導(dǎo)熱微分方程及穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

1、工學(xué)院機(jī)電工程教研室 傳輸原理工學(xué)院機(jī)電工程教研室 傳輸原理熱量的傳遞方式熱量的傳遞方式特定條件下熱量傳遞、溫度分布的有關(guān)規(guī)律特定條件下熱量傳遞、溫度分布的有關(guān)規(guī)律工學(xué)院機(jī)電工程教研室 傳輸原理 鋰電池被加熱至 250 攝氏度（華氏 482 度）后體積迅速膨脹直至爆炸，研究員將此過(guò)程稱之為“熱失控”。結(jié)果顯示，鋰電池內(nèi)部結(jié)構(gòu)在“熱失控”前并不會(huì)發(fā)生變化，但在爆炸發(fā)生瞬間，電池內(nèi)部銅質(zhì)材料融化但在爆炸發(fā)生瞬間，電池內(nèi)部銅質(zhì)材料融化將溫度提升至將溫度提升至 1000 攝氏度，產(chǎn)生的熱量從內(nèi)部向外擴(kuò)攝氏度，產(chǎn)生的熱量從內(nèi)部向外擴(kuò)散導(dǎo)致散導(dǎo)致“熱失控?zé)崾Э亍?。鋰電池通常被安裝在設(shè)備內(nèi)部并與其他電子元件

2、相連，“熱失控”不僅會(huì)使電池核心崩潰，還增加了設(shè)備內(nèi)部短路和破壞附近物體的風(fēng)險(xiǎn)。 3D 熱成熱成像技術(shù)像技術(shù)工學(xué)院機(jī)電工程教研室 傳輸原理溫度變化可使改變汽車顏溫度變化可使改變汽車顏色變換的熱敏涂料誕生色變換的熱敏涂料誕生熱敏反應(yīng)涂料涂在尼桑熱敏反應(yīng)涂料涂在尼桑Skyline R33汽車表面，當(dāng)傾倒汽車表面，當(dāng)傾倒冷水時(shí)會(huì)使汽車變成橙色冷水時(shí)會(huì)使汽車變成橙色。工學(xué)院機(jī)電工程教研室 傳輸原理通用導(dǎo)熱能量方程通用導(dǎo)熱能量方程工學(xué)院機(jī)電工程教研室 傳輸原理基本概念基本概念一 、溫度場(chǎng) （Temperature field） 溫度場(chǎng)是指在各個(gè)時(shí)刻物體內(nèi)各點(diǎn)溫度分布的總稱。 由傅立葉定律知，物體的溫度分

3、布是坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)： ,zyxft 其中 為空間坐標(biāo)， 為時(shí)間坐標(biāo)。 , ,x y z工學(xué)院機(jī)電工程教研室 傳輸原理基本概念基本概念溫度場(chǎng)分類 穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)（定常溫度場(chǎng)）:是指在穩(wěn)態(tài)條件下物體各點(diǎn)的溫度分布不隨時(shí)間的改變而變化的溫度場(chǎng)稱穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)非穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)（非定常溫度場(chǎng)）:是指在變動(dòng)工作條件下，物體中各點(diǎn)的溫度分布隨時(shí)間而變化的溫度場(chǎng)0t0t工學(xué)院機(jī)電工程教研室 傳輸原理基本概念基本概念等溫面與等溫線等溫面與等溫線等溫面：同一時(shí)刻、溫度場(chǎng)中所有溫度相同的點(diǎn)連接起來(lái)所構(gòu)成的面等溫線：用一個(gè)平面與各等溫面相交，在這個(gè)平面上得到一個(gè)等溫線簇工學(xué)院機(jī)電工程教研室 傳輸原理基本概念基本概念工學(xué)院機(jī)電工

4、程教研室 傳輸原理工學(xué)院機(jī)電工程教研室 傳輸原理溫度梯度 沿等溫面法線方向上的溫度增量與法向距離比值的極限。 溫度梯度和熱流密度nntnttnlimgrad0溫度梯度是向量，垂直于等溫面， 正向朝著溫度增加的方向；溫度梯度的方向是溫度變化率最大的方向。 mnmtnt工學(xué)院機(jī)電工程教研室 傳輸原理kjiztytxttgrad 溫度梯度的解析定義： 溫度場(chǎng) 中點(diǎn) 處的溫度梯度：),(zyxft ),(zyxkjizyxhamilton算子，經(jīng)此演算，標(biāo)量場(chǎng) 變成了矢量場(chǎng)。tttijkxyz nablagradgradient工學(xué)院機(jī)電工程教研室 傳輸原理（4） 熱流密度 熱流密度是指單位時(shí)間經(jīng)過(guò)單

5、位面積所傳遞的熱量，用 q表示，單位為 。 2/W m導(dǎo)熱的熱流密度與溫度梯度成正比，即：nqnttgrad 導(dǎo)熱系數(shù)，物性值。單位為W/(mK)。負(fù)號(hào)是因?yàn)闊崃髅芏扰c溫度梯度的方向相反。 熱流密度為矢量，其在x、y、z軸上的投影用傅立葉定律表示為： xtqxytqyztqz工學(xué)院機(jī)電工程教研室 傳輸原理基本概念基本概念t+ttt-t 溫度梯度和熱流密度的方向都是在等溫面的法線方向。由于熱流是從高溫處流向低溫處，因而溫度梯度和熱流密度的方向正好相反。 工學(xué)院機(jī)電工程教研室 傳輸原理 熱流量是指單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)面積F所傳遞的熱量，用Q表示，單位為W。dFFQq熱流量矢量，它們和溫度梯度位于等溫面的

6、同一法線上，且沿溫度降低方向?yàn)檎?。 總熱量是指在時(shí)間 內(nèi)通過(guò)面積F所傳遞的熱量，用Q表示，單位為J或kJ。 00dddFFqQQ基本概念基本概念工學(xué)院機(jī)電工程教研室 傳輸原理工學(xué)院機(jī)電工程教研室 傳輸原理導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱微分方程 確定導(dǎo)熱體內(nèi)的溫度分布是導(dǎo)熱理論的首要任務(wù)確定導(dǎo)熱體內(nèi)的溫度分布是導(dǎo)熱理論的首要任務(wù) 傅里葉定律：傅里葉定律： 確定熱流密度的大小，應(yīng)知道物體內(nèi)的溫度場(chǎng)確定熱流密度的大小，應(yīng)知道物體內(nèi)的溫度場(chǎng):2 - grad W m qt( , , , )tfxyz目的目的：確定導(dǎo)熱體內(nèi)部溫度的分布確定導(dǎo)熱體內(nèi)部溫度的分布 , 從而進(jìn)一從而進(jìn)一步用傅里葉定律計(jì)算換熱量、計(jì)算熱應(yīng)力

7、步用傅里葉定律計(jì)算換熱量、計(jì)算熱應(yīng)力。( , , , )tf x y z工學(xué)院機(jī)電工程教研室 傳輸原理導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱微分方程 一、導(dǎo)熱微分方程的推導(dǎo)理論基礎(chǔ)：傅里葉定律理論基礎(chǔ)：傅里葉定律 + + 能量守恒方程能量守恒方程 導(dǎo)熱微分方程:根據(jù)能量守恒定律與傅立葉定律，建立導(dǎo)熱物體中的溫度場(chǎng)應(yīng)滿足的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 導(dǎo)熱體內(nèi)取一微元體，導(dǎo)熱體內(nèi)取一微元體，根據(jù)能量守恒定律，根據(jù)能量守恒定律，單位時(shí)間凈導(dǎo)入微元體的熱量單位時(shí)間凈導(dǎo)入微元體的熱量 加上微元體內(nèi)加上微元體內(nèi)熱源生成的熱量熱源生成的熱量 應(yīng)等于微元體焓的增加量應(yīng)等于微元體焓的增加量 dv dv工學(xué)院機(jī)電工程教研室 傳輸原理導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱

8、微分方程 物理問(wèn)題描述物理問(wèn)題描述 三維的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱體，且物體內(nèi)有內(nèi)熱源（導(dǎo)熱三維的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱體，且物體內(nèi)有內(nèi)熱源（導(dǎo)熱以外其它形式的熱量，如化學(xué)反應(yīng)能、電能等）。以外其它形式的熱量，如化學(xué)反應(yīng)能、電能等）。假設(shè)條件假設(shè)條件 (1) (1) 所研究的物體是各向同性的連續(xù)介質(zhì)；所研究的物體是各向同性的連續(xù)介質(zhì)； (2) (2) 熱導(dǎo)率、比熱容和密度均為已知；熱導(dǎo)率、比熱容和密度均為已知； (3) (3) 內(nèi)熱源均勻分布，強(qiáng)度為內(nèi)熱源均勻分布，強(qiáng)度為 W/mW/m3 3 ； (4) (4) 導(dǎo)熱體與外界沒(méi)有功的交換。導(dǎo)熱體與外界沒(méi)有功的交換。 工學(xué)院機(jī)電工程教研室 傳輸原理導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱微分方程

9、 1 1、導(dǎo)入與導(dǎo)出微元體的凈熱量、導(dǎo)入與導(dǎo)出微元體的凈熱量 d d 時(shí)間內(nèi)、沿時(shí)間內(nèi)、沿 x x 軸方軸方向、經(jīng)向、經(jīng) x x 表面導(dǎo)入的熱量表面導(dǎo)入的熱量：xxdq dydzd d d 時(shí)間內(nèi)、沿時(shí)間內(nèi)、沿 x x 軸方軸方向、經(jīng)向、經(jīng) x+dx x+dx 表面導(dǎo)出表面導(dǎo)出的熱量：的熱量：x dxx dxdqdydzddxxqqqxxdxx工學(xué)院機(jī)電工程教研室 傳輸原理導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱微分方程 d d 時(shí)間內(nèi)、沿時(shí)間內(nèi)、沿 x x 軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量xxx dxqdddxdydzdx d d 時(shí)間內(nèi)、沿時(shí)間內(nèi)、沿 y y 軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量軸

10、方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量yyy dyqdddxdydzdy d d 時(shí)間內(nèi)、沿時(shí)間內(nèi)、沿 z z 軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量zzz dzqdddxdydzdz 工學(xué)院機(jī)電工程教研室 傳輸原理導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱微分方程 導(dǎo)入與導(dǎo)出凈熱量導(dǎo)入與導(dǎo)出凈熱量: :()yxzdqqqddxdydzdxyz 傅里葉定律：傅里葉定律：xtqxytqyztqz()()()dtttdxdydzdxxyyzz 工學(xué)院機(jī)電工程教研室 傳輸原理導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱微分方程 2 2、 d d 時(shí)間微元體內(nèi)熱源的發(fā)熱量時(shí)間微元體內(nèi)熱源的發(fā)熱量vvq dxdydzd 3 3、微元體在、微元體在d

11、d 時(shí)間時(shí)間內(nèi)焓的增加量?jī)?nèi)焓的增加量 dxdydzdtcdv 工學(xué)院機(jī)電工程教研室 傳輸原理導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱微分方程 ()()()vttttcqxxyyzz非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)源項(xiàng)源項(xiàng)擴(kuò)散項(xiàng)擴(kuò)散項(xiàng)dv 這是笛卡爾坐標(biāo)系中這是笛卡爾坐標(biāo)系中三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程的三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程的一般表達(dá)式一般表達(dá)式。 其物理意義：其物理意義：反映了物體的溫度隨反映了物體的溫度隨時(shí)間和空間的變化關(guān)系。時(shí)間和空間的變化關(guān)系。 工學(xué)院機(jī)電工程教研室 傳輸原理傅里葉定律傅里葉定律由此可見由此可見 物理意義物理意義： 值大，即值大，即 值大或值大或 c c 值小，說(shuō)明物體的某值小，說(shuō)明物體的某一部分一旦獲得熱量，該熱

12、量能在整個(gè)物體中很快一部分一旦獲得熱量，該熱量能在整個(gè)物體中很快擴(kuò)散，其內(nèi)部各點(diǎn)溫度扯平的能力越大。擴(kuò)散，其內(nèi)部各點(diǎn)溫度扯平的能力越大。 越大，表示物體中溫度變化傳播的越快。所以，越大，表示物體中溫度變化傳播的越快。所以， 也是材料傳播溫度變化能力大小的指標(biāo)，亦稱導(dǎo)溫也是材料傳播溫度變化能力大小的指標(biāo)，亦稱導(dǎo)溫系數(shù)。系數(shù)。熱擴(kuò)散率表征物體被加熱或冷卻時(shí)，物體內(nèi)各部分熱擴(kuò)散率表征物體被加熱或冷卻時(shí)，物體內(nèi)各部分溫度趨向于均勻一致的能力，所以溫度趨向于均勻一致的能力，所以 反映導(dǎo)熱過(guò)程動(dòng)反映導(dǎo)熱過(guò)程動(dòng)態(tài)特性，研究不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱重要物理量。態(tài)特性，研究不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱重要物理量。 工學(xué)院機(jī)電工程教研室 傳輸原

13、理 幾種特殊情況若物性參數(shù)， ，均為常數(shù)無(wú)內(nèi)熱源，常物性：穩(wěn)態(tài)，常物性：穩(wěn)態(tài)，常物性，無(wú)內(nèi)熱源：222222vpqttttaxyzc簡(jiǎn)寫為：2vppqtatcac為熱擴(kuò)散系數(shù)(導(dǎo)溫系數(shù)) /s pc2tat2vq0t20t工學(xué)院機(jī)電工程教研室 傳輸原理導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱微分方程 單值性條件：確定唯一解的附加補(bǔ)充說(shuō)明條件，單值性條件：確定唯一解的附加補(bǔ)充說(shuō)明條件，包括四項(xiàng)：幾何、物理、初始、邊界包括四項(xiàng)：幾何、物理、初始、邊界1 1、幾何條件：、幾何條件：說(shuō)明導(dǎo)熱體的幾何形說(shuō)明導(dǎo)熱體的幾何形狀和大小，如：平壁或圓筒壁；厚狀和大小，如：平壁或圓筒壁；厚度、直徑等度、直徑等2 2、物理?xiàng)l件：、物理?xiàng)l件

14、：說(shuō)明導(dǎo)熱體的物理說(shuō)明導(dǎo)熱體的物理特征如：物性參數(shù)特征如：物性參數(shù) 、c c 和和 的數(shù)的數(shù)值，是否隨溫度變化；有無(wú)內(nèi)熱源、值，是否隨溫度變化；有無(wú)內(nèi)熱源、大小和分布；大小和分布；工學(xué)院機(jī)電工程教研室 傳輸原理導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱微分方程 3 3、初始條件：、初始條件：又稱時(shí)間條件，反映導(dǎo)又稱時(shí)間條件，反映導(dǎo)熱系統(tǒng)的初始狀態(tài)熱系統(tǒng)的初始狀態(tài) ) 0 ,(zyxft、邊界條件、邊界條件: :反映導(dǎo)熱系統(tǒng)在界面上的反映導(dǎo)熱系統(tǒng)在界面上的特征，也可理解為系統(tǒng)與外界環(huán)境之間特征，也可理解為系統(tǒng)與外界環(huán)境之間的關(guān)系。的關(guān)系。 t=f(y,z,) 0 x1 x 0 x1 x ),(zyfxt0 x1 x )t

15、h ttx（工學(xué)院機(jī)電工程教研室 傳輸原理導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱微分方程 導(dǎo)熱微分方程單值性條件求解方法導(dǎo)熱微分方程單值性條件求解方法 溫度場(chǎng)溫度場(chǎng)2 、導(dǎo)熱微分方程的適用范圍、導(dǎo)熱微分方程的適用范圍 1 1 ）適用于）適用于 q q 不很高，而作用時(shí)間長(zhǎng)。同時(shí)傅立不很高，而作用時(shí)間長(zhǎng)。同時(shí)傅立葉定律也適用該條件。葉定律也適用該條件。 2 2 ）若時(shí)間極短，而且熱流密度極大時(shí)，則不適用。）若時(shí)間極短，而且熱流密度極大時(shí)，則不適用。3 3 ）若屬極底溫度（）若屬極底溫度（ -273 -273 ）時(shí)的導(dǎo)熱不適用。）時(shí)的導(dǎo)熱不適用。 工學(xué)院機(jī)電工程教研室 傳輸原理導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱微分方程 對(duì)于圓柱坐標(biāo)系對(duì)于圓柱坐標(biāo)系 cqzttrrtrrtatv)11(2222222工學(xué)院機(jī)電工程教研室 傳輸原理導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱微分方程 對(duì)于球坐標(biāo)系對(duì)于球坐標(biāo)系 cqtrtrrtrrratvsin1)(sinsin1)(12222222工學(xué)院機(jī)電工程教研室 傳輸原理導(dǎo)熱微分