131算法案例（第一課時(shí)）

1、算算 法法 案案 例例(第一課時(shí))1. 回顧算法的三種表述：回顧算法的三種表述：自然語(yǔ)言自然語(yǔ)言程序框圖程序框圖程序語(yǔ)言程序語(yǔ)言（三種邏輯結(jié)構(gòu)）（三種邏輯結(jié)構(gòu)）（五種基本語(yǔ)句）（五種基本語(yǔ)句）2. 思考：思考： 小學(xué)學(xué)過(guò)的求兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)的方法？小學(xué)學(xué)過(guò)的求兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)的方法？ 先用兩個(gè)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，一直先用兩個(gè)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來(lái)除數(shù)連乘起來(lái).1、求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)、求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)（1）求）求25和和35的最大公約數(shù)的最大公約數(shù)（2）求）求49和和63的最大公約數(shù)的最大

2、公約數(shù)25（1） 5535749（2） 77639所以，所以，25和和35的最大公約數(shù)為的最大公約數(shù)為5所以，所以，49和和63的最大公約數(shù)為的最大公約數(shù)為72、除了用這種方法外還有沒(méi)有其它方法？、除了用這種方法外還有沒(méi)有其它方法？算出算出8256和和6105的最大公約數(shù)的最大公約數(shù). 輾轉(zhuǎn)相除法（歐幾里得算法）輾轉(zhuǎn)相除法（歐幾里得算法）觀察用輾轉(zhuǎn)相除法求觀察用輾轉(zhuǎn)相除法求8251和和6105的最大公約數(shù)的過(guò)程的最大公約數(shù)的過(guò)程 第一步第一步 用兩數(shù)中較大的數(shù)除以較小的數(shù)，求得商和余數(shù)用兩數(shù)中較大的數(shù)除以較小的數(shù)，求得商和余數(shù)8251=61051+2146結(jié)論：結(jié)論： 8251和和6105的公

3、約數(shù)就是的公約數(shù)就是6105和和2146的公約數(shù)，求的公約數(shù)，求8251和和6105的最大公約數(shù)，只要求出的最大公約數(shù)，只要求出6105和和2146的公約數(shù)就可以了。的公約數(shù)就可以了。第二步第二步 對(duì)對(duì)6105和和2146重復(fù)第一步的做法重復(fù)第一步的做法6105=21462+1813同理同理6105和和2146的最大公約數(shù)也是的最大公約數(shù)也是2146和和1813的最大公約數(shù)。的最大公約數(shù)。 完整的過(guò)程完整的過(guò)程8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0例例2 用輾轉(zhuǎn)相除法求用輾轉(zhuǎn)

4、相除法求225和和135的最大公約數(shù)的最大公約數(shù)225=1351+90135=901+4590=452顯然顯然37是是148和和37的最大公約數(shù)，的最大公約數(shù)，也就是也就是8251和和6105的最大公約的最大公約數(shù)數(shù) 顯然顯然45是是90和和45的最大公約數(shù)，也就是的最大公約數(shù)，也就是225和和135的最大公約數(shù)的最大公約數(shù) 思考思考1：從上面的兩個(gè)例子可以看出計(jì)算：從上面的兩個(gè)例子可以看出計(jì)算的規(guī)律是什么？的規(guī)律是什么？ S1：用大數(shù)除以小數(shù)：用大數(shù)除以小數(shù)S2：除數(shù)變成被除數(shù)，余數(shù)變成除數(shù)：除數(shù)變成被除數(shù)，余數(shù)變成除數(shù)S3：重復(fù)：重復(fù)S1，直到余數(shù)為，直到余數(shù)為0 輾轉(zhuǎn)相除法是一個(gè)反復(fù)執(zhí)行

5、直到余數(shù)等于輾轉(zhuǎn)相除法是一個(gè)反復(fù)執(zhí)行直到余數(shù)等于0停止的步驟，這實(shí)際上是停止的步驟，這實(shí)際上是一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)。一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)。8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0m = n q r用程序框圖表示出右邊的過(guò)程用程序框圖表示出右邊的過(guò)程r=m MOD nm = nn = rr=0?是否1 1、輾轉(zhuǎn)相除法（歐幾里得算法）、輾轉(zhuǎn)相除法（歐幾里得算法）（1）算理：所謂輾轉(zhuǎn)相除法，就是對(duì)于給定）算理：所謂輾轉(zhuǎn)相除法，就是對(duì)于給定的兩個(gè)數(shù)，用較大的數(shù)除以較小的數(shù)。若余的兩個(gè)數(shù)，用較大的數(shù)除以

6、較小的數(shù)。若余數(shù)不為零，則將余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)成新的一數(shù)不為零，則將余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對(duì)數(shù)，繼續(xù)上面的除法，直到大數(shù)被小數(shù)除對(duì)數(shù)，繼續(xù)上面的除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡，則這時(shí)較小的數(shù)就是原來(lái)兩個(gè)數(shù)的最大盡，則這時(shí)較小的數(shù)就是原來(lái)兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。公約數(shù)。（2 2）算法步驟）算法步驟第一步：輸入兩個(gè)正整數(shù)第一步：輸入兩個(gè)正整數(shù)m,n(mn).第二步：計(jì)算第二步：計(jì)算m除以除以n所得的余數(shù)所得的余數(shù)r.第三步：第三步：m=n,n=r.第四步：若第四步：若r0,則則m,n的最大公約數(shù)等于的最大公約數(shù)等于m； 否則轉(zhuǎn)到第二步否則轉(zhuǎn)到第二步. 第五步：輸出最大公約數(shù)第五步：輸出最大公約數(shù)m.（3 3

7、）程序框圖）程序框圖（4 4）程序）程序INPUT “m,n=“;m,nDO r=m MOD n m=n n=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND開(kāi)始開(kāi)始輸入輸入m,n r=m MOD n m=nr=0?是是否否 n=r 輸出輸出m結(jié)束結(jié)束九章算術(shù)九章算術(shù)更相減損術(shù)更相減損術(shù) 算理：算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。數(shù)約之。第一步：第一步：任意給定兩個(gè)正整數(shù)；判斷他們是否都是任意給定兩個(gè)正整數(shù)；判斷他們是否都是偶數(shù)。若是，則用偶數(shù)。若是，則用2約簡(jiǎn)；若不

8、是則執(zhí)行第二步。約簡(jiǎn)；若不是則執(zhí)行第二步。第二步：第二步：以較大的數(shù)減較小的數(shù)，接著把所得的差以較大的數(shù)減較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個(gè)操作，與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的減數(shù)和差相等為止，則這個(gè)等數(shù)就是所直到所得的減數(shù)和差相等為止，則這個(gè)等數(shù)就是所求的最大公約數(shù)。求的最大公約數(shù)。2、更相減損術(shù)、更相減損術(shù)（1）算理）算理：所謂更相減損術(shù)，就是對(duì)于給：所謂更相減損術(shù)，就是對(duì)于給定的兩個(gè)數(shù)，用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，然定的兩個(gè)數(shù)，用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，然后將差和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對(duì)數(shù)，再用較后將差和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對(duì)數(shù)，再用較大的數(shù)減

9、去較小的數(shù)，反復(fù)執(zhí)行此步驟直到大的數(shù)減去較小的數(shù)，反復(fù)執(zhí)行此步驟直到差數(shù)和較小的數(shù)相等，此時(shí)相等的兩數(shù)便為差數(shù)和較小的數(shù)相等，此時(shí)相等的兩數(shù)便為原來(lái)兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。原來(lái)兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。（2）算法步驟）算法步驟第一步：輸入兩個(gè)正整數(shù)第一步：輸入兩個(gè)正整數(shù)a,b(ab);第二步：若第二步：若a不等于不等于b ,則執(zhí)行第三步；否則轉(zhuǎn)則執(zhí)行第三步；否則轉(zhuǎn)到第五步；到第五步；第三步：把第三步：把a(bǔ)-b的差賦予的差賦予r;第四步：如果第四步：如果br, 那么把那么把b賦給賦給a,把把r賦給賦給b;否否則把則把r賦給賦給a，執(zhí)行第二步；，執(zhí)行第二步；第五步：輸出最大公約數(shù)第五步：輸出最大公約數(shù)b.（

10、3 3）程序框圖）程序框圖（4 4）程序）程序INPUT “a,b=“;a,bWHILE ab r=a-b IF br THEN a=b b=r ELSE a=r END IFWENDPRINT bEND開(kāi)始開(kāi)始輸入輸入a,bab?是是否否 輸出輸出b結(jié)束結(jié)束 b=ra=br=a-brb?a=r否否是是例例3 3 用更相減損術(shù)求用更相減損術(shù)求9898與與6363的最大公約數(shù)的最大公約數(shù)解：由于解：由于6363不是偶數(shù)，把不是偶數(shù)，把9898和和6363以大數(shù)減小數(shù)，以大數(shù)減小數(shù)，并輾轉(zhuǎn)相減并輾轉(zhuǎn)相減 989863633535636335352828353528287 728287 721212

11、1217 7141414147 77 7所以，所以，9898和和6363的最大公約數(shù)等于的最大公約數(shù)等于7 7 用更相減損術(shù)求兩個(gè)正數(shù)用更相減損術(shù)求兩個(gè)正數(shù)8484與與7272的最大公約數(shù)的最大公約數(shù) 練習(xí)：練習(xí)：先約簡(jiǎn)，再求先約簡(jiǎn)，再求21與與18的最大公約數(shù)的最大公約數(shù),然后乘然后乘以兩次約簡(jiǎn)的質(zhì)因數(shù)以兩次約簡(jiǎn)的質(zhì)因數(shù)4例例3、求、求324、243、135這三個(gè)數(shù)的最大這三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。公約數(shù)。思路分析：求三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)可以先求出兩個(gè)思路分析：求三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)可以先求出兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，第三個(gè)數(shù)與前兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的最大公約數(shù)，第三個(gè)數(shù)與前兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的最大公約數(shù)即為所求。數(shù)的最大公約數(shù)即為所求。比較輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別比較輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別（1 1）都是求最大公約數(shù)的方法，計(jì)算上輾轉(zhuǎn)相除）都是求最大公約數(shù)的方法，計(jì)算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計(jì)算次數(shù)法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計(jì)算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法