數(shù)學(xué)分析-第八章不定積分.ppt課件

1、第八章第八章 不定積分習(xí)題課不定積分習(xí)題課積分法積分法原原 函函 數(shù)數(shù)選選擇擇u u有有效效方方法法基基本本積積分分表表第一換元法第一換元法 第二換元法第二換元法直接直接積分法積分法分部分部積分法積分法不不 定定 積積 分分幾種特殊類型幾種特殊類型函數(shù)的積分函數(shù)的積分一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容1 1、原函數(shù)、原函數(shù) 如果在區(qū)間如果在區(qū)間I內(nèi)，可導(dǎo)函數(shù)內(nèi)，可導(dǎo)函數(shù))(xF的導(dǎo)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)為)(xf， 即， 即Ix ， 都 有， 都 有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那么函數(shù)，那么函數(shù))(xF就稱為就稱為)(xf或或dxxf)(在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)原函數(shù)內(nèi)原函數(shù).定義定義原函數(shù)存在定理

2、原函數(shù)存在定理 如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，那那么么在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)存存在在可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xF，使使Ix ，都都有有)()(xfxF .即：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)即：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)2 2、不定積分、不定積分(1) 定義定義 在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)，函數(shù)內(nèi)，函數(shù))(xf的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為的原函數(shù)稱為)(xf在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)的內(nèi)的不定積分不定積分，記，記為為 dxxf)(CxFdxxf )()(函函數(shù)數(shù))(xf的的原原函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形稱稱為為)(xf的的積積分分曲曲線線. dxxgxf)()(10 dxxgdxxf)()(2) 微分運(yùn)算與

3、求不定積分的運(yùn)算是互逆的微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的. dxxkf)(20 dxxfk)(（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k(3) 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) )()(xfdxxfdxd dxxfdxxfd)()( CxFdxxF)()( CxFxdF)()(3 3、基本積分表、基本積分表 kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù))1(1)2(1 Cxdxx Cxxdxln)3( dxx211)4(Cx arctan dxx211)5(Cx arcsin xdxcos)6(Cx sin xdxsin)7(Cx cos xdxxtansec)10(Cx sec xdxxcotcsc)11(Cx csc

4、 dxex)12(Cex xdx2cos)8( xdx2secCx tan xdx2sin)9( xdx2cscCx cot dxax)13(Caax ln Cxxdxcoslntan)16( Cxxdxsinlncot)17( Cxxxdx)tanln(secsec)18( Cxxxdx)cotln(csccsc)19(Caxadxxa arctan11)20(22Cxaxaadxxa ln211)22(22Caxdxxa arcsin1)23(22Caxxdxax )ln(1)24(2222Caxaxadxax ln211)21(22Cx sh)14( xdxch xdxCx ch)15(

5、sh5 5、第一類換元法、第一類換元法4 4、直接積分法、直接積分法定定理理 1 設(shè)設(shè))(uf具具有有原原函函數(shù)數(shù)，)(xu 可可導(dǎo)導(dǎo)，則則有有換換元元公公式式 dxxxf)()( )()(xuduuf 第一類換元公式湊微分法）第一類換元公式湊微分法）由定義直接利用基本積分表與積分的性質(zhì)求不由定義直接利用基本積分表與積分的性質(zhì)求不定積分的方法定積分的方法.;)(. 11dxxxfnn ;)(. 2dxxxf;)(ln. 3dxxxf;)1(. 42dxxxf;cos)(sin. 5xdxxf;)(. 6dxaafxx常見類型常見類型:;sec)(tan. 72xdxxf;1)(arctan.

6、82dxxxf 6 6、第二類換元法、第二類換元法定定理理 設(shè)設(shè))(tx 是是單單調(diào)調(diào)的的、可可導(dǎo)導(dǎo)的的函函數(shù)數(shù)，并并且且0)( t ，又又設(shè)設(shè))()(ttf 具具有有原原函函數(shù)數(shù)，則則有有換換元元公公式式 )()()()(xtdtttfdxxf 其中其中)(x 是是)(tx 的反函數(shù)的反函數(shù).第二類換元公式第二類換元公式常用代換常用代換:.,)(. 1Rbatx .sin,)(. 222taxxaxf 令令如如三角函數(shù)代換三角函數(shù)代換.,)(. 322ashtxxaxf 令令如如雙曲函數(shù)代換雙曲函數(shù)代換.1. 4tx 令令倒置代換倒置代換7 7、分部積分法、分部積分法分部積分公式分部積分公式

7、dxvuuvdxvu duvuvudv 8.8.選擇選擇u u的有效方法的有效方法:LIATE:LIATE選擇法選擇法L-對數(shù)函數(shù)；對數(shù)函數(shù)；I-反三角函數(shù)；反三角函數(shù)；A-代數(shù)函數(shù)；代數(shù)函數(shù)；T-三角函數(shù)；三角函數(shù)；E-指數(shù)函數(shù)；指數(shù)函數(shù)； 哪個(gè)在前哪個(gè)選作哪個(gè)在前哪個(gè)選作u.9 9、幾種特殊類型函數(shù)的積分、幾種特殊類型函數(shù)的積分（1有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分定義定義兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其其中中m、n都都是是非非負(fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)；naaa,10及及mbbb,10都都是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)，

8、并并且且00 a，00 b.真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法四種類型分式的不定積分四種類型分式的不定積分;ln. 1CaxAaxAdx ;)(1()(. 21CaxnAaxAdxnn ;arctanln2. 342422222CqxqNqpxxMdxqpxxNMxpppMp dxqpxxNqpxxdxpxMdxqpxxNMxnMpnn)()()2(2)(. 42222此兩積分都可積此兩積分都可積,后者有遞推公式后者有遞推公式令令2tanxu 212sinuux 2211cosuux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sinduuuu

9、uuR22221211,12 （2） 三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分定義定義 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱之一般記為構(gòu)成的函數(shù)稱之一般記為)cos,(sinxxR（3） 簡單無理函數(shù)的積分簡單無理函數(shù)的積分討論類型：討論類型：),(nbaxxR ),(necxbaxxR 解決方法：解決方法：作代換去掉根號(hào)作代換去掉根號(hào);necxbaxt 令令;nbaxt 令令二、典型例題二、典型例題例例1 1 dxxx1)23()23(2原式原式解解.4932 dxxxxx求求 1)23()23(23ln12xxd 123ln12tdt dttt)

10、1111(23ln21Ctt 11ln)2ln3(ln21.2323ln)2ln3(ln21Cxxxx tx )23(令令例例2 2解解.cos1)sin1( dxxxex求求 dxxxxex2cos2)2cos2sin21(2原式原式 dxxexexx)2tan2cos21(22tan)2(tan( xxdexxde )2tan(xedx.2tanCxex 例例3 3解解.15)1ln(22 dxxxx求求5)1ln(2 xx,112x 5)1ln(5)1ln(22 xxdxx原原式式.5)1ln(32232Cxx )1221(1122xxxx 例例4 4解解.1122 dxxxx求求,1t

11、x 令令dttttt)1(1)1(111222 原式原式dttt 211 22212)1(11ttddttCtt 21arcsin.1arcsin12Cxxx (倒代換倒代換)例例5 5解解.1632 xxxeeedx求求,6tex 令令,ln6tx ,6dttdx dttttt61123 原原式式dtttt )1)(1(622211)1)(1(6tDCttBtAttt 設(shè)設(shè))1()()1()1)(1(622 ttDCttBtttA解得解得. 3, 3, 3, 6 DCBAdttttt)133136(2 原式原式Ctttt arctan3)1ln(23)1ln(3ln62.arctan3)1l

12、n(23)1ln(3636Ceeexxxx 例例6 6解解.)1ln(arctan2 dxxxx求求dxxx)1ln(2 )1()1ln(2122xdx .21)1ln()1(21222Cxxx 21)1ln()1(21arctan222xxxxd 原原式式xxxxarctan)1ln()1(21222 dxxxx1)1ln(21222 例例7 7解解.)2(10 xxdx求求 )2(10109xxdxx原式原式 )2()(101101010 xxxdCxx )2ln(ln2011010.)2ln(201ln2110Cxx .2)1ln(23)1ln()1(arctan212222Cxxxxx

13、xx 例例8 8解解.)1()1(342 xxdx求求.)1()11()1()1(234342 xxxxx,11 xxt令令,)1(22dxxdt 則則有有 原原式式 234)1()11(xxxdxdtt 3421Ct 3123.11233Cxx 例例9 9解解.cos1sin dxxxx求求dxxxxx 2cos22cos2sin22原式原式dxxdxxx 2tan2cos22dxxdxxxx 2tan2tan2tan.2tanCxx 例例1010解解 dxxfxfxfxfxf)()()()()(322原式原式.)()()()()(32 dxxfxfxfxfxf求求 dxxfxfxfxfxf

14、xf)()()()()()(22 )()()()(xfxfdxfxf.)()(212Cxfxf 例例1111解解., 1max dxx求求, 1max)(xxf 設(shè)設(shè),1,11,11,)( xxxxxxf則則,),()(上連續(xù)上連續(xù)在在xf).(xF則必存在原函數(shù)則必存在原函數(shù)須處處連續(xù)，有須處處連續(xù)，有又又)(xF.1,2111,1,21)(32212 xCxxCxxCxxF)21(lim)(lim12121CxCxxx ,21112CC 即即)(lim)21(lim21321CxCxxx ,12123CC 即即.1,12111,211,21, 1max22 xCxxCxxCxdxx故故.1

15、,2132CCCC 可可得得,1CC 聯(lián)聯(lián)立立并并令令一、一、 選擇題：選擇題：1 1、 設(shè)設(shè))(, )(21xFxF是區(qū)間是區(qū)間I內(nèi)連續(xù)函數(shù)內(nèi)連續(xù)函數(shù))(xf的兩個(gè)不的兩個(gè)不 同的原函數(shù)，且同的原函數(shù)，且0)( xf, ,則在區(qū)間則在區(qū)間I內(nèi)必有內(nèi)必有（ ）（A A） CxFxF )()(21；（B B） CxFxF )()(21；（C C） )()(21xCFxF ；（D D） CxFxF )()(21. .2 2、若、若, )()(xfxF 則則 )(xdF= =（ ）（A A） )(xf； （B B） )(xF；（C C） Cxf )(； （D D） CxF )(. .測測 驗(yàn)驗(yàn) 題題

16、3 3、)(xf在某區(qū)間內(nèi)具備了條件在某區(qū)間內(nèi)具備了條件（ ）就可保證它的）就可保證它的 原函數(shù)一定存在原函數(shù)一定存在（A A） 有極限存在；有極限存在； （B B）連續(xù)；）連續(xù)；（B B） 有界；有界； （D D）有有限個(gè)間斷點(diǎn)）有有限個(gè)間斷點(diǎn) 4 4、下列結(jié)論正確的是、下列結(jié)論正確的是（ ）（A A） 初等函數(shù)必存在原函數(shù)；初等函數(shù)必存在原函數(shù)；（B B） 每個(gè)不定積分都可以表示為初等函數(shù)；每個(gè)不定積分都可以表示為初等函數(shù)；（C C） 初等函數(shù)的原函數(shù)必定是初等函數(shù)；初等函數(shù)的原函數(shù)必定是初等函數(shù)；（D D） CBA,都不對都不對 . .5 5、函函數(shù)數(shù)2)()(xxxf 的的一一個(gè)個(gè)原原

17、函函數(shù)數(shù) )(xF( ( ) )（A A）334x; ; （B B）234xx; ;（C C) )(3222xxx ; ; （D D）)(322xxx . .6 6 、 已已 知知 一一 個(gè)個(gè) 函函 數(shù)數(shù) 的的 導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù) 為為xy2 ，21 yx時(shí)時(shí)且且, ,這這個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)是是（ ） （A A）;2Cxy （B B）;12 xy （C C）Cxy 22; ; （D D）.1 xy7 7、下列積分能用初等函數(shù)表出的是、下列積分能用初等函數(shù)表出的是（ ） （A A） dxex2； （B B） 31xdx； （C C） dxxln1； （D D） dxxxln. .8 8、 ,)()(CxFdx

18、xf且且,batx 則則 dttf)(（ ） （A A）CxF )(； （B B） CtF )(; ; （C C）CbatFa )(1; ; （D D）CbatF )( . . 9 9、 dxxx2ln（） （A A）Cxxx 1ln1; ; （B B）Cxxx 1ln1; ; （C C）Cxxx 1ln1； （D D）Cxxx 1ln1. . 10 10、 10)14( xdx（ ） （A A）Cx 9)14(191； （B B）Cx 9)14(1361； （C C）Cx 9)14(1361； （D D）Cx 11)14(1361. .二、求下列不定積分：二、求下列不定積分： 1 1、 dxxx1cos12; ; 2 2、 522xxdx; ; 3 3、 dxxxx2215)1ln(; ; 4 4、 dxxx222)1(; ; 5 5、 211xdx; ; 6 6、 dxxxx1122; ; 7 7、 )1(2xxeedx; ; 8 8、 xdxx arccos2; ; 9 9、 234811xxdxx; ;