自學(xué)考試概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(經(jīng)管類(lèi))公式

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（經(jīng)管類(lèi)）公式一、隨機(jī)事件和概率1、隨機(jī)事件及其概率運(yùn)算律名稱表送式交換律A+B=B+A AB=BA結(jié)合律(A+B) +C =A+(B+C) = A + B+C(AB)C=A(BC) =ABC分配律A(B 蘭C) =AB AC A+(BC)=(A+B)(A+C)德摩根律A+B=AB AB = A+B2、概率的定義及其計(jì)算公式名稱公式表達(dá)式求逆公式P(A) =1 P(A)加法公式P(A+B) =P(A) +P(B)P(AB)條件概率公式P(B|A)=31P(A)乘法公式P(AB) =P(A)P(B A) P(AB) =P(B)P(AB)全概率公式nP(B)= P(A)P(B|Ai

2、) i=1貝葉斯公式P(Aj)P(B|Aj)P(Aj|B) s1（逆概率公式）工 P(Aj)P(B|Ai)iT伯努力概型公式Pn(k) =Ckpk(1p)i,k =0,1,n兩件事件相互獨(dú)立相P(AB) =P(A)P(B); P(B A) =P(B) ； P(BA)=P(BA) ; P(B A)+P(B A) =1 ;應(yīng)公式p(b|a)+p(b|a) =1、隨機(jī)變量及其分布1、分布函數(shù)性質(zhì)P(X E b) = F (b) P(a :二 X 三 b) = F (b) - F 2、離散型隨機(jī)變量分布名稱分布律0-1 分布 B(1，P)P(X =k) = pk(1_p)1, k =0,1二項(xiàng)分布B(

3、n,P)P(X =k) =C；pk(1_p)n, k = 0,1，,n泊松分布P (九)kP(X =k)=e , k = 0,1,2)、 k!幾何分布G(p)P(X =k)=(1 P)k,p, k = 0,1,2,超幾何分布H(N,M,n)C k n_Cm Cn_mP(X =k)=-n-=M ,k =l,l +1,，min(n,M )Cn3、連續(xù)型隨機(jī)變量分布名稱密度函數(shù)分布函數(shù)均勻分布U(a,b)f(X1.,a x b b a、0,其他0, xaF(x) =1 x a ,a xb指數(shù)分布E(K)f (X)=九eX, x 0、Q 其他F(x) =“0,X01-e4X,x之0正態(tài)分布N(N,ct

4、2)(x-M)2f ( X) = =- e2仃2-OC . X -HeJ2n仃_1F(X)=T27xf2X_ 2e2J d t標(biāo)準(zhǔn)止態(tài)分布N (0,1)2X小1一丁.(X) = fe 2一X -J2n1F(x)- l . d2n仃x(t42X2f e 20r dt _nO三、多維隨機(jī)變量及其分布1、離散型二維隨機(jī)變量邊緣分布學(xué)習(xí)參考Pi =P(X =x) = P(X =Xi，Y =yj)=，,Pij2、離散型二維隨機(jī)變量條件分布Pj =P(Y =yj) -v P(X =Xi，Y =yj)-PijPij .4 r 一 ,i =1,2PjP(X =Xi ,Y =yj)% =P(X=XiY=yj尸”

5、丫P( X = xi,Y = y j)pijPji =P(Y =yj X =xi) = -P二6,j =1,2x y f (u,v)dvduP (X xi )Pi ,3、連續(xù)型二維隨機(jī)變量(X ,Y )的分布函數(shù)F (x, y)=4、連續(xù)型二維隨機(jī)變量邊緣分布函數(shù)與邊緣密度函數(shù)分布函數(shù)：x Fx (x) =f (u,v)dvdu3密度函數(shù)：fX(x) ,二f(x,v)dvy ,:/Fy ( y) =f(u,v)dudv-befY (y) = f (u, y)du5、二維隨機(jī)變量的條件分布fYx(yx)=/一分.y :二二fx (x)fxY(xy)：f(x, y) 一 fY(y),一二：二 x

6、:二四、隨機(jī)變量的數(shù)字特征1、數(shù)學(xué)期望-boE(X ) = xk pk E ( X ) = xf (x)dx離散型隨機(jī)變量：k-連續(xù)型隨機(jī)變量：2、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1) E(C) =C,C為常數(shù) EE(X)=E(X) E(CX)=CE(X)(2) E(X -Y) =E(X)_E(Y) E(aX -b) =aE(X)_b E(C1X1 - CnXn)=C1E(X1) CnE(Xn)(3)若 XY 相互獨(dú)立則：E(XY)=E(X)E(Y)(4)E(XY)2 0的獨(dú)立同分布時(shí)，當(dāng)n充分大時(shí)有：n、Xk -nYn =krN(0,1)n 二(2)拉普拉斯定理：隨機(jī)變量7(n =1,2一)B(n, p)則

7、對(duì)任意x有：t2n np lim PJ .：.np(1 -p)x 12三xe 2dt -：4x)“2：nnXk -n J(3)近似計(jì)算：P(a立Xk b)=P(a-Z w旺丁一 b)左中(早5 玄二上)k4n二 ，n二 .n。n。，n。六、數(shù)理統(tǒng)計(jì)1、總體和樣本總體X的分布函數(shù)F(x)樣本(X1,X23Xn)的聯(lián)合分布為F(xi,x2 xn)入廣(xk)2、統(tǒng)計(jì)量/ n/ n2121 T .22(1)樣本平均值：1一X = 、 Xin yS2 =一二、(XX)2=1 (X2 -nX ) n 1n -1(2)樣本方差：Ii，-1n 21nLS =J-Z (Xi -X)2Ak =-H Xik, k

8、 =1,2(3)樣本標(biāo)準(zhǔn)差： n I(4)樣本及階原點(diǎn)距： 口 IBk =Mk =-Z (Xi -X)k,k =2,3-樣本k階中心距：n i(6)次序統(tǒng)計(jì)量：設(shè)樣本(X1,X2Xn)的觀察值(x1,x2xn),將不/2xn按照由小到大的次序重新排列得到xx(2)2) lim t(n) = N (0,1) =-j=e 2b n -221.2二(3)F分布：設(shè)隨機(jī)變量U殍(n1),V？2(n2),且U與V獨(dú)立，則隨機(jī)變量FSE2)=上口所服從的分布V n2稱為自由度(ni,n2)的F分布，記為FF(ni,n2)1性質(zhì)：設(shè) XF(m,n),則一F(n,m)X七、參數(shù)估計(jì)1、參數(shù)估計(jì) 定義：用aXi

9、，X2，Xn)估計(jì)總體參數(shù)6,稱aXi,X2，Xn)為8的估計(jì)量，相應(yīng)的& X3X2,X n)為 總體6的估計(jì)值。(2)當(dāng)總體是正態(tài)分布時(shí)，未知參數(shù)的矩估計(jì)值=未知參數(shù)的最大似然估計(jì)值2、點(diǎn)估計(jì)中的矩估計(jì)法：(總體矩=樣本矩)1 _n 二離散型樣本均值：X=E(X)=Xi 連續(xù)型樣本均值：X=E(X)= xf (x, 0)dxn i=4二二n -離散型參數(shù)：E(X2) =-J Xi2n . 3、點(diǎn)估計(jì)中的最大似然估計(jì)最大似然估計(jì)法：Xi,X2，Xn取自X的樣本，設(shè)X f(x,6)或P(X =Xi)=P(8)則可得到概率密度nnnf (Xi，X2，,日)=口 f /，削或 P(X =XX2，Xn =*0)=口 P(X =為)=R P