雙曲線中焦點(diǎn)三角形的探索

1、雙曲線中焦點(diǎn)三角形的探索基本條件：1:該三角形一邊長(zhǎng)為焦距2c,另兩邊的差的對(duì)值為定值2a。2:該三角形中由余弦定理得cosF1PF2IPFil2IPF2I2IF1F2I2|PFi|IPF2|12L結(jié)合定義，有22|PF11|PF21|PF112IPF2|2|PF1|PF2|24a2|PF1|PF2|性質(zhì)一、設(shè)若雙曲線方程為22勺匕1212ab(a>0,b>0)F1,F2分別為它的左右焦點(diǎn),P為雙曲線上任意一點(diǎn)，則有:若FFESVFP弓則b2cot-2；特別地F1PF2900時(shí)有SVF1PF2b2證明：記1PF111,嚴(yán)2|由雙曲線的定義得122a,2(n2)當(dāng)在F1PF2中，由余

2、弦定理得:2r122r1r2cos(2c)2.配方得:2"r2)2r1r22r1r2cos4c2.即4a22212(1cos)4c.2(c2a2)2b21coscos由任意三角形的面積公式得:SFPF121_r1r2sin2b2sin1cos2sincos-b2222sin2-2b2cot-22,Sf,pf2bcot.2特別地，當(dāng)=90時(shí),cot一2=1,所以SVF1PF2b2y2同理可證，在雙曲線ab21(a>0,b>0)中，公式仍然成立例4若P是雙曲線642y_361上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是其焦點(diǎn)，且EPB60,求4EPF2的面積.解法一：在雙曲線642y36中,8,b

3、6,c10,而60.記1PF1|ri,|PF2I2.點(diǎn)P在雙曲線上,由雙曲線定義得:1在F1PF2中，由余弦定理得:配方，得：（r12）21240012256.從而122a21400144.16.22212cos(2c)2.1.1.3SF1Pf2r1r2sin14436.3.22222L12解法二：在雙曲線6436中，b36,而60.Sfff,b2tan-36cot3036.3122考題欣賞2（2010全國(guó)卷1理）（9）已知F1、F2為雙曲線C：x2y1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上,/F1PF2=60°,則P到x軸的距離為（A）(C)3（2010全國(guó)卷1文）（8）已知F1>F2為雙

4、曲線C：x2y21的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上,zF1PF2=600,則IPF1gPF2I(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】B【解析1】.由余弦定理得cos/F1PF2=22_2IPF1I2IPF2I2IF1F2I22IPF1IIPF2Icos60012I2I11II12IPF1IIPF2I2IPF1IIPF2I咽2IPF1IPF2222PF1PF22PF1PF2IPFi|gPF2I4【解析2】由焦點(diǎn)三角形面積公式得:SFiPF2,2,2bcoticot260°2,3i2lPFiPF2°i1sin6°2PFiPF2,.32IPFi|gPF2I4性質(zhì)一推論：在雙曲

5、線(a>0b>0）中，左右焦點(diǎn)分別為Fi、F2,當(dāng)點(diǎn)P是雙曲線左支上任意一點(diǎn)，PF1F2,2.bcsinF1PF2ccos.特別地，PFiF29°時(shí)，有SFiPF2b2c。當(dāng)點(diǎn)P是雙曲線右支上任意一點(diǎn),若PFiF24雙曲線漸近線的傾斜角），則SFiPF22.bcsinccosa證明：i、當(dāng)P為左支上一點(diǎn)時(shí)，記|PFIri,|PF2|r2（口r2）,由雙曲線的定義得ri2a,2ri2a在FiPF2中,由余弦定理得:2ri,2,4c4riccos22.代入得2.ri4c24rccos(ri2a)2.ri求得b2accosSFiPF27riFiF22特別地，當(dāng)=9°s

6、in時(shí),FiPF2ii、當(dāng)P為右支上一點(diǎn)時(shí)rir22a,r2ri2a在FiPF2中，由余弦定理得:b2ccosb2cIPFiI2/2ri4c2csin,2.bcsinccos得證ri，IPF2I4riccos2（rir2）,由雙曲線的定義得22代入得2.2.r14c4rlecos(r12a)2.r1求得b2ccosaoSF1PF21一r1F1F2sin2(1)若P是雙曲線64F1PF2的面積.(2)2x若P是雙曲線b2ccos2y36F1PF2的面積.(1)解法一：在雙曲|PF1|1,|PF2|2.點(diǎn)P在雙曲線上,由雙曲線定義得:在F1PF2中，由余弦定理得:240040rlcos60解得:1

7、3613SF1PF21r1F1F2sin2解法二:在雙曲線64SF1PF22bcsinaccos一2csina1左支上的一點(diǎn),1右支上的一點(diǎn),線642幺1362a16.222r14c(16r1)2.164rlecos2.bcsinccosa得證F1、F2是苴隹市、八、八、F2是其焦點(diǎn),且8,b6,cPF1F260PF1F210,6060.記361320.31802132y36361中,8,b6,c10,b260.10sin60810cos60180、313x2亡解法一：在雙曲線41,b2,c.5,60.記|PFi|,|PF2|2.點(diǎn)P在雙曲線上，由雙曲線定義得：r122a2.212在F1PF2

8、中，由余弦定理得:214c24r1ccos21204,5r1cos60(i2)2.解得：18(52)SF1PF21一.2r1FiF2sin8(.52)20.38,15解法二:SF1PF2在雙曲線642y361中，a8,b6,c10,b236,而60.b2csinccosa45sin605cos60120.38.15性質(zhì)二、雙曲線的焦點(diǎn)三角形PF1F2中,PF1F2PF2F1當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線右支上時(shí)，有tancot一22cottan一22e1；e1e1e1當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線左支上時(shí)，有g(shù)|F1P|I訐2I證明：由正弦定理知sinsinsin()IF2PIIF1PIIF1F2I由等比定理，上式轉(zhuǎn)化為sinsinsin()2c2asinsinsin(c sin( )a sin sin2sin cos222cos sin22sin sin - cos- cos