實際問題與二次函數(2)

1、2.2.頂點式頂點式y=y=a a(x-(x-h h) )2 2+ +k k （a0a0）1.1.一般式一般式y=y=a ax x2 2+ +b bx+x+c c （a0a0）3.3.雙根式雙根式y=y=a a(x-(x-x x1 1)(x-)(x-x x2 2) ) （a0a0）二次函數的三種解析式二次函數的三種解析式（1）二次函數）二次函數yax2+bx+c的圖象如圖所示，那的圖象如圖所示，那abc，b24ac，2ab，abc，abc 這五個代數式中，這五個代數式中，值為正數的有（值為正數的有（ ）課前練習課前練習1A4個個 B3個個C2個個 D1個個yx- -11xy 判斷方程判斷方程

2、的解的個數。的解的個數。 xxx2122課前練習課前練習2三個三個已知二次函數已知二次函數y=-xy=-x2 2+3x+4+3x+4的圖象如圖；的圖象如圖；(1)(1)方程方程-x-x2 2+3x+4=0+3x+4=0的解是的解是_(2)(2)不等式不等式-x-x2 2+3x+40+3x+40的解集是的解集是_(3)(3)不等式不等式-x-x2 2+3x+40+3x+40的解集是的解集是_xyo12345-1-21234-1-2-3-4-5X=-1,x=4X4-1x4課前練習課前練習3 3 課前練習課前練習已知拋物線的對稱軸為已知拋物線的對稱軸為y y軸，且過軸，且過（2 2，0 0），（），

3、（0 0，2 2），求拋物線的解析式），求拋物線的解析式解：設拋物線的解析式為解：設拋物線的解析式為y=axy=ax2 2+c(a0)+c(a0)因為拋物線過（因為拋物線過（2 2，0 0），（），（0 0，2 2）所以所以 c=2 a=-0.5c=2 a=-0.5 4a+c=0 c=2 4a+c=0 c=2解析式為：解析式為：y=-0.5xy=-0.5x2 2+2+2 如何利用圖象求方程如何利用圖象求方程axax2 22 2x xc c2 2x x1 1的解？的解？y ax22xcy 2x-1y1 y2 課前練習課前練習-22實際問題與實際問題與二次函數二次函數分析分析 1.1.某商品現在的

4、售價為每件某商品現在的售價為每件6060元，每元，每周可賣出周可賣出300300件件. .已知商品的進價為每件已知商品的進價為每件4040元，那么一周的利潤是多少？元，那么一周的利潤是多少？ 市場調查反映：如果調整價格，每市場調查反映：如果調整價格，每漲價漲價1 1元，每周要少賣出元，每周要少賣出1010件；每降價件；每降價1 1元，每周可多賣出元，每周可多賣出2020件；已知商品的進件；已知商品的進價為每件價為每件4040元，如何定價才能使利潤最元，如何定價才能使利潤最大？大？解決問題：解決問題：解：設每件漲價解：設每件漲價x x元元 y y =(60-40+=(60-40+x x)(300

5、)(3001010 x x) ) = =1010 x x2 2+100+100 x x+6000+6000 = =10(10(x x5)5)2 2 + 6250 + 6250 (0 (0 x x 30)30) 當當x x= = 時，時，y y最大在漲價情況下，最大在漲價情況下，漲價漲價 元，元， 即定價即定價 元時，利潤最大，元時，利潤最大， 最大利潤是最大利潤是 元元55656 250y =(60-40-x)(300+20 x) y= = =1010 x x2+1002+100 x x+6000+600060006250(0 x 30)0305在在0 0 x x 3030時，當時，當 x x

6、5 5時，時，y y最大值是最大值是6 250.6 250.你知道應如何定價能使利潤最大嗎？你知道應如何定價能使利潤最大嗎？1.1.實際問題轉化為數學問題，建立數學模型；實際問題轉化為數學問題，建立數學模型；2.2.利用函數的性質或圖象求解最大值（注意變利用函數的性質或圖象求解最大值（注意變量量x x的取值范圍）；的取值范圍）；3.3.這時的最大值就為最大利潤這時的最大值就為最大利潤. . 練習練習1 1：某商店將某商店將每件進價為每件進價為8080元元的某種商的某種商品按品按每件每件100100元出售元出售，一天可售出約，一天可售出約100100件件，該店想通過降低售價、增加銷售量的辦法來該

7、店想通過降低售價、增加銷售量的辦法來提高利潤，經過市場調查，發(fā)現這種商品單提高利潤，經過市場調查，發(fā)現這種商品單價每價每降低降低1 1元元，其，其銷售量可增加約銷售量可增加約1010件件。 1:1:請表示出商品請表示出商品降價降價x x元元與利潤與利潤y y元元之間的之間的關系？關系？ 2:2:將這種商品的售價降低多少時，能使銷將這種商品的售價降低多少時，能使銷售利潤最大？最大利潤是多少？售利潤最大？最大利潤是多少？y=(100-80-x)(100+10 x)y=(100-80-x)(100+10 x)提示：求頂點坐標提示：求頂點坐標2：根據已知函數的表達式解決實際問題：根據已知函數的表達式解

8、決實際問題：一拋物線型拱橋，建立了如圖所示的直角一拋物線型拱橋，建立了如圖所示的直角坐標系后，拋物線的表達式為：坐標系后，拋物線的表達式為： y= -1/25xy= -1/25x2 2+16+16(1)(1)拱橋的跨度是多少？拱橋的跨度是多少？(2) (2) 拱橋最高點離水面幾米？拱橋最高點離水面幾米？(3) (3) 一貨船高為一貨船高為1212米，貨船寬至少小于多米，貨船寬至少小于多少米時，才能安全通過？少米時，才能安全通過？xyoABCxyoABC解解（1 1） 令令-1/25x-1/25x2 2+16=0+16=0，解得，解得X X1 1=20,X=20,X2 2=-20,=-20,A

9、A（-20-20，0 0） B B（2020，0 0）ABAB=40=40，即拱橋，即拱橋的跨度為的跨度為4040米。米。（2 2）令令x=0 x=0，得，得y=16y=16，即拱橋最高點離地面即拱橋最高點離地面1616米米（3）令-1/25x-1/25x2 2+16=12,+16=12,解得解得X X1 1=-10=-10，X X2 2 = =10,10,x x1 1-x-x2 2=20.=20.即貨船寬應小于即貨船寬應小于2020米時，貨船才能安全通過。米時，貨船才能安全通過。-1010練習練習2 2某涵洞是拋物線形，它的截面如圖某涵洞是拋物線形，它的截面如圖26.2.926.2.9所示，

10、現測得水面寬所示，現測得水面寬1 16m6m，涵洞頂，涵洞頂點點O O到水面的距離為到水面的距離為2 24m4m，問距水面，問距水面1.51.5米米處水面寬是否超過處水面寬是否超過1 1米米? ?AB3：根據實際問題建立函數的表：根據實際問題建立函數的表達式解決實際問題達式解決實際問題一座拱橋的示意圖如一座拱橋的示意圖如圖，當水面寬圖，當水面寬4m4m時，時，橋洞頂部離水面橋洞頂部離水面2m2m。已知橋洞的拱形是拋已知橋洞的拱形是拋物線，（物線，（1 1）求該拋物）求該拋物線的函數解析式。線的函數解析式。（2 2）若水面下降若水面下降1 1米，水面米，水面寬增加多少米？寬增加多少米？A AB

11、B4m4mM M2m2mA AB B4m4m首先要建立適當的平面直角坐標系首先要建立適當的平面直角坐標系你認為首先要做的工作是什么你認為首先要做的工作是什么? ?ABMxyo 解法一解法一：（：（1 1）以水面）以水面ABAB所在的直線為所在的直線為x x軸，以軸，以ABAB的垂直平分線為的垂直平分線為y y軸建立平面直軸建立平面直角坐標系。角坐標系。設拋物線的解析式為：設拋物線的解析式為：y=axy=ax2 2+c(a0)+c(a0)拋物線過（拋物線過（2 2，0 0），（），（0 0，2 2）點）點4a+c=0 a=-0.5 4a+c=0 a=-0.5 即解析式為：即解析式為：y=-0.5

12、xy=-0.5x2 2+2+2c=2 c=2 c=2 c=2 （2）水面下降）水面下降1米，即當米，即當y=-1時時 -0.5x2+2=-1 解得解得x1=-6 x2=6CD=x1-x2=26水面寬增加水面寬增加 CD-AB=（26-4）米）米CD1m(-2,0)(2,0)(0,2)平面直角坐標系建立的不同，所得的拋物線的平面直角坐標系建立的不同，所得的拋物線的解析式相同嗎？解析式相同嗎？最終的解題結果一樣最終的解題結果一樣哪一種取法求得的函數解析式最簡單？哪一種取法求得的函數解析式最簡單？解法二解法二：（：（1)1)以拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為以拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱

13、軸為y y軸建立直角坐標系。設二次函數的解析式為軸建立直角坐標系。設二次函數的解析式為y=axy=ax2 2(a0(a0）拋物線經過點（拋物線經過點（2 2，-2-2），可得，），可得，a=-0.5a=-0.5拋物線的解析式為：拋物線的解析式為：y=-0.5xy=-0.5x2 2CD（2）水面下降）水面下降1米，即當米，即當y=-3時時 -0.5x2=-3 解得解得x1=-6 x2=6CD=x1-x2=26水面寬增加水面寬增加AB-CD=（26-4）米）米1m(X1,-3)(X2,-3)做一做做一做如圖所示，有一座拋物線型拱橋，在正常水位如圖所示，有一座拋物線型拱橋，在正常水位ABAB時，水時

14、，水面寬面寬2020米，水位上升米，水位上升3 3米，就達到警戒線米，就達到警戒線CD,CD,這時水面寬這時水面寬為為1010米。米。（1 1）求拋物線型拱橋的解析式。）求拋物線型拱橋的解析式。（2 2）若洪水到來時，水位以每小時）若洪水到來時，水位以每小時0.20.2米的速度上升，米的速度上升，從警戒線開始，從警戒線開始，在持續(xù)多少小時才能達在持續(xù)多少小時才能達到拱橋頂？到拱橋頂？（3 3）若正常水位時，有一艘）若正常水位時，有一艘寬寬8 8米，高米，高2.52.5米的小船米的小船能否安全通過這座橋？能否安全通過這座橋？A AB B20m20mCD練一練： 如圖是某公園一圓形噴水池，水流在各

15、方向沿形狀相同的拋物線落下。建立如圖所示的坐標系，如果噴頭所在處A（0，1. .25），水流路線最高處B（1，2. .25），求該拋物線的解析式。如果不考慮其他因素，那么水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不致落到池外。 y= (x-1)2 +2.25（0，1.25）A實際問題實際問題抽象抽象轉化轉化數學問題數學問題運運用用數學知識數學知識問題的解決問題的解決解題步驟：解題步驟：1 1、分析題意，把實際問題轉化為數學問題，畫、分析題意，把實際問題轉化為數學問題，畫出圖形。出圖形。2 2、根據已知條件建立適當的平面直角坐標系。、根據已知條件建立適當的平面直角坐標系。3 3、選用適當的解析式求

16、解。、選用適當的解析式求解。4 4、根據二次函數的解析式解決具體的實際問題。、根據二次函數的解析式解決具體的實際問題。例題例題水果批發(fā)商銷售每箱進價為元的橙子，市場水果批發(fā)商銷售每箱進價為元的橙子，市場調查發(fā)現，若以每箱調查發(fā)現，若以每箱6 6元的價格銷售，平均每天銷元的價格銷售，平均每天銷售售3030箱，價格每提高元，平均每天少銷售箱，價格每提高元，平均每天少銷售1010箱箱（1 1）求平均每天銷售量）求平均每天銷售量y y箱與銷售價箱與銷售價x x之間的函數關之間的函數關系式；系式；（2 2）要想獲得）要想獲得60006000元的利潤則橙子的定價應是多少？元的利潤則橙子的定價應是多少？ （

17、3 3）當每箱橙子的銷售價為多少元時，可以獲得最）當每箱橙子的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？大利潤？最大利潤是多少？（4 4） 若每降價若每降價1 1元，每天可多賣出元，每天可多賣出1818件，如何件，如何定價才能使利潤最大？定價才能使利潤最大？列表分析列表分析1:1:總售價總售價- -總進價總進價= =總利潤總利潤設每件設每件售價售價x x元，則每件元，則每件漲價漲價為（為（x-60)x-60)元元 總售價=單件售價數量 總進價=單件進價數量數量利潤列表分析列表分析2:2: 總利潤總利潤= =單件利潤單件利潤數量數量總利潤總利潤= =單件利潤單件利潤數量數量 利潤利潤

18、x 300-10(x-60)40 300-10(x-60)6000 (x-40) 300-10(x-60)6000 在這個問題中，總利潤是不是一個變量？如果在這個問題中，總利潤是不是一個變量？如果是，它隨著哪個量的改變而改變？是，它隨著哪個量的改變而改變？ 若設每件售價為若設每件售價為x x元，總利潤為元，總利潤為W W元。元。你能列出你能列出函數關系式嗎？函數關系式嗎？解：設每箱售價為解：設每箱售價為x x元時獲得的總利潤為元時獲得的總利潤為W W元元. .w =(x-40) 300-10(x-60)w =(x-40) 300-10(x-60) =(x-40)(900-10 x) =(x-4

19、0)(900-10 x) =-10 =-10 x x2 2+1300+1300 x x-36000-36000 =-10( =-10(x x2 2-130-130 x)x)-36000-36000 =-10 =-10( (x x-65)-65)2 2-4225)-36000-4225)-36000 =-10( =-10(x-x-65)65)2 2+6250+6250(40 x90)當當x x=65=65時，時，y y的最大值是的最大值是6250.6250.答：定價為答：定價為6565元時，利潤最大為元時，利潤最大為62506250習題習題. .某商店購進一種單價為某商店購進一種單價為4040元的籃球，如元的籃球，如果以單價果以單價5050元售出，那么每月可售出元售出，那么每月可售出50050