7等束腰超短啁啾脈沖高斯光束在自由空間的傳輸特性

1、啁啾脈沖高斯光束在自由空間的傳輸* 作者簡(jiǎn)介：鄒其徽（1968 ）男，四川人，四川大學(xué)在讀博士研究生，主要研究方向?yàn)槌堂}沖的傳輸與變換。 E-mail: qihui_zou Tel. (028)85412819.鄒其徽, 呂百達(dá)( 四川大學(xué)激光物理與化學(xué)研究所 四川 成都 610064 )摘要 基于瑞利衍射積分，使用復(fù)解析信號(hào)法推導(dǎo)出了啁啾脈沖高斯光束在自由空間中的傳輸方程及其傅里葉譜，給出了遠(yuǎn)場(chǎng)的光場(chǎng)和空間光強(qiáng)的解析式，研究了啁啾參數(shù)C對(duì)脈沖光束傳輸?shù)挠绊?。結(jié)果表明，當(dāng)啁啾參數(shù)C較小時(shí)，隨啁啾參數(shù)增加，其軸上光譜藍(lán)移增加C2倍，其軸上譜線寬度增加(1+C2)1/2倍。隨衍射角增大，軸外光譜

2、紅移比無(wú)啁啾參數(shù)時(shí)快。脈沖寬度較小時(shí)，啁啾參數(shù)增大，軸上光強(qiáng)增大，橫向光強(qiáng)分布越集中于傳輸軸附近；脈沖寬度較大時(shí)，啁啾參數(shù)增大對(duì)橫向光強(qiáng)的影響減小。啁啾參數(shù)的正負(fù)號(hào)不影響橫向光強(qiáng)分布和光譜分布。關(guān)鍵詞 激光光學(xué)；超短脈沖高斯光束；啁啾；復(fù)解析信號(hào)中圖分類號(hào) O435 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 APropagation of ultrashort chirped pulsed Gaussian beams in free spaceQihui Zou , Baida L （Institute of Laser Physics & Chemistry, Sichuan University, Chengdu 6

3、10064, China）Abstract Based on the Rayleigh diffraction integral and complex analytical signal representation, the free-space propagation equation and its Fourier spectrum for ultrashort chirped pulsed Gaussian beams are derived, and the far-field analytical electric field and spatial intensity are

4、presented. The effects of chirp parameter on the spatiotemporal and spectral properties are illustrated with analytical formulas and numerical calculation results. It is found that if the chirp parameter C is relatively small, the on-axis spectral blueshifts increase by C2 times, the on-axis spectra

5、l bandwidth increases by (1+C2)1/2 times, and the off-axis spectral redshifts also increase considerably. On-axis intensity increases with increasing chirp parameter for relatively small values of the pulse duration. The transversal intensity distribution remains nearly unchanged with increasing chi

6、rp parameter for relatively large values of the pulse duration. The sign of chirp parameters has no effect on the spectral distribution and transversal intensity distribution.Key words Laser optics ；Ultrashort pulsed Gaussian beam； Chirp； Complex analytical signal representation1 引 言超短超強(qiáng)激光脈沖在自由空間、線性

7、無(wú)損耗介質(zhì)中和非線性色散介質(zhì)的傳輸?shù)难芯恳鹆藦V泛的關(guān)注1-4，以初始源平面的時(shí)間波形為高斯脈沖2,3、泊松脈沖5、雙曲正割脈沖6,7，洛侖茲脈沖6的研究居多。隨著超短超強(qiáng)激光脈沖技術(shù)的發(fā)展，特別是啁啾脈沖放大(CPA)技術(shù)的應(yīng)用，超短脈沖系統(tǒng)中啁啾脈沖的特性一直是所關(guān)心和重視的問(wèn)題，研究啁啾脈沖8,9,10在真空或色散介質(zhì)的時(shí)空和光譜特性在光通信等方面具實(shí)際應(yīng)用意義。本文基于瑞利衍射積分，使用復(fù)解析信號(hào)法推導(dǎo)出了非近軸超短啁啾脈沖高斯光束在自由空間中傳輸?shù)慕馕鰝鬏敺匠毯透道锶~譜，計(jì)算分析了啁啾參數(shù)的變化對(duì)超短啁啾脈沖高斯光束傳輸?shù)臅r(shí)空特性和光譜特性的影響。2 啁啾脈沖高斯光束在自由空間的傳輸

8、方程根據(jù)瑞利索末菲衍射積分公式11, 空間中光場(chǎng)分布在Z0的半空間的任一點(diǎn)r=(x, y, z)的光場(chǎng)E(r,w)表示為 (1)式中：r0=(x0, y0, 0)是入射面上的任一點(diǎn)；E0(r0, w)是初始場(chǎng)分布；k是波數(shù)，k=w/c；cos =z/r，r=(x2+y2+z2)1/2，為衍射角。設(shè)入射面z=0上有一高斯脈沖光束8,11 , (2)式中：S(w)是初始軸上的脈沖光譜；r02 =x02 +y02；a為束腰寬度，與頻率無(wú)關(guān)的常數(shù)3。將（2）式代入（1）式積分得：. (3)式中：，為橫向距離；c為真空中的光速。(3)式作傍軸近似得 . (4)式中：d=zwc/(Ld w) ； Ld=

9、wca2/c (載波頻率處的衍射長(zhǎng)度)；wc為載波頻率。（4）式與文獻(xiàn)8中的（3）式一致。設(shè)在z=0處的啁啾高斯脈沖的光場(chǎng)實(shí)數(shù)形式為8,9 (5)式中：T是與初始時(shí)刻脈沖寬度TFWHM相關(guān)的參數(shù)，即TFWHM=2 T (ln2)1/2；C為啁啾參數(shù)。初始脈沖A(t)的傅里葉變換為。 (6)式中：。使用復(fù)解析信號(hào)法12，將（6）式代入（3）式可得啁啾脈沖高斯光束的傅里葉譜 (7)由（7）式可得啁啾脈沖高斯光束的功率譜： . (8)由（8）式看出，啁啾脈沖高斯光束的功率譜與啁啾參數(shù)的正負(fù)號(hào)無(wú)關(guān)，與其大小有關(guān)。在遠(yuǎn)場(chǎng)近似下（rka2），（7）式化為： . (9)啁啾脈沖高斯光束的復(fù)解析信號(hào)解可表示為

10、12 . (10)將（7）式代入（10）式即可用數(shù)值計(jì)算求得超短啁啾脈沖高斯光束的復(fù)解析信號(hào)解。在遠(yuǎn)場(chǎng)近似下，其光場(chǎng)的復(fù)解析信號(hào)解可解析給出 , (11)式中：為當(dāng)?shù)貢r(shí)間；erf()為誤差函數(shù)。 ， (11a)， (11b)， (11c) . (11d)（9）式和（11）式是本文的主要解析表達(dá)式，分別適用于非近軸情形的啁啾脈沖高斯光束在夫瑯禾費(fèi)衍射區(qū)的傅里葉譜和光場(chǎng)。根據(jù)巴塞伐定理，超短啁啾脈沖高斯光束的空間光強(qiáng) (12)將（8）式代入（12）式即可求出其空間光強(qiáng)，由于功率譜與啁啾參數(shù)的正負(fù)號(hào)無(wú)關(guān)，所以其空間光強(qiáng)與啁啾參數(shù)的正負(fù)號(hào)無(wú)關(guān)。在遠(yuǎn)場(chǎng)近似下，其空間光強(qiáng)可由（9）式解析給出 (13)式中

11、：；。3 數(shù)值計(jì)算和分析當(dāng)啁啾參數(shù)C=5時(shí)，0、2、4和6時(shí)的啁啾脈沖高斯光束的時(shí)間波形由圖1給出。由圖1看出，隨衍射角增大，脈沖展寬。圖2給出了使用（8）式計(jì)算衍射角=0、0.5、1.0和1.5的啁啾脈沖高斯光束的歸一化功率譜。(a) C=0；(b) C=2。啁啾參數(shù)C=0時(shí)，對(duì)應(yīng)于衍射角=0、0.5、1.0和1.5時(shí)，其功率譜取極大值對(duì)應(yīng)的角頻率分別為2.40fs-1、2.03fs-1、1.32fs-1和0.82fs-1；啁啾參數(shù)C=2時(shí)，對(duì)應(yīng)于不同衍射角，其功率譜取極大值對(duì)應(yīng)的角頻率分別為2.55fs-1、1.33fs-1、0.58fs-1和0.33fs-1。因此，啁啾參數(shù)不為零時(shí)，軸上

12、光譜藍(lán)移增大，隨衍射角增大，啁啾脈沖高斯光束的軸外光譜紅移比無(wú)啁啾參數(shù)時(shí)快。圖1和圖2的時(shí)間和光譜特性變化規(guī)律可由衍射理論解釋，由于衍射角與波長(zhǎng)有關(guān)，隨著衍射角增大，低頻分量起決定作用，這將導(dǎo)致光譜紅移，變窄，脈沖變寬13。而啁啾參數(shù)使軸上光譜藍(lán)移增加和譜線寬度展寬可作如下解釋。由（8）式，當(dāng)啁啾參數(shù)較小時(shí)，軸上功率譜可近似為. (14)由（14）式可得軸上的譜線寬度（1/e強(qiáng)度的譜線半寬度）約為，與啁啾參數(shù)為零時(shí)比較，啁啾脈沖高斯光束的軸上譜線寬度增加(1+C2)1/2倍14。對(duì)（14）式求角頻率的偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零得軸上光譜藍(lán)移. (15)由（15）式看出，啁啾脈沖高斯光束的軸上光譜藍(lán)移

13、與脈沖寬度、啁啾參數(shù)和傳輸距離有關(guān)，脈沖寬度越大，光譜藍(lán)移越小，啁啾參數(shù)不為零時(shí)的軸上光譜藍(lán)移增加C2倍，軸上光譜藍(lán)移在遠(yuǎn)場(chǎng)趨于一漸近值(1+C2)/w0T2。圖3給出了啁啾參數(shù)C=0、2和4的啁啾脈沖高斯光束的歸一化的軸上功率譜。由圖3看出，隨著啁啾參數(shù)增大，軸上譜線寬度展寬，軸上光譜藍(lán)移增大，光譜分布為高斯型分布（(14)式為光譜的高斯型分布）。相應(yīng)于啁啾參數(shù)C=0、2、4和5時(shí)，由（8）式計(jì)算其軸上光譜藍(lán)移分別為0.04、0.19、0.53和0.74fs-1，而使用近似公式（15）式計(jì)算的光譜藍(lán)移分別為0.040、0.185、0.530和0.737fs-1?？梢?jiàn)，使用（15）式計(jì)算的光譜

14、藍(lán)移結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果吻合。 圖4給出了z=8，20，50和500mm的啁啾脈沖高斯光束的歸一化軸上功率譜。圖4表明，啁啾脈沖高斯光束由近場(chǎng)傳輸?shù)竭h(yuǎn)場(chǎng)的過(guò)程中，譜線寬度幾乎不變，軸上光譜藍(lán)移增加并在遠(yuǎn)場(chǎng)趨于一漸近值0.23fs-1。對(duì)應(yīng)于z=8，20，50和500mm，藍(lán)移分別為0.03, 0.12, 0.20和0.23fs-1，與采用(15)式的計(jì)算值一致。圖5給出了采用（13）式計(jì)算啁啾參數(shù)C=0、6和12的啁啾脈沖高斯光束的歸一化空間光強(qiáng)分布I(r)/Imax，其Imax為無(wú)啁啾時(shí)的軸上光強(qiáng)。( a ) T=3fs, ( b ) T=9fs。由圖5看出，初始脈沖寬度小時(shí)，隨啁啾參數(shù)增大，

15、軸上光強(qiáng)增大，光強(qiáng)分布越集中于傳輸軸附近；但初始脈沖寬度較大時(shí)，啁啾參數(shù)的增大對(duì)空間光強(qiáng)分布影響減小，后者與文獻(xiàn)8的變化規(guī)律一致。4 結(jié)論 基于瑞利衍射積分，使用復(fù)解析信號(hào)法推導(dǎo)出了啁啾脈沖高斯光束在自由空間的傳輸方程及其傅里葉譜，給出了遠(yuǎn)場(chǎng)的光場(chǎng)，傅里葉譜和空間光強(qiáng)的解析式。結(jié)果表明，隨衍射角增大，啁啾高斯光脈沖展寬及軸外光譜紅移，且離軸光譜紅移比無(wú)啁啾參數(shù)時(shí)快。啁啾參數(shù)較小時(shí)，軸上譜線寬度增加(1+C2)1/2倍及軸上光譜藍(lán)移增加約C2倍。初始脈沖寬度較小時(shí)，啁啾參數(shù)增大，軸上光強(qiáng)增大，橫向光強(qiáng)分布越集中于傳輸軸附近。但初始脈沖寬度較大時(shí)，啁啾參數(shù)的增大對(duì)橫向光強(qiáng)分布的影響減小。啁啾參數(shù)的

16、正負(fù)號(hào)不影響橫向光強(qiáng)分布和光譜分布。參考文獻(xiàn)1 王中陽(yáng)，張正泉，徐至展. 脈沖光束在均勻色散介質(zhì)中的傳播 J. 中國(guó)激光，1997，24(8)：7157202 王中陽(yáng)，張正泉，徐至展. 短脈沖高斯光束的時(shí)空形式 J. 光學(xué)學(xué)報(bào)，1997，17(3)：1501543 G. P. Agrawal. Far-field diffraction of pulsed optical beams in dispersive media J. Opt. Commun., 1999, 167: 15224 M. A. Porras. Propagation of single-cycle pulsed lig

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21、nghua University Press，2004Real (E) (a. u.)Real (E) (a. u.)Local time t /fs Local time t /fs ( a ) ( b )Real (E) (a. u.)Real (E) (a. u.)Local time t /fs Local time t /fs ( c ) ( d )圖1 C=5的啁啾脈沖高斯光束的時(shí)間波形。(a) =0,(b) =2.0，(c) =4.0,(d) =6.0 Fig.1 The temporal pulse forms of ultrashort chirped pulsed Gaus

22、sian beams for chirp parameter C=5.(a) =0,(b) =2.0，(c) =4.0,and (d) =6.0.In this case: wc =2.36fs-1, T=3fs, a=0.05mm, and r=100mmNormalized power spectraNormalized power spectraFrequency/ fs-1Frequency/ fs-1 ( a ) ( b )圖2 啁啾脈沖高斯光束的歸一化功率譜。(a) C0，(b) C2。 Fig.2 Normalized power spectra of ultrashort chirped pulsed Gaussian beams for different values of diffraction angle =0, 0.5, 1.0and 1.5. (a) C0 and (b) C2。In this case: wc=2.36fs-1, T=3fs, a=0.05mm, and r=50mmNormalized power spectraFrequency /fs-1圖3 C=0，2和4的啁啾脈沖高斯光束的歸一化軸上功率譜。Fig.3 No