數(shù)學(xué)假設(shè)檢驗(yàn)的概念PPT課件

1、假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念若對(duì)若對(duì)參數(shù)參數(shù)有所有所了解了解但有懷但有懷疑猜測(cè)疑猜測(cè)需要證需要證實(shí)之時(shí)實(shí)之時(shí)用假設(shè)用假設(shè)檢驗(yàn)的檢驗(yàn)的方法來方法來 處理處理若對(duì)參數(shù)若對(duì)參數(shù)一無所知一無所知用參數(shù)估計(jì)用參數(shù)估計(jì)的方法處理的方法處理第1頁/共43頁8.1 假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想與概念 假設(shè)檢驗(yàn)問題 引例 某廠生產(chǎn)的合金強(qiáng)度服從 ，其中 的設(shè)計(jì)值 為不低于110(Pa)。為保證質(zhì)量，該 廠每天都要對(duì)生產(chǎn)情況做例行檢查，以判斷生 產(chǎn)是否正常進(jìn)行,即該合金的平均強(qiáng)度不低于 110(Pa)。某天從生產(chǎn)中隨機(jī)抽取25塊合金， 測(cè)得強(qiáng)度值為x1, x2 , , x25，其均值為 (Pa)，問當(dāng)日生產(chǎn)是否正常

2、？ 108x ( ,16)N第2頁/共43頁(1) 是參數(shù)估計(jì)問題嗎？(2) 回答“是”還是“否” ，假設(shè)檢驗(yàn)問題。(3) 命題“合金平均強(qiáng)度不低于110Pa”正確與 否僅涉及如下兩個(gè)參數(shù)集合： 0 :110H 1 :110H 這兩個(gè)非空參數(shù)集合都稱作統(tǒng)計(jì)假設(shè)，簡稱假設(shè)。 (4) 我們的任務(wù)是利用樣本去判斷假設(shè)（命題） “ ”是否成立。這里的“判斷”在統(tǒng)計(jì)學(xué)中 稱為檢驗(yàn)或檢驗(yàn)法則。 0H第3頁/共43頁假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟 一、一、建立假設(shè) 在假設(shè)檢驗(yàn)中，常把一個(gè)被檢驗(yàn)的假設(shè)稱為原假設(shè)，用 表示，通常將不應(yīng)輕易加以否定的假設(shè)作為原假設(shè)。當(dāng) 被拒絕時(shí)而接收的假設(shè)稱為備擇假設(shè)，用 表示，它們常常成對(duì)

3、出現(xiàn)。0H0H1H在上例中，我們可建立如下兩個(gè)假設(shè)： 0:110Hvs1:110H第4頁/共43頁二、選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，給出拒絕域形式由樣本對(duì)原假設(shè)進(jìn)行判斷總是通過一個(gè)統(tǒng)計(jì)量完成的，該統(tǒng)計(jì)量稱為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。使原假設(shè)被拒絕的樣本觀測(cè)值所在區(qū)域稱為拒絕域，一般用W 表示，在上例中，樣本均值 愈大，意味著總體均值 也大，因此，合理的拒絕域形如x1( ,):nWxxxcxc第5頁/共43頁正如在數(shù)學(xué)上我們不能用一個(gè)例子去證明一個(gè)結(jié)論一樣，用一個(gè)樣本（例子）不能證明一個(gè)命題（假設(shè)）是成立的，但可以用一個(gè)例子（樣本）推翻一個(gè)命題。因此，從邏輯上看，注重拒絕域是適當(dāng)?shù)?。事?shí)上，在“拒絕原假設(shè)”和“拒絕備擇假設(shè)

4、（從而接收原假設(shè)）”之間還有一個(gè)模糊域，如今我們把它并入接收域，所以接收域是復(fù)雜的，將之稱為保留域也許更恰當(dāng)，但習(xí)慣上已把它稱為接收域，沒有必要再進(jìn)行改變，只是應(yīng)注意它的含義。第6頁/共43頁三、選擇顯著性水平由于檢驗(yàn)法則是根據(jù)樣本做出的，所以檢驗(yàn)可能犯以下兩類錯(cuò)誤： 其一是 為真但樣本觀測(cè)值落在拒絕域中， 從而拒絕原假設(shè) ，這種錯(cuò)誤稱為第一類錯(cuò) 誤，其發(fā)生的概率稱為犯第一類錯(cuò)誤的概率， 或稱拒真概率，通常記為 其二是 不真（即 為真）但樣本觀測(cè)值落 在接受域中，從而接受原假設(shè) ，這種錯(cuò)誤稱 為第二類錯(cuò)誤，其發(fā)生的概率稱為犯第二類錯(cuò) 誤的概率,或稱采偽概率，通常記為 。0H0H.0H1H0H第

5、7頁/共43頁觀測(cè)數(shù)據(jù)情況總體情況犯第一類錯(cuò)誤正確正確犯第二類錯(cuò)誤為真0H 為真1H1( ,)nxxW1(,)cnxxW第8頁/共43頁 當(dāng) 減小時(shí)，必導(dǎo)致的增大； 當(dāng) 減小時(shí)，必導(dǎo)致 的增大；說明：在樣本量一定的條件下不可能找到一個(gè)使 和 都小的檢驗(yàn)。 英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家 Neyman 和 Pearson 提出水平為 的顯著性檢驗(yàn)的概念。 顯著性檢驗(yàn)：控制第一類錯(cuò)誤，讓它不大于 ；而不考慮第二類錯(cuò)誤概率。數(shù) 稱之為顯著性水平。第9頁/共43頁四、給出拒絕域確定顯著性水平后，可以定出檢驗(yàn)的拒絕域W。 在上例，若取=0.05, 若令1104/5xu則拒絕域有一種表示:0.051.645Wuuu 第10

6、頁/共43頁五、作出判斷 在有了明確的拒絕域后，根據(jù)樣本觀測(cè)值我們可以做出判斷： 當(dāng) 時(shí)，則拒絕 即接收 ； 當(dāng) 時(shí)，則接收 1.645u 0H1H1.645u 在上例中，由于1081.645.xuu 代人 中，使得因此拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為該日生產(chǎn)不正常。0H第11頁/共43頁假設(shè)檢驗(yàn)的內(nèi)容參數(shù)檢驗(yàn)參數(shù)檢驗(yàn)非參數(shù)檢驗(yàn)非參數(shù)檢驗(yàn)總體均值總體均值, 均值差的檢驗(yàn)均值差的檢驗(yàn)總體方差總體方差, 方差比的檢驗(yàn)方差比的檢驗(yàn)分布擬合檢驗(yàn)分布擬合檢驗(yàn)符號(hào)檢驗(yàn)符號(hào)檢驗(yàn)秩和檢驗(yàn)秩和檢驗(yàn)第12頁/共43頁 通常借助于直觀分析和理論分析相結(jié)合的做法,其基本原理就是人們?cè)趯?shí)際問題中經(jīng)常采用的所謂實(shí)際推斷原理:“一個(gè)一個(gè)

7、小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的是不可能發(fā)生的”.假設(shè)檢驗(yàn)所以可行假設(shè)檢驗(yàn)所以可行, ,其理論背景為實(shí)際其理論背景為實(shí)際推斷原理推斷原理, ,即即“小概率原理小概率原理”假設(shè)檢驗(yàn)的理論依據(jù)第13頁/共43頁實(shí)例實(shí)例 某車間用一臺(tái)包裝機(jī)包裝葡萄糖, 包得的袋裝糖重是一個(gè)隨機(jī)變量, 它服從正態(tài)分布. .當(dāng)機(jī)器正常時(shí), 其均值為0.50.5千克, 標(biāo)準(zhǔn)差為0.0150.015千克. .某日開工后為檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常, 隨機(jī)地抽取它所包裝的糖9 9袋, 稱得凈重為( (千克):):0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.497 0.

8、506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 0.520 0.515 0.512, 問機(jī)器是否正常? ? ,的均值和標(biāo)準(zhǔn)差的均值和標(biāo)準(zhǔn)差裝糖重總體裝糖重總體分別表示這一天袋分別表示這一天袋和和用用X 分析分析:第14頁/共43頁由長期實(shí)踐可知, 標(biāo)準(zhǔn)差較穩(wěn)定, ,015. 0 設(shè)設(shè)),015. 0,( 2 NX則則 .未知未知其中其中 問題問題: 根據(jù)樣本值判斷 . 0.5 0.5 還是還是提出兩個(gè)對(duì)立假設(shè). : 5 . 0:0100 HH和和再利用已知樣本作出判斷是接受假設(shè) H0 ( 拒絕假設(shè) H1 ) , 還是拒絕假設(shè) H0 (接受假設(shè) H1

9、 ). 如果作出的判斷是接受 H0, 即認(rèn)為機(jī)器工作是正常的, 否則, 認(rèn)為是不正常的., 0 則則第15頁/共43頁由于要檢驗(yàn)的假設(shè)設(shè)計(jì)總體均值, 故可借助于樣本均值來判斷. , 的無偏估計(jì)量的無偏估計(jì)量是是因?yàn)橐驗(yàn)?X , | , 00不應(yīng)太大不應(yīng)太大則則為真為真所以若所以若 xH),1 , 0(/,00NnXH 為真時(shí)為真時(shí)當(dāng)當(dāng) , /|00的大小的大小的大小可歸結(jié)為衡量的大小可歸結(jié)為衡量衡量衡量nxx 于是可以選定一個(gè)適當(dāng)?shù)恼龜?shù)k,第16頁/共43頁 ,/ 00Hknxx拒絕假設(shè)拒絕假設(shè)時(shí)時(shí)滿足滿足當(dāng)觀察值當(dāng)觀察值 .,/ ,00Hknxx接受假設(shè)接受假設(shè)時(shí)時(shí)滿足滿足當(dāng)觀察值當(dāng)觀察值反

10、之反之 ),1 , 0(/00NnXZH 為真時(shí)為真時(shí)因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng)由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位點(diǎn)的定義得,2/ zk . ,/ ,/02/002/0HznxHznx接受接受時(shí)時(shí)拒絕拒絕時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 第17頁/共43頁 0.05, 在實(shí)例中若取定在實(shí)例中若取定,96. 1 025. 02/ zzk 則則 0.015, , 9 n又已知又已知 0.511, x由樣本算得由樣本算得 1.96,2.2/ 0 nx 即有即有于是拒絕假設(shè)H0, 認(rèn)為包裝機(jī)工作不正常.假設(shè)檢驗(yàn)過程如下:第18頁/共43頁以上所采取的檢驗(yàn)法是符合實(shí)際推斷原理的以上所采取的檢驗(yàn)法是符合實(shí)際推斷原理的. 0.05, 0.01, , 一般取一般

11、取總是取得很小總是取得很小由于通常由于通常. ,/ , , ,/ , ,2/002/000幾乎是不會(huì)發(fā)生的幾乎是不會(huì)發(fā)生的的觀察值的觀察值等式等式由一次試驗(yàn)得到滿足不由一次試驗(yàn)得到滿足不為真為真就可以認(rèn)為如果就可以認(rèn)為如果根據(jù)實(shí)際推斷原理根據(jù)實(shí)際推斷原理小概率事件小概率事件是一個(gè)是一個(gè)時(shí)時(shí)即即為真為真因而當(dāng)因而當(dāng)xznxHznXH 第19頁/共43頁. , ,/ 002/0HHznxx因而只能接受因而只能接受沒有理由拒絕假設(shè)沒有理由拒絕假設(shè)則則滿足不等式滿足不等式若出現(xiàn)觀察值若出現(xiàn)觀察值 . ,/ ,002/0HHxznx因而拒絕因而拒絕正確性正確性的的的假設(shè)的假設(shè)則我們有理由懷疑原來則我們有

12、理由懷疑原來的觀察值的觀察值得到了滿足不等式得到了滿足不等式在一次試驗(yàn)中在一次試驗(yàn)中 第20頁/共43頁二、假設(shè)檢驗(yàn)的相關(guān)概念.稱為顯著性水平稱為顯著性水平數(shù)數(shù) 1. 顯著性水平顯著性水平 .0之下作出的之下作出的著性水平著性水平在顯在顯有無顯著差異的判斷是有無顯著差異的判斷是與與上述關(guān)于上述關(guān)于 x第21頁/共43頁2. 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量. /0稱為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量稱為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量nXZ 3. 原假設(shè)與備擇假設(shè)原假設(shè)與備擇假設(shè)假設(shè)檢驗(yàn)問題通常敘述為: ,下下在顯著性水平在顯著性水平 . ,01”檢驗(yàn)檢驗(yàn)針對(duì)針對(duì)下下或稱為“在顯著性水平或稱為“在顯著性水平HH . , 10稱為備擇假設(shè)

13、稱為備擇假設(shè)稱為原假設(shè)或零假設(shè)稱為原假設(shè)或零假設(shè) HH . : , : 0100 HH檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)第22頁/共43頁4. 拒絕域與臨界點(diǎn)拒絕域與臨界點(diǎn) 當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取某個(gè)區(qū)域C中的值時(shí), 我們拒絕原假設(shè)H0, 則稱區(qū)域C為拒絕域拒絕域, 拒絕域的邊界點(diǎn)稱為臨界點(diǎn)臨界點(diǎn).如在前面實(shí)例中, ,|2/ zz 拒絕域?yàn)榫芙^域?yàn)? ,2/2/ zzzz 臨界點(diǎn)為臨界點(diǎn)為第23頁/共43頁5. 兩類錯(cuò)誤及記號(hào)兩類錯(cuò)誤及記號(hào) 假設(shè)檢驗(yàn)的依據(jù)是: 小概率事件在一次試驗(yàn)中很難發(fā)生, 但很難發(fā)生不等于不發(fā)生, 因而假設(shè)檢驗(yàn)所作出的結(jié)論有可能是錯(cuò)誤的. 這種錯(cuò)誤有兩類:(1) 當(dāng)原假設(shè)H0為真, 觀察值卻落入拒

14、絕域, 而作出了拒絕H0的判斷, 稱做第一類錯(cuò)誤第一類錯(cuò)誤, 又叫棄棄真錯(cuò)誤真錯(cuò)誤, 這類錯(cuò)誤是“以真為假”. 犯第一類錯(cuò)誤的概率是顯著性水平. 第24頁/共43頁(2) 當(dāng)原假設(shè) H0 不真, 而觀察值卻落入接受域, 而作出了接受 H0 的判斷, 稱做第二類錯(cuò)誤第二類錯(cuò)誤, 又叫取偽錯(cuò)誤取偽錯(cuò)誤, 這類錯(cuò)誤是“以假為真”. . 0001HPHHPH接受接受或或不真接受不真接受當(dāng)當(dāng) 當(dāng)樣本容量 n 一定時(shí), 若減少犯第一類錯(cuò)誤的概率, 則犯第二類錯(cuò)誤的概率往往增大.犯第二類錯(cuò)誤的概率記為 若要使犯兩類錯(cuò)誤的概率都減小, 除非增加樣本容量.第25頁/共43頁6. 顯著性檢驗(yàn)顯著性檢驗(yàn)001001

15、01000 : : , : , , : , .HHHHH在和中 備擇假設(shè)表示可能大于也可能小于稱為雙邊備擇假設(shè) 形如的假設(shè)檢雙邊假稱為設(shè)檢驗(yàn)驗(yàn)7. 雙邊備擇假設(shè)與雙邊假設(shè)檢驗(yàn)雙邊備擇假設(shè)與雙邊假設(shè)檢驗(yàn) 只對(duì)犯第一類錯(cuò)誤的概率加以控制, 而不考慮犯第二類錯(cuò)誤的概率的檢驗(yàn), 稱為顯著性檢驗(yàn)顯著性檢驗(yàn).第26頁/共43頁8. 右邊檢驗(yàn)與左邊檢驗(yàn)右邊檢驗(yàn)與左邊檢驗(yàn) . : , : 0100稱為右邊檢驗(yàn)稱為右邊檢驗(yàn)的假設(shè)檢驗(yàn)的假設(shè)檢驗(yàn)形如形如 HH . : , : 0100稱為左邊檢驗(yàn)稱為左邊檢驗(yàn)的假設(shè)檢驗(yàn)的假設(shè)檢驗(yàn)形如形如 HH右邊檢驗(yàn)與左邊檢驗(yàn)統(tǒng)稱為右邊檢驗(yàn)與左邊檢驗(yàn)統(tǒng)稱為單邊檢驗(yàn)單邊檢驗(yàn).第27頁

16、/共43頁9. 單邊檢驗(yàn)的拒絕域單邊檢驗(yàn)的拒絕域 , ,),(212 給定顯著性水平給定顯著性水平的樣本的樣本是來自總體是來自總體為已知為已知設(shè)總體設(shè)總體XXXXNXn./ ,/00 znxzznxz 左邊檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)樽筮厵z驗(yàn)的拒絕域?yàn)橛疫厵z驗(yàn)的拒絕域?yàn)橛疫厵z驗(yàn)的拒絕域?yàn)閯t則證明證明 (1)右邊檢驗(yàn) , / 0nXZ 取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 ,:,: 0100 HH第28頁/共43頁 , 10要小要小中的中的都比都比中的全部中的全部因因 HH , , 1往往偏大往往偏大觀察值觀察值為真時(shí)為真時(shí)當(dāng)當(dāng)xH , , 為待定正常數(shù)為待定正常數(shù)因此拒絕域的形式為因此拒絕域的形式為kkx 00HHP為

17、真拒絕為真拒絕由由 kXPH 0 nknXP/000 nknXP/00 第29頁/共43頁上式不等號(hào)成立的原因:, 0 因?yàn)橐驗(yàn)?/ 0nXnX 所以所以./000 nknXnknX 事件事件 , 00 HHP為真拒絕為真拒絕要控制要控制./00 nknXP只需令只需令第30頁/共43頁故右邊檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)楣视疫厵z驗(yàn)的拒絕域?yàn)?,1, 0(/ NnX 因?yàn)橐驗(yàn)?/ 0 znk 所以所以,0 znk ./0 znxz 即即,0 znx 第31頁/共43頁證明證明 (2)左邊檢驗(yàn) ,:, : 0100 HH , ,/ 0待定待定拒絕域的形式為拒絕域的形式為kknxz 00HHP為真拒絕為真拒絕由由

18、,/00 knxP , zk 得得./0 znxz 故左邊檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)楣首筮厵z驗(yàn)的拒絕域?yàn)榈?2頁/共43頁三、假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟 ; ,. 110HH假設(shè)假設(shè)及備擇及備擇提出原假設(shè)提出原假設(shè)根據(jù)實(shí)際問題的要求根據(jù)實(shí)際問題的要求 ; . 2n以及樣本容量以及樣本容量給定顯著性水平給定顯著性水平 3. 確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量以及拒絕域形式; ;. 400求出拒絕域求出拒絕域?yàn)檎婢芙^為真拒絕按按 HHP . ,. 50H受還是拒絕受還是拒絕根據(jù)樣本觀察值確定接根據(jù)樣本觀察值確定接取樣取樣第33頁/共43頁四、典型例題.05. 0 ? s,/cm2 s./cm25.41 ,25,. s/cm2, s/cm

19、40),(2 取顯著水平取顯著水平燒率有顯著的提高燒率有顯著的提高以往生產(chǎn)的推進(jìn)器的燃以往生產(chǎn)的推進(jìn)器的燃推進(jìn)器的燃燒率是否較推進(jìn)器的燃燒率是否較問用新方法生產(chǎn)的問用新方法生產(chǎn)的法下總體均方差仍為法下總體均方差仍為設(shè)在新方設(shè)在新方得燃燒率的樣本均值為得燃燒率的樣本均值為測(cè)測(cè)只只隨機(jī)取隨機(jī)取進(jìn)器進(jìn)器用新方法生產(chǎn)了一批推用新方法生產(chǎn)了一批推現(xiàn)現(xiàn)從正態(tài)分布從正態(tài)分布推進(jìn)器的燃燒率服推進(jìn)器的燃燒率服某工廠生產(chǎn)的固體燃料某工廠生產(chǎn)的固體燃料xnN例例1第34頁/共43頁 , )( : 01燒率燒率即假設(shè)新方法提高了燃即假設(shè)新方法提高了燃 H這是右邊檢驗(yàn)問題, .645. 1/05. 00 znxz 拒絕

20、域?yàn)榫芙^域?yàn)?,645. 13.125/0 nxz 因?yàn)橐驗(yàn)?,值落在拒絕域中值落在拒絕域中z . 0.05 0H下拒絕下拒絕故在顯著性水平故在顯著性水平 即認(rèn)為這批推進(jìn)器的燃燒率較以往有顯著提高.解解根據(jù)題意需要檢驗(yàn)假設(shè) , )( 40: 00燃燒率燃燒率即假設(shè)新方法沒有提高即假設(shè)新方法沒有提高 H第35頁/共43頁.251, |),( ,25)2(;|, 1)1(. 0.05, )0:(0: ,)100,(),(251251111111021 iinxxdxxxWndxxWnWdHHNXXX其中其中概率為概率為的檢驗(yàn)犯第一類錯(cuò)誤的的檢驗(yàn)犯第一類錯(cuò)誤的為拒絕域?yàn)榫芙^域使得以使得以分別確定常數(shù)分別確定常數(shù)兩種情況下兩種情況下在下列在下列要檢驗(yàn)要檢驗(yàn)的一個(gè)樣本的一個(gè)樣本是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體設(shè)設(shè) 解解 ,1)1(0成立成立若若時(shí)時(shí)Hn , )1 , 0(10 1NX則則例例2第36頁/共43頁 dXPWXP 111 10101dXP 1010dd 1012d ,05. 0 ,975. 010 d ,96. 110 d; 6 .19 d第37頁/共43頁 ,25)2(0成立成立若若時(shí)時(shí)Hn , )1 , 0(1025 NX則則 dXPWXXP 1251, 22dXP 22dd 212d ,05. 0 ,975. 02 d ,96. 12 d.92. 3