切正方形的面 積大于圓的面積。）設(shè)如？是內(nèi)接正方形的一邊，平分弧AB于點(diǎn) C處并連接/C與CB ° 作C處的切線，并作/Q及砲垂直于切線。Z1 = Z2 = Z3 = -|BC| 故 DE II AB o從而，血）是一個(gè)矩形,其面積大于弓形的面積。因此，等于矩形面積一半的三角形的面積大于弓形/C面積的一半。 對(duì)

6、正方形的每邊都這樣做，得到一個(gè)正八邊形。8邊形所得到的八邊形 不僅包含正方形且包 含圓與正方形面積之 差的一半以上。16邊形16邊形32邊形64邊形在八邊形的每邊 上也可按照在九B上 作三角形/號(hào)6?那樣地 作一個(gè)三角形，從而 得到一個(gè)正十六邊 形乜這個(gè)正十六邊形 不僅包含八邊形且包 含圓與八邊形面積之 差的一半以上這種做法你想做 多少次就可以做多少 次?？梢钥隙ǎ瑘A與 某一邊數(shù)足夠多的正 多邊形面積之差可以 弄得比任何預(yù)先給定 的量還要小。、中國古代數(shù)學(xué)對(duì)微積分創(chuàng)立的貢獻(xiàn)微積分的產(chǎn)生一般分為三個(gè)階段：極限概念；求積的無限小方法；積分與微 分的互逆關(guān)系 。最后一步是由牛頓、萊布尼茲完成的。前兩

7、階段的工作，歐洲 的大批數(shù)學(xué)家一直追朔到古希臘的阿基米德都作出了各自的貢獻(xiàn)。 對(duì)于這方面的 工作，古代中國毫不遜色于西方， 微積分思想在古代中國早有萌芽， 甚至是古希 臘數(shù)學(xué)不能比擬的。 公元前 7 世紀(jì)老莊哲學(xué)中就有無限可分性和極限思想； 公元 前 4 世紀(jì)墨經(jīng)中有了有窮、無窮、無限小（最小無內(nèi)） 、無窮大（最大無外） 的定義和極限、瞬時(shí)等概念。劉徽公元 263 年首創(chuàng)的割圓術(shù)求圓面積和方錐體積， 求得 圓周率約等于 3 .1416，他的極限思想和無窮小方法，是世界古代極限思想 的深刻體現(xiàn)。微積分思想雖然可追朔古希臘，但它的概念和法則卻是16 世紀(jì)下半葉，開普勒、卡瓦列利等求積的不可分量思想

8、和方法基礎(chǔ)上產(chǎn)生和發(fā)展起來的。 而這些 思想和方法從劉徽對(duì)圓錐、 圓臺(tái)、圓柱的體積公式的證明到公元 5 世紀(jì)祖恒求球 體積的方法中都可找到。北宋大科學(xué)家沈括的夢(mèng)溪筆談獨(dú)創(chuàng)了“隙積術(shù)” 、 “會(huì)圓術(shù)”和“棋局都數(shù)術(shù)”開創(chuàng)了對(duì)高階等差級(jí)數(shù)求和的研究。南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶于 1274 年撰寫了劃時(shí)代巨著數(shù)書九章十八卷，創(chuàng) 舉世聞名的“大衍求一術(shù)”增乘開方法解任意次數(shù)字（高次）方程近似解， 比西方早 500 多年。特別是 13世紀(jì) 40年代到 14世紀(jì)初，在主要領(lǐng)域都達(dá)到了中國古代數(shù)學(xué)的 高峰，出現(xiàn)了現(xiàn)通稱賈憲三角形的“開方作法本源圖”和增乘開方法、 “正負(fù)開 方術(shù)”、“大衍求一術(shù)”、“大衍總數(shù)術(shù)”（一

9、次同余式組解法） 、“垛積術(shù)”（高階等 差級(jí)數(shù)求和）、“招差術(shù)”（高次差內(nèi)差法）、“天元術(shù)”（數(shù)字高次方程一般解法） 、 “四元術(shù)”（四元高次方程組解法） 、勾股數(shù)學(xué)、弧矢割圓術(shù)、組合數(shù)學(xué)、計(jì)算技 術(shù)改革和珠算等都是在世界數(shù)學(xué)史上有重要地位的杰出成果， 中國古代數(shù)學(xué)有了 微積分前兩階段的出色工作，其中許多都是微積分得以創(chuàng)立的關(guān)鍵。 中國已具 備了 17 世紀(jì)發(fā)明微積分前夕的全部?jī)?nèi)在條件，已經(jīng)接近了微積分的大門?？上?中國元朝以后， 八股取士制造成了學(xué)術(shù)上的大倒退， 封建統(tǒng)治的文化專制和盲目 排外致使包括數(shù)學(xué)在內(nèi)的科學(xué)日漸衰落，在微積分創(chuàng)立的最關(guān)鍵一步落伍了。三、對(duì)微積分理論有重要影響的重要科學(xué)

10、家 公正的歷史評(píng)價(jià)，是不能把創(chuàng)建微積分歸功于一兩個(gè)人的偶然的或不可思議 的靈感的。 十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家、 天文學(xué)家、 物理學(xué)家都為解決上節(jié)四 類問題作了大量的研究工作，如法國的費(fèi)馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的 巴羅、瓦里士； 德國的開普勒； 意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理 論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)。事實(shí)上，牛頓的老師巴羅， 就曾經(jīng)幾乎充分認(rèn)識(shí)到微分與積分之間的互逆關(guān) 系。牛頓和萊布尼茨創(chuàng)建的系統(tǒng)的微積分就是基于這一基本思想。 在牛頓與萊布 尼茨作出他們的沖刺之前， 微積分的大量知識(shí)已經(jīng)積累起來了。 甚至在巴羅的一 本書里就能看到求切線的方法、兩個(gè)函數(shù)的積和商的微分定

11、理、 x 的冪的微分、 求曲線的長(zhǎng)度、定積分中的變量代換、隱函數(shù)的微分定理等等。但最重要的 2 個(gè)人物還是下面兩位：1.牛頓：17 世紀(jì)生產(chǎn)力的發(fā)展推動(dòng)了自然科學(xué)和技術(shù)的發(fā)展，不但已有的數(shù)學(xué)成果 得到進(jìn)一步鞏固、 充實(shí)和擴(kuò)大， 而且由于實(shí)踐的需要， 開始研究運(yùn)動(dòng)著的物體和 變化的量， 這樣就獲得了變量的概念， 研究變化著的量的一般性和它們之間的依 賴關(guān)系。到了 17 世紀(jì)下半葉，在前人創(chuàng)造性研究的基礎(chǔ)上，英國大數(shù)學(xué)家、物 理學(xué)家艾薩克牛頓（16421727）是從物理學(xué)的角度研究微積分的，他為了解 決運(yùn)動(dòng)問題，創(chuàng)立了一種和物理概念直接聯(lián)系的數(shù)學(xué)理論， 即牛頓稱之為 “流數(shù) 術(shù)”的理論，這實(shí)際上就

12、是微積分理論。 牛頓的有關(guān)“流數(shù)術(shù)”的主要著作是求 曲邊形面積、運(yùn)用無窮多項(xiàng)方程的計(jì)算法和流數(shù)術(shù)和無窮極數(shù) 。這些概 念是力不概念的數(shù)學(xué)反映。 牛頓認(rèn)為任何運(yùn)動(dòng)存在于空間， 依賴于時(shí)間， 因而他 把時(shí)間作為自變量， 把和時(shí)間有關(guān)的固變量作為流量， 不僅這樣， 他還把幾何圖 形一一線、角、體，都看作力學(xué)位移的結(jié)果。因而，一切變量都是流量。牛頓指出，“流數(shù)術(shù)”基本上包括三類問題。（1）已知流量之間的關(guān)系，求它們的流數(shù)的關(guān)系，這相當(dāng)于微分學(xué)。（2）已知表示流數(shù)之間的關(guān)系的方程，求相應(yīng)的流量間的關(guān)系。這相當(dāng)于 積分學(xué)，牛頓意義下的積分法不僅包括求原函數(shù)，還包括解微分方程。（3）“流數(shù)術(shù)”應(yīng)用范圍包括計(jì)

13、算曲線的極大值、極小值，求曲線的切線和 曲率，求曲線長(zhǎng)度及計(jì)算曲邊形面積等。牛頓已完全清楚上述（ 1）與（2）兩類問題中運(yùn)算是互逆的運(yùn)算，于是建立 起微分學(xué)和積分學(xué)之間的聯(lián)系。牛頓在1665年5月20日的一份手稿中提到“流數(shù)術(shù)” ，因而有人把這一天 作為誕生微積分的標(biāo)志。牛頓于 1642 年出生于一個(gè)貧窮的農(nóng)民家庭， 艱苦的成長(zhǎng)環(huán)境造就了人類歷 史上的一位偉大的科學(xué)天才， 他對(duì)物理問題的洞察力和他用數(shù)學(xué)方法處理物理問 題的能力，都是空前卓越的。盡管取得無數(shù)成就，他仍保持謙遜的美德。2. 萊布尼茨德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨（ G.W. Leibniz 16461716）是 17、 18 世紀(jì)之交德國最

14、重要的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家，一個(gè)舉世罕見的科學(xué)天才。他博覽群書，涉 獵百科，對(duì)豐富人類的科學(xué)知識(shí)寶庫做出了不可磨滅的貢獻(xiàn)。他是從幾何方面獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了微積分， 在牛頓和萊布尼茨之前至少有數(shù)十位數(shù) 學(xué)家研究過，他們?yōu)槲⒎e分的誕生作了開創(chuàng)性貢獻(xiàn)。 但是他們這些工作是零碎的， 不連貫的，缺乏統(tǒng)一性。 萊布尼茨創(chuàng)立微積分的途徑與方法與牛頓是不同的。 萊 布尼茨是經(jīng)過研究曲線的切線和曲線包圍的面積， 運(yùn)用分析學(xué)方法引進(jìn)微積分概 念、得出運(yùn)算法則的。 牛頓在微積分的應(yīng)用上更多地結(jié)合了運(yùn)動(dòng)學(xué)， 造詣?shì)^萊布 尼茨高一等， 但萊布尼茨的表達(dá)形式采用數(shù)學(xué)符號(hào)卻又遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓一籌， 既簡(jiǎn) 潔又準(zhǔn)確地揭示出微積分的實(shí)

15、質(zhì)，強(qiáng)有力地促進(jìn)了高等數(shù)學(xué)的發(fā)展。萊布尼茨創(chuàng)造的微積分符號(hào)， 正像印度阿拉伯?dāng)?shù)碼促進(jìn)了算術(shù)與代數(shù)發(fā) 展一樣，促進(jìn)了微積分學(xué)的發(fā)展。 萊布尼茨是數(shù)學(xué)史上最杰出的符號(hào)創(chuàng)造者之一。牛頓當(dāng)時(shí)采用的微分和積分符號(hào)現(xiàn)在不用了， 而萊布尼茨所采用的符號(hào)現(xiàn)今 仍在使用。萊布尼茨比別人更早更明確地認(rèn)識(shí)到， 好的符號(hào)能大大節(jié)省思維勞動(dòng)， 運(yùn)用符號(hào)的技巧是數(shù)學(xué)成功的關(guān)鍵之一。3. 優(yōu)先權(quán)的爭(zhēng)論從始創(chuàng)微積分的時(shí)間說牛頓比萊布尼茨大約早 10 年，但從正式公開發(fā)表的 時(shí)間說牛頓卻比萊布尼茨要晚。牛頓系統(tǒng)論述“流數(shù)術(shù)”的重要著作流數(shù)術(shù)和 無窮極數(shù)是1671年寫成的，但因 1676年倫敦大火殃及印刷廠， 致使該書 1736

16、 年才發(fā)表，這比萊布尼茨的論文要晚半個(gè)世紀(jì)。不幸的是，由于人們?cè)谛蕾p微積分的宏偉功效之余， 在提出誰是這門學(xué)科的 創(chuàng)立者的時(shí)候， 竟然引起了一場(chǎng)悍然大波， 造成了歐洲大陸的數(shù)學(xué)家和英國數(shù)學(xué) 家的長(zhǎng)期對(duì)立。 英國數(shù)學(xué)在一個(gè)時(shí)期里閉關(guān)鎖國， 囿于民族偏見， 過于拘泥在牛 頓的“流數(shù)術(shù)”中停步不前，因而數(shù)學(xué)發(fā)展整整落后了一百年。其實(shí)，牛頓和萊布尼茨分別是自己獨(dú)立研究， 在大體上相近的時(shí)間里先后完 成的。比較特殊的是牛頓創(chuàng)立微積分要比萊布尼茨早 10 年左右，但是正式公開 發(fā)表微積分這一理論，萊布尼茨卻要比牛頓發(fā)表早三年。他們的研究各有長(zhǎng)處， 也都各有短處。那時(shí)候，由于民族偏見，關(guān)于發(fā)明優(yōu)先權(quán)的爭(zhēng)論竟

17、從1699 年始延續(xù)了一百多年。應(yīng)該指出，這是和歷史上任何一項(xiàng)重大理論的完成都要經(jīng)歷一段時(shí)間一樣， 牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們?cè)跓o窮和無窮小量這個(gè)問題上， 其說不一，十分含糊。牛頓的無窮小量，有時(shí)候是零，有時(shí)候不是零而是有限的 小量；萊布尼茨的也不能自圓其說。 這些基礎(chǔ)方面的缺陷， 最終導(dǎo)致了第二次數(shù) 學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生。直到 19 世紀(jì)初，法國科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首，對(duì)微積分的理論進(jìn)行 了認(rèn)真研究，建立了極限理論， 后來又經(jīng)過德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán) 格化，使極限理論成為了微積分的堅(jiān)定基礎(chǔ)。才使微積分進(jìn)一步的發(fā)展開來。四、微積分的現(xiàn)代發(fā)展 人類對(duì)自然的認(rèn)識(shí)永遠(yuǎn)不會(huì)止步，

18、微積分這門學(xué)科在現(xiàn)代也一直在發(fā)展著。 以下列舉了幾個(gè)例子，足以說明人類認(rèn)識(shí)微積分的水平在不斷深化。在Riemann將Cauchy的積分含義擴(kuò)展之后，Lebesgue又引進(jìn)了測(cè)度的概念， 進(jìn)一步將Riemann積分的含義擴(kuò)展。例如著名的 Dirichilet函數(shù)在Riemann積分 下不可積，而在Lebesgue積分下便可積。前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)大師所伯列夫?yàn)榱舜_定偏微分方程解的存在性和唯一性， 建 立了廣義函數(shù)和廣義導(dǎo)數(shù)的概念。 這一概念的引入不僅賦予微分方程的解以新的 含義，更重要的是，它使得泛函分析等現(xiàn)在數(shù)學(xué)工具得以應(yīng)用到微分方程理論中， 從而開辟了微分方程理論的新天地。我國的數(shù)學(xué)泰斗陳省身先生所研究的微分幾何領(lǐng)域， 便是利用微積分的理論 來研究幾何， 這門學(xué)科對(duì)人類認(rèn)識(shí)時(shí)間和空間的性質(zhì)發(fā)揮著巨大的作用， 并且這 門學(xué)科至今仍然很活躍。 前不久由俄羅斯數(shù)學(xué)家佩雷爾曼完成的龐加萊猜想便屬 于這一領(lǐng)域。在多元微積分學(xué)中，Newton Leibniz 公式的對(duì)照物是 Green 公式、Ostrogradsky Gauss公式、以及經(jīng)典的 Stokes公式。無論在觀念上或者在技術(shù) 層次上，他們都是 NewtonLeibniz 公式的推廣。隨著數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要和解 決問題的需要，