數(shù)學(xué)分析-第十四章冪級(jí)數(shù)ppt課件

1、第十四章冪級(jí)數(shù)第十四章冪級(jí)數(shù)1 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念1.1.定義定義: :設(shè)設(shè)),(,),(),(21xuxuxun是定義在是定義在RI 上的上的函數(shù)函數(shù), ,則則 )()()()(211xuxuxuxunnn稱(chēng)為定義在區(qū)間稱(chēng)為定義在區(qū)間I上的上的( (函數(shù)項(xiàng)函數(shù)項(xiàng)) )無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù). .,120 xxxnn例如級(jí)數(shù)例如級(jí)數(shù)2.2.收斂點(diǎn)與收斂域收斂點(diǎn)與收斂域: :如果如果Ix 0, ,數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 10)(nnxu收斂收斂, ,則稱(chēng)則稱(chēng)0 x為級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù))(1xunn 的的收斂點(diǎn)收斂點(diǎn), ,否否則則稱(chēng)稱(chēng)為為發(fā)發(fā)散散點(diǎn)點(diǎn). .所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱(chēng)為

2、所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱(chēng)為發(fā)散域發(fā)散域. .函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù))(1xunn 的的所所有有收收斂斂點(diǎn)點(diǎn)的的全全體體稱(chēng)稱(chēng)為為收收斂斂域域, ,)()(limxsxsnn 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和余項(xiàng)余項(xiàng))()()(xsxsxrnn (x在收斂域上在收斂域上)0)(lim xrnn注意注意函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在某點(diǎn)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在某點(diǎn)x的收斂問(wèn)題的收斂問(wèn)題,實(shí)質(zhì)上實(shí)質(zhì)上是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題.3.3.和函數(shù)和函數(shù): : )()()()(21xuxuxuxsn在在收收斂斂域域上上, ,函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和是是x的的函函數(shù)數(shù))(xs, ,稱(chēng)稱(chēng))(xs為為函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和

3、函函數(shù)數(shù). .(定義域是定義域是?),(xsn例例 1 1 求級(jí)數(shù)求級(jí)數(shù)nnnxn)11()1(1 的收斂域的收斂域.解解由達(dá)朗貝爾判別法由達(dá)朗貝爾判別法)()(1xuxunn xnn 111)(11 nx, 111)1( x當(dāng)當(dāng),20時(shí)時(shí)或或即即 xx原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂., 11 x, 111)2( x當(dāng)當(dāng), 11 x,02時(shí)時(shí)即即 x原級(jí)數(shù)發(fā)散原級(jí)數(shù)發(fā)散.,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x 1)1(nnn級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)收斂收斂;,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x 11nn級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)發(fā)散發(fā)散;)., 0)2,( 故級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)楣始?jí)數(shù)的收斂域?yàn)? 1|1|)3( x當(dāng)當(dāng), 20 xx或或二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性二、冪級(jí)數(shù)及其收斂

4、性1.1.定義定義: :形形如如nnnxxa)(00 的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)稱(chēng)稱(chēng)為為冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). .,000nnnxax 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)其中其中na為為冪級(jí)數(shù)系數(shù)冪級(jí)數(shù)系數(shù).2.2.收斂性收斂性: :,120 xxxnn例如級(jí)數(shù)例如級(jí)數(shù);,1收收斂斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x;,1發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x);1 , 1( 收斂域收斂域);, 11,( 發(fā)發(fā)散散域域定定理理 1 1 ( (A Ab be el l 定定理理) )如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnnxa在在)0(00 xxx處處收收斂斂, ,則則它它在在滿滿足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x處處絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂; ;如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnnxa在在0 xx 處處發(fā)

5、發(fā)散散, ,則則它它在在滿滿足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x處處發(fā)發(fā)散散. .證明證明, 0lim0 nnnxa,)1(00收斂收斂 nnnxa), 2 , 1 , 0(0 nMxann使使得得,M nnnnnnxxxaxa00 nnnxxxa00 nxxM0 ,10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx,00收收斂斂等等比比級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)nnxxM ,0收收斂斂 nnnxa;0收收斂斂即即級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnnxa,)2(0時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散假假設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)xx 而而有有一一點(diǎn)點(diǎn)1x適適合合01xx 使使級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂, ,則級(jí)數(shù)當(dāng)則級(jí)數(shù)當(dāng)0 xx 時(shí)應(yīng)收斂時(shí)應(yīng)收斂,這與所設(shè)矛盾這與所設(shè)矛盾.由由(1)結(jié)論結(jié)論xo R R幾何

6、說(shuō)明幾何說(shuō)明收斂區(qū)域收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域如如果果冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnnxa不不是是僅僅在在0 x一一點(diǎn)點(diǎn)收收斂斂, ,也也不不是是在在整整個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)軸軸上上都都收收斂斂, ,則則必必有有一一個(gè)個(gè)完完全全確確定定的的正正數(shù)數(shù)R存存在在, ,它它具具有有下下列列性性質(zhì)質(zhì): :當(dāng)當(dāng)Rx 時(shí)時(shí), ,冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂?jī)缂?jí)數(shù)絕對(duì)收斂; ;當(dāng)當(dāng)Rx 時(shí)時(shí),冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散;當(dāng)當(dāng)RxRx 與與時(shí)時(shí), ,冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)可可能能收收斂斂也也可可能能發(fā)發(fā)散散. .推論推論定義定義: : 正數(shù)正數(shù)R R稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑. .冪級(jí)數(shù)的收斂域稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間冪級(jí)數(shù)的收斂域稱(chēng)為

7、冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間., 0 R),RR ,(RR .,RR 規(guī)定規(guī)定, R收收斂斂區(qū)區(qū)間間0 x;收斂區(qū)間收斂區(qū)間),( .問(wèn)題問(wèn)題如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑?),(RR (1) 冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)只只在在0 x處處收收斂斂,( (2 2) ) 冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)一一切切x都都收收斂斂, ,定定理理 2 2 如如果果冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnnxa的的所所有有系系數(shù)數(shù)0 na,設(shè)設(shè) nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 則則當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí), 1R;(3) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0 R.(2) 當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí), R;證明證明應(yīng)應(yīng)用用達(dá)達(dá)朗朗貝貝爾爾判判別別法法對(duì)對(duì)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnnxannnn

8、nxaxa11lim xaannn1lim ,x ,)0(lim)1(1存在存在如果如果 nnnaa由比值審斂法由比值審斂法,1|時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,|0收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnnxa.0收收斂斂絕絕對(duì)對(duì)從從而而級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnnxa,1|時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,|0發(fā)發(fā)散散級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnnxa開(kāi)始開(kāi)始并且從某個(gè)并且從某個(gè) n|,|11nnnnxaxa 0|nnxa.0 nnnxa發(fā)發(fā)散散從從而而級(jí)級(jí)數(shù)數(shù);1 R收斂半徑收斂半徑, 0)2( 如如果果, 0 x),(011 nxaxannnn有有,|0收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnnxa.0收收斂斂絕絕對(duì)對(duì)從從而而級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnnxa; R收收斂斂半半徑徑,)3( 如果如

9、果, 0 x.0 nnnxa必必發(fā)發(fā)散散級(jí)級(jí)數(shù)數(shù))|01(0收收斂斂使使知知將將有有點(diǎn)點(diǎn)否否則則由由定定理理 nnnxax. 0 R收斂半徑收斂半徑定理證畢定理證畢.例例2 2 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間: :解解)1(nnnaa1lim 1lim nnn1 1 R,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,)1(1 nnn級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為,11 nn級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為該級(jí)數(shù)收斂該級(jí)數(shù)收斂該級(jí)數(shù)發(fā)散該級(jí)數(shù)發(fā)散;)1()1(1nxnnn ;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnx.)21(2)1()4(1nnnnxn 故故收收斂斂區(qū)區(qū)間間是是1 , 1( .nnna limnn lim, ,

10、R級(jí)數(shù)只在級(jí)數(shù)只在0 x處收斂處收斂,nnnaa1lim 11lim nn, 0 , 0 R收收斂斂區(qū)區(qū)間間),( .;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnxnnnaa1lim 12lim nnn2 ,21 R,2121收斂收斂即即 x,)1 , 0(收收斂斂 x.)21(2)1()4(1nnnnxn ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,11 nn級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,)1(1 nnn級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為發(fā)散發(fā)散收斂收斂故收斂區(qū)間為故收斂區(qū)間為(0,1.例例 3 3 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) 1122nnnx的收斂區(qū)間的收斂區(qū)間.解解 3523222xxx級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為缺少偶次冪的項(xiàng)缺少偶次冪的項(xiàng)應(yīng)應(yīng)用用達(dá)達(dá)朗朗貝

11、貝爾爾判判別別法法)()(lim1xuxunnn nnnnnxx22lim12112 ,212x 級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂, 1212 x當(dāng)當(dāng),2時(shí)時(shí)即即 x, 1212 x當(dāng)當(dāng),2時(shí)時(shí)即即 x級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,211 n級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,211 n級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散,級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散,原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為).2, 2( 三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算1.1.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)代數(shù)運(yùn)算性質(zhì): :(1) 加減法加減法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minRRR )nnnbac RRx, ,2100RRxbxannnnnn和和的

12、收斂半徑各為的收斂半徑各為和和設(shè)設(shè) (2) 乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, (其中其中)0110bababacnnnn 00ba10ba20ba30ba01ba11ba21ba31ba02ba12ba22ba32ba03ba13ba23ba33ba柯柯西西乘乘積積321xxx(3) 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收斂域內(nèi)收斂域內(nèi)(相除后的收斂區(qū)間比原來(lái)相除后的收斂區(qū)間比原來(lái)兩級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間小得多兩級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間小得多)2.2.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì): :(1) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)的和

13、函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間),(RR 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù),在端點(diǎn)收斂在端點(diǎn)收斂,則在端點(diǎn)單側(cè)連續(xù)則在端點(diǎn)單側(cè)連續(xù).(2) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間),(RR 內(nèi)可積內(nèi)可積,且對(duì)且對(duì)),(RRx 可逐項(xiàng)積分可逐項(xiàng)積分. xnnnxdxxadxxs000)()(即即 00nxnndxxa.110 nnnxna(收斂半徑不變收斂半徑不變)(3) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間),(RR 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 并可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次并可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次. 0)()(nnnxaxs即即 0)(nnnxa.11 nnnxna(收斂半

14、徑不變收斂半徑不變)例例 4 4 求求級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 11)1(nnnnx的的和和函函數(shù)數(shù).解解,)1()(11 nnnnxxs, 0)0( s顯顯然然兩邊積分得兩邊積分得)1ln()(0 xdttsx 21)(xxxs,11x )11( x,1時(shí)時(shí)又又 x.1)1(11收收斂斂 nnn).1ln()1(11xnxnnn )11( x),1ln()(xxs )1ln()0()(xsxs 即即例例 5 5 求求 12)1(nnnn的的和和.解解,)1(1nnxnn 考考慮慮級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收斂區(qū)間收斂區(qū)間(-1,1), 1)1()(nnxnnxs則則)(11 nnxx)1(2 xxx,)1(23xx 12)1

15、(nnnn故故)21( s . 8 常用已知和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)常用已知和函數(shù)的冪級(jí)數(shù);11)1(0 xxnn ;11)1()2(202xxnnn ;1)3(202xaaxnn ;!)4(0 xnnenx );1ln(1)1()6(01xnxnnn ;sin)!12()1()5(1121xnxnnn 四、小結(jié)四、小結(jié)2.冪級(jí)數(shù)的收斂性?xún)缂?jí)數(shù)的收斂性:收斂半徑收斂半徑R3.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算:分析運(yùn)算性質(zhì)分析運(yùn)算性質(zhì)1.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念:思考題思考題 冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后，收斂半徑不變，那冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后，收斂半徑不變，那么它的收斂域是否也不變？么它的收斂域是否也不變？思考題解答思考題解答不一定不一定.例例,)(12 nnnxxf,)(11 nnnxxf,)1()(22 nnnxnxf它們的收斂半徑都是它們的收斂半徑都是1,但它們的收斂域各是但它們的收斂域各是)1 , 1(),1 , 1,1 , 1 一一、 求求下下列列冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂區(qū)區(qū)間間: :1 1、 )2(424222nxxxn；2 2、 nnxnxx125222222；3 3、 122