高數(shù)極限與連續(xù)

1、第二章 極限與連續(xù)第一節(jié) 數(shù)列的極限數(shù)列的極限第二節(jié) 函數(shù)的極限函數(shù)的極限第三節(jié) 極限運(yùn)算法則、兩個(gè)重要極限極限運(yùn)算法則、兩個(gè)重要極限第四節(jié) 無窮小與無窮大無窮小與無窮大第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性第六節(jié)第六節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第一節(jié) 數(shù)列的極限數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的概念一、數(shù)列極限的概念二、數(shù)列極限的幾何意義數(shù)列極限的性二、數(shù)列極限的幾何意義數(shù)列極限的性質(zhì)質(zhì)三、小結(jié)三、小結(jié)R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAAS一、數(shù)列極限的概念定義定義:按自然數(shù)按自然數(shù), 3 ,

2、2 , 1編號(hào)依次排列的一列數(shù)編號(hào)依次排列的一列數(shù) ,21nxxx 稱為無窮數(shù)列稱為無窮數(shù)列,簡(jiǎn)稱數(shù)列簡(jiǎn)稱數(shù)列, 記為記為nx.其中的每其中的每個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng),nx稱為通項(xiàng)稱為通項(xiàng)(一般項(xiàng)一般項(xiàng)). 例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,)21( ,81,41,21n 2n)21(n ;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n注意：注意：1.數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.1x2x3x4xnx2.數(shù)列可看作自變量為正整數(shù)數(shù)列可看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù)的函數(shù) Nnnfxn),(;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,222,22

3、,2 .)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn問題問題:當(dāng)當(dāng) 無限增大時(shí)無限增大時(shí), 是否無限接近于某一是否無限接近于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值?如果是如果是,如何確定如何確定?nxn. 1)1(1,1無無限限接接近近于于無無限限增增大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)nxnnn 問題問題:如何用數(shù)學(xué)語言刻劃如何用數(shù)學(xué)語言刻劃“無限接近無限接近” ？ 1nxnnn11)1(1 ,1001給定給定,10011 n由由,100時(shí)時(shí)只只要要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時(shí)時(shí)只要只要 n,1000011 nx有有,100001給定給定,10000時(shí)時(shí)只要只要 n,100011

4、nx有有, 0 給給定定,)1(時(shí)時(shí)只只要要 Nn.1成成立立有有 nx定定義義 設(shè)設(shè) nx 為為一一數(shù)數(shù)列列，如如果果存存在在常常數(shù)數(shù)a，對(duì)對(duì)于于任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) ( (不不論論它它多多么么小小) ), ,總總存存在在正正數(shù)數(shù)N, ,使使得得當(dāng)當(dāng)Nn 時(shí)時(shí), ,不不等等式式 axn都都成成立立, ,那那么么就就稱稱常常數(shù)數(shù) a是是數(shù)數(shù)列列 nx 的的極極限限, ,或或者者稱稱數(shù)數(shù)列列 nx 收收斂斂于于 a, ,記記為為 ,limaxnn 或或).( naxn 如果數(shù)列沒有極限如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：注意：;. 1的的無無限限接接近近與與刻刻劃劃

5、了了不不等等式式axaxnn .2有有關(guān)關(guān)與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) Nx1x2x2 Nx1 Nx3x幾何解釋幾何解釋: 2 a aa.)(,),(,落落在在其其外外個(gè)個(gè)至至多多只只有有只只有有有有限限個(gè)個(gè)內(nèi)內(nèi)都都落落在在所所有有的的點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)NaaxNnn :定定義義N 其中其中;:每每一一個(gè)個(gè)或或任任給給的的 .:至至少少有有一一個(gè)個(gè)或或存存在在 ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒恒有有時(shí)時(shí)使使數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例例1. 1)1(lim1 nnnn證證明明證證1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任給任給,1 nx要要,1

6、 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng)Nn 1)1(1nnn就就有有. 1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：例例2.lim),(CxCCxnnn 證證明明為為常常數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)證證Cxn CC ,成成立立 ,0 任任給給所以所以,0 ,n對(duì)于一切自然數(shù)對(duì)于一切自然數(shù).limCxnn 說明說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù)常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié)小結(jié): 用定義證數(shù)列極限存在時(shí)用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給關(guān)鍵是任意給定定 尋找尋找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 例例3. 1, 0lim qqnn其中其中證明證明證證, 0 任給任給,0 nnqx,lnl

7、n qn,lnlnqN 取取,時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng)Nn ,0 nq就就有有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq則則, 10 q若若,lnlnqn 1、唯一性、唯一性定理定理1 1 如果數(shù)列收斂，則數(shù)列的極限只有一個(gè)如果數(shù)列收斂，則數(shù)列的極限只有一個(gè). .證證,lim,limbxaxnnnn 又又設(shè)設(shè)由定義由定義,使得使得正整數(shù)正整數(shù)., 021NN;1 axNnn時(shí)時(shí)恒恒有有當(dāng)當(dāng);2 bxNnn時(shí)時(shí)恒恒有有當(dāng)當(dāng) ,max21NNN 取取時(shí)時(shí)有有則則當(dāng)當(dāng)Nn )()(axbxbann axbxnn .2 .時(shí)時(shí)才才能能成成立立上上式式僅僅當(dāng)當(dāng)ba ,故收斂數(shù)列極限唯一故收斂數(shù)

8、列極限唯一.二、數(shù)列極限的性質(zhì)二、數(shù)列極限的性質(zhì)2、有界性、有界性定定義義: 對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)列列nx, 若若存存在在正正數(shù)數(shù)M, 使使得得一一切切自自然然數(shù)數(shù)n, 恒恒有有Mxn 成成立立, 則則稱稱數(shù)數(shù)列列nx有有界界, 否否則則, 稱稱為為無無界界. 例如例如,;1 nnxn數(shù)數(shù)列列.2nnx 數(shù)數(shù)列列數(shù)數(shù)軸軸上上對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于有有界界數(shù)數(shù)列列的的點(diǎn)點(diǎn)nx都都落落在在閉閉區(qū)區(qū)間間,MM 上上.有界有界無界無界定理定理2 2 如果數(shù)列收斂，則數(shù)列一定有界如果數(shù)列收斂，則數(shù)列一定有界. .證證,limaxnn 設(shè)設(shè)由定義由定義, 1 取取, 1, axNnNn時(shí)時(shí)恒恒有有使使得得當(dāng)當(dāng)則則. 11 ax

9、an即即有有,1,1,max1 aaxxMN記記,Mxnn 皆有皆有則對(duì)一切自然數(shù)則對(duì)一切自然數(shù) .有界有界故故nx注意：注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論推論 無界數(shù)列必定發(fā)散無界數(shù)列必定發(fā)散. .注意：有界數(shù)列也可能發(fā)散注意：有界數(shù)列也可能發(fā)散.)1(1是是有有界界數(shù)數(shù)列列，且且發(fā)發(fā)散散例例如如數(shù)數(shù)列列 nnx3.收斂數(shù)列的保號(hào)性那那么么）（或或且且如如果果定定理理,00,limaaaxnx30, 0nxNnN時(shí)時(shí)，都都有有當(dāng)當(dāng)存存在在正正整整數(shù)數(shù)).0nx（或或0222, 0,20 aaaxaaxNnNaann從從而而時(shí)時(shí)，有有當(dāng)當(dāng)正正整整數(shù)數(shù)知知對(duì)對(duì)的的定

10、定義義，為為例例證證明明。由由數(shù)數(shù)列列極極限限以以證證).0(0,lim),0(0aaaxxxxnnnnn或或那那么么且且或或從從某某項(xiàng)項(xiàng)起起有有如如果果數(shù)數(shù)列列推推論論. 003, 0,max. 0, 0, 0lim. 0212211axxNnNNNxNnNaxxNnNxnnnnnnn，引引起起矛矛盾盾。所所以以必必有有，有有而而由由定定理理時(shí)時(shí)，由由假假定定有有當(dāng)當(dāng)取取時(shí)時(shí)，有有當(dāng)當(dāng)正正整整數(shù)數(shù)知知，則則由由定定理理現(xiàn)現(xiàn)用用反反證證法法證證明明。若若時(shí)時(shí)有有項(xiàng)項(xiàng)起起，即即從從第第設(shè)設(shè)數(shù)數(shù)列列證證34、子數(shù)列的收斂性、子數(shù)列的收斂性 的的子子數(shù)數(shù)列列（或或子子列列）的的一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)列列稱稱為

11、為原原數(shù)數(shù)列列到到中中的的先先后后次次序序，這這樣樣得得這這些些項(xiàng)項(xiàng)在在原原數(shù)數(shù)列列保保持持中中任任意意抽抽取取無無限限多多項(xiàng)項(xiàng)并并定定義義：在在數(shù)數(shù)列列nnnxxx,21nixxxx,21knnnxxx . knnxxkxxkknnnnkkk項(xiàng)項(xiàng)，顯顯然然，中中卻卻是是第第在在原原數(shù)數(shù)列列而而項(xiàng)項(xiàng)，是是第第中中，一一般般項(xiàng)項(xiàng)在在子子數(shù)數(shù)列列注意：注意：例如，例如，定理定理4 4 收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂且極限收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂且極限相同相同證證 的的任任一一子子數(shù)數(shù)列列是是數(shù)數(shù)列列設(shè)設(shè)數(shù)數(shù)列列nnxxk,limaxnn ., 0, 0 axNnNn恒恒有有時(shí)時(shí)使使,NK 取取,時(shí)時(shí)

12、則當(dāng)則當(dāng)Kk .NnnnNKk. axkn.limaxknk 證證畢畢三、小結(jié)三、小結(jié)數(shù)列數(shù)列: :研究其變化規(guī)律研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限數(shù)列極限: :極限思想、精確定義、幾何意義極限思想、精確定義、幾何意義;收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì): :唯一性、有界性、保號(hào)性、子數(shù)列的收斂性唯一性、有界性、保號(hào)性、子數(shù)列的收斂性.表表示示的的）的的過過程程是是用用時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)NnnaxNnNaxnnn(, 0, 0lim)(nfxxnnanfNnNanfaxnnn)(, 0, 0)(lim,lim時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)即即第二節(jié) 函數(shù)的極限函數(shù)的極限一、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限三、

13、函數(shù)極限的性質(zhì)四、極限存在準(zhǔn)則一、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限問題問題: :函數(shù)函數(shù))(xfy 在在0 xx 的的過程中過程中,對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)函數(shù)值函數(shù)值)(xf無限無限趨近于趨近于確定值確定值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .0)()(0000表表示示的的過過程程，可可用用即即滿滿足足上上式式即即可可對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的的的只只要要求求充充分分接接近近的的過過程程中中實(shí)實(shí)現(xiàn)現(xiàn)的的，是是在在無無限限接接近近于于xxxxxfxxxxAxfx0 x 0 x 0 x ,0鄰鄰域域的的去去心心點(diǎn)點(diǎn) x.0程程度度接接近近體體現(xiàn)現(xiàn)xx 定定義義 2 2 如如果果對(duì)對(duì)于

14、于任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) ( (不不論論它它多多 么么小小) ), ,總總存存在在正正數(shù)數(shù) , ,使使得得對(duì)對(duì)于于適適合合不不等等式式 00 xx的的一一切切 x, ,對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值)(xf都都 滿滿足足不不等等式式 Axf)(, ,那那末末常常數(shù)數(shù) A就就叫叫函函數(shù)數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時(shí)時(shí)的的極極限限, ,記記作作 )()()(lim00 xxAxfAxfxx 當(dāng)當(dāng)或或 定定義義 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)1、定義：、定義：2、幾何解釋、幾何解釋:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線

15、為中心線線線圖形完全落在以直圖形完全落在以直函數(shù)函數(shù)域時(shí)域時(shí)鄰鄰的去心的去心在在當(dāng)當(dāng) Ayxfyxx注意：注意：;)(. 10是是否否有有定定義義無無關(guān)關(guān)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)極極限限與與xxf. 2有有關(guān)關(guān)與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) 例例1).( ,lim0為為常常數(shù)數(shù)證證明明CCCxx 證證Axf )(CC ,成成立立 , 0 任給任給0 .lim0CCxx , 0 任任取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx例例2.lim00 xxxx 證明證明證證,)(0 xxAxf , 0 任給任給, 取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx0)(xxAxf ,成成立立 .lim00 xxxx 例例3. 211lim21 xxx證

16、證明明證證211)(2 xxAxf, 0 對(duì)對(duì)于于, 只只要要取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)x= -1處沒有定義處沒有定義.1 x,)( Axf要使要使,2112 xx就就有有. 211lim21 xxx3.單側(cè)極限單側(cè)極限:例如例如,. 1)(lim,0, 10,)(02 xfxxxxexfxx證證明明設(shè)設(shè)兩種情況分別討論。兩種情況分別討論。和和需要分需要分00 xx,0 xx從從左左側(cè)側(cè)無無限限趨趨近近; 00 xx記記作作,0 xx從從右右側(cè)側(cè)無無限限趨趨近近; 00 xx記作記作左極限左極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)右極限右極限.)(, 0, 0

17、00 Axfxxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)000:000 xxxxxxxxx注注意意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理.lim0不存在不存在驗(yàn)證驗(yàn)證xxxyx11 oxxxxxx 0000limlim左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例4證證1)1(lim0 xxxxxxx0000limlim 11lim00 x.1)(時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxxf二、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極

18、限二、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限問題問題: :函數(shù)函數(shù))(xfy 在在 x的的過程中過程中, 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)函數(shù)值函數(shù)值)(xf無限無限趨近于趨近于確定值確定值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .的過程的過程表示表示 xXx. 01)(,無無限限接接近近于于無無限限增增大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxfx 問題問題: 如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近無限接近”.定定義義 1 1 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)| x大大于于某某一一正正數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)有有定定義義。如如果果存存在在常常數(shù)數(shù)A A, ,對(duì)對(duì)于于任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) ( (不不論論它它多多么么小小) ), ,總總存存在在

19、著著正正數(shù)數(shù)X, ,使使得得當(dāng)當(dāng)x滿滿足足不不等等式式Xx 時(shí)時(shí)，, ,所所對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值)(xf都都滿滿足足不不等等式式 Axf)(, ,那那么么常常數(shù)數(shù)A就就叫叫做做函函數(shù)數(shù))(xf當(dāng)當(dāng) x時(shí)時(shí)的的極極限限, ,記記作作 )()()(lim xAxfAxfx當(dāng)當(dāng)或或 定義定義X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng) Axfx)(lim1、定義：、定義：:.10情情形形 x.)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng):.20情情形形 xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)Axfx )(lim2、另兩種情形、另兩種情形: A

20、xfx)(lim:定定理理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且xxysin 3、幾何解釋、幾何解釋: X X.2,)(,的的帶帶形形區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)寬寬為為為為中中心心線線直直線線圖圖形形完完全全落落在在以以函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng) AyxfyXxXxA例例5. 01lim xx證明證明證證xx101 x1 X1 , 0 ,1 X取取時(shí)時(shí)恒恒有有則則當(dāng)當(dāng)Xx ,01 x. 01lim xx故故.)(,)(lim:的圖形的水平漸近線的圖形的水平漸近線是函數(shù)是函數(shù)則直線則直線如果如果定義定義xfycycxfx 三、函數(shù)極限的性質(zhì)三、函數(shù)極限的性質(zhì)定定 理理 2 2 （ 函函 數(shù)數(shù) 極極 限限 的的

21、 局局 部部 有有 界界 性性 ） 若若.| )(|0, 00)(lim00MxfxxMAxfxx 時(shí)時(shí)，有有使使得得當(dāng)當(dāng)和和，那那么么存存在在常常數(shù)數(shù) 定定理理 1（函函數(shù)數(shù)極極限限的的唯唯一一性性） 若若)(lim0 xfxx存存在在,則則極極限限唯唯一一. 即可證得。即可證得。，證明思路：取證明思路：取, 1|1 AM).0)(0)(,|0, 0),0(0,)(lim00 xfxfxxAAAxfxx或或時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)則則或或且且若若定理定理3 3 ( (函數(shù)極限的保號(hào)性函數(shù)極限的保號(hào)性) ).0(0,)(lim),0)(0)(00 AAAxfxfxfxxx或或則則且且或或的的某某一一去去心心鄰

22、鄰域域內(nèi)內(nèi)若若在在推論推論)(lim)(lim)(),(,)()(lim0000 xfxfxfNnxxxxfxxfxxnnnnnxx 必必收收斂斂，且且么么相相應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值數(shù)數(shù)列列那那且且滿滿足足：的的數(shù)數(shù)列列一一收收斂斂于于的的定定義義域域內(nèi)內(nèi)任任為為函函數(shù)數(shù)存存在在，如如果果定理定理4(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)證證.)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)則則Axfxx )(lim0設(shè)設(shè).0, 0, 00 xxNnNn恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)對(duì)對(duì)上上述述,)( Axfn從而有從而有.)(limAxfnn 故故,lim00 xxxxnnn 且且又又

23、例例6.1sinlim0不不存存在在證證明明xx證證 ,1 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 ,2141 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 nxnnnsinlim1sinlim 而而, 1 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx, 0 四、極限存在準(zhǔn)則四、極限存在準(zhǔn)則準(zhǔn)準(zhǔn)則則 如如果果數(shù)數(shù)列列nnyx ,及及 nz滿滿足足下下列列條條件件: : ,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那那么么數(shù)數(shù)列列 nx 的的極極限限存存在在, , 且且ax

24、nn lim. . 證證,azaynn使使得得, 0, 0, 021 NN,1 ayNnn有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，則則當(dāng)當(dāng)取取NnNNN ,max21有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),Nn , ayan,2 azNnn有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng), azan上面兩個(gè)不等式同時(shí)成立上面兩個(gè)不等式同時(shí)成立,即即, azxyannn, axn即即.limaxnn 上述數(shù)列極限存在準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限。上述數(shù)列極限存在準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限。準(zhǔn)則準(zhǔn)則 如果如果 ,)(lim,)(lim)2(),()()()|)(,()1()(0)(00AxhAxgxhxfxgMxrxUxxxxxxxo 時(shí)，時(shí)，或或當(dāng)當(dāng) 那么那么)(lim)(0 xfx

25、xx 存在存在, , 且等于且等于A. . 注意注意: :.)()(),()(的的極極限限容容易易求求出出與與或或與與并并且且與與或或與與鍵鍵是是構(gòu)構(gòu)造造出出利利用用夾夾逼逼準(zhǔn)準(zhǔn)則則求求極極限限關(guān)關(guān)xhxgzyxhxgzynnnn準(zhǔn)則準(zhǔn)則 I和和準(zhǔn)則準(zhǔn)則 I稱為稱為夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則.例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼準(zhǔn)則得由夾逼準(zhǔn)則得. 1)12111(lim222 nnnnnx1x2x3x1 nxnx2.單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則滿滿足足條

26、條件件如如果果數(shù)數(shù)列列nx,121 nnxxxx單調(diào)增加單調(diào)增加,121 nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列準(zhǔn)準(zhǔn)則則 單單調(diào)調(diào)有有界界數(shù)數(shù)列列必必有有極極限限.幾何解釋幾何解釋:AM例例2 2.)(333的極限存在的極限存在式式重根重根證明數(shù)列證明數(shù)列nxn 證證,1nnxx 顯顯然然 ;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是是有有界界的的nx.lim存存在在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解解得得(舍去舍去).2131lim nnx思考題思

27、考題試問函數(shù)試問函數(shù) 0,50,100,sin)(2xxxxxxxf在在0 x處的左、右極限處的左、右極限是否存在？當(dāng)是否存在？當(dāng)0 x時(shí)，時(shí)，)(xf的極限是否存在？的極限是否存在？ 思考題解答思考題解答 )(lim0 xfx, 5)5(lim20 xx左極限存在左極限存在, )(lim0 xfx, 0sinlim0 xxx右極限存在右極限存在, )(lim0 xfx)(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在不存在.第三節(jié) 極限運(yùn)算法則、兩個(gè)重要極限運(yùn)算法則、兩個(gè)重要極限極限一、極限運(yùn)算法則一、極限運(yùn)算法則二、例題二、例題三、兩個(gè)重要極限三、兩個(gè)重要極限1 1、無窮小的運(yùn)算性質(zhì)、無窮小

28、的運(yùn)算性質(zhì): :定理定理1 在同一過程中在同一過程中,有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小是無窮小.證證,時(shí)時(shí)的的兩兩個(gè)個(gè)無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)及及設(shè)設(shè) x使使得得, 0, 0, 021 NN;21 時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng)Nx;22 時(shí)時(shí)恒恒有有當(dāng)當(dāng)Nx,max21NNN 取取恒有恒有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),Nx 22 , )(0 x一、極限運(yùn)算法則一、極限運(yùn)算法則注意注意無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和未必是無窮小無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和未必是無窮小. .是是無無窮窮小小，時(shí)時(shí)例例如如nn1, .11不不是是無無窮窮小小之之和和為為個(gè)個(gè)但但nn定理定理2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是

29、無窮小.證證內(nèi)有界，內(nèi)有界，在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(100 xUu.0, 0, 0101MuxxM 恒有恒有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng)則則,0時(shí)時(shí)的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)又又設(shè)設(shè)xx .0, 0, 0202Mxx 恒恒有有時(shí)時(shí)使使得得當(dāng)當(dāng)推論推論1 在同一過程中在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小積是無窮小.推論推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論推論3 有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小.,min21 取取恒恒有有時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng),00 xx uuMM , .,0為為無無窮窮小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) uxxxxxxx1arctan,

30、1sin,0,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例例如如都是無窮小都是無窮小推論推論3可推廣到任意個(gè)無窮小的乘積的情形?？赏茝V到任意個(gè)無窮小的乘積的情形。定理定理3. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中則則設(shè)設(shè)證證.)(lim,)(limBxgAxf . 0, 0.)(,)( 其中其中BxgAxf由無窮小運(yùn)算法則由無窮小運(yùn)算法則,得得2.極限的四則運(yùn)算極限的四則運(yùn)算)()()(BAxgxf . 0.)1( 成立成立)()()(BAxgxf ABBA )( )(BA. 0.)2(成立成立BAxgxf )

31、()(BABA )( BBAB. 0 AB, 0, 0 B又又, 0 ,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx,2B BBBB21 B21 推論推論1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 則則為為常常數(shù)數(shù)而而存存在在如如果果常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 則則是是正正整整數(shù)數(shù)而而存存在在如如果果推論推論2 2,21)(2BBB ,2)(12BBB 故故有界，有界，.)3(成立成立.)(lim)(lim,)(),(, 0)(lim)(lim)()()()(40000000000AufxgfuxgxUxAufuxgxxg

32、fxguufyxgfyuuxxuuxx 則則時(shí)，有時(shí)，有當(dāng)當(dāng)且存在且存在，去心鄰域內(nèi)有定義，若去心鄰域內(nèi)有定義，若的某個(gè)的某個(gè)在在復(fù)合而成，復(fù)合而成，與與是由是由法則）設(shè)函數(shù)法則）設(shè)函數(shù)（復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算（復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算定理定理)(lim0 xgfxx)(lim0ufuu)(xgu 令令)(lim00 xguxx 意義：意義：3.3.復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則二、例題二、例題例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim2

33、32 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 小結(jié)小結(jié): :則則有有設(shè)設(shè),)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 則則有有且且設(shè)設(shè), 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf .,0)(0則則商商的的法法則則不不能能應(yīng)應(yīng)用用若若 xQ解解)32(lim21 xxx, 0 商的法則不能用商的法則不能用)14(lim1 xx又又, 03

34、1432lim21 xxxx. 030 由無窮小與無窮大的關(guān)系由無窮小與無窮大的關(guān)系,得得例例2 2.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分母的極限都是零分母的極限都是零分子分子時(shí)時(shí)x.1后后再再求求極極限限因因子子先先約約去去不不為為零零的的無無窮窮小小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的極限都是無窮大分母的極限都是無窮大分子分子時(shí)時(shí) x)(

35、型型 .,3再求極限再求極限分出無窮小分出無窮小去除分子分母去除分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (無窮小因子分出法無窮小因子分出法)小結(jié)小結(jié): :為非負(fù)整數(shù)時(shí)有為非負(fù)整數(shù)時(shí)有和和當(dāng)當(dāng)nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)無窮小分出法無窮小分出法: :以分母中自變量的最高次冪除分以分母中自變量的最高次冪除分子子,分母分母,以分出無窮小以分出無窮小,然后再求極限然后再求極限.例例5 5).21(lim222nnnnn 求求解解是無限多個(gè)無窮小之和是無限多個(gè)

36、無窮小之和時(shí)時(shí), n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先變形再求極限先變形再求極限.例例6 6).(lim,0, 10,)(02xfxxxxexfxx 求求設(shè)設(shè)解解兩兩個(gè)個(gè)單單側(cè)側(cè)極極限限為為是是函函數(shù)數(shù)的的分分段段點(diǎn)點(diǎn) ,0 x)(lim)(lim00 xexfxxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右極限存在且相等左右極限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故例例7 7.lim333axaxax 求求解解axaxaxax 3233)()(lim原原式式3233232)(limaaxxa

37、xax 0 323203limauuaxu 令令思考題思考題 在某個(gè)過程中，若在某個(gè)過程中，若 有極限，有極限， 無極限，那么無極限，那么 是否有極限？為是否有極限？為什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 思考題解答思考題解答沒有極限沒有極限假設(shè)假設(shè) 有極限，有極限，)()(xgxf )(xf有極限，有極限，由極限運(yùn)算法則可知：由極限運(yùn)算法則可知： )()()()(xfxgxfxg 必有極限，必有極限，與已知矛盾，與已知矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤故假設(shè)錯(cuò)誤AC三、兩個(gè)重要極限三、兩個(gè)重要極限(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO圓圓心心角角（如如右右圖圖）作作單單位位圓圓,tan

38、,sinACxABxBDx 弧弧于于是是有有xoBD,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式對(duì)于上式對(duì)于 x,20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原原式式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 (2)exxx )11(limnnnx)11( 設(shè)設(shè) 21! 2

39、)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( ).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 顯顯然然 ;是是單單調(diào)調(diào)遞遞增增的的nx!1! 2111nxn 1212111 n12132112111 nn, 3 ;是是有有界界的的nx.lim存存在在nnx ennn )11(lim記為記為)71828. 2( e類似地類似地,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim

40、)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx, e .)11(limexxx , xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(limtttttttt)1(lim)1(lim 例例4 4.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原原式式.1e 例例5 5.)23(lim2xxxx 求求解解422)211

41、()211(lim xxxx原原式式.2e 第四節(jié) 無窮小與無窮大無窮小與無窮大一、無窮小一、無窮小二、無窮小的比較與等價(jià)無窮小二、無窮小的比較與等價(jià)無窮小三、無窮大三、無窮大四、無窮小與無窮大的關(guān)系四、無窮小與無窮大的關(guān)系一、無窮小定定義義 1 1 如如果果函函數(shù)數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx ( (或或 x) )時(shí)時(shí)的的極極限限為為零零，那那么么 稱稱函函數(shù)數(shù))(xf為為當(dāng)當(dāng)0 xx ( (或或 x) )時(shí)時(shí)的的無無窮窮小小。 例如例如, 0sinlim0 xx.0sin時(shí)時(shí)的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù)xx, 01lim xx.1時(shí)的無窮小時(shí)的無窮小是當(dāng)是當(dāng)函數(shù)函數(shù) xx, 0)1(lim n

42、nn.)1(時(shí)時(shí)的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)數(shù)數(shù)列列 nnn注意注意（1）無窮小是變量）無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆;（2）零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)）零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).證證 定定理理 1 1 ),()()(lim0 xAxfAxfxx 其其中中)(x 是是當(dāng)當(dāng)0 xx 時(shí)時(shí)的的無無窮窮小小.)(, 0lim)(,)(0, 0, 0,)(lim.000 AxfAxfAxfxxAxfxxxx且且則則令令時(shí)時(shí)，有有使使當(dāng)當(dāng)則則設(shè)設(shè)必必要要性性.)(lim,)(0, 0, 0, 0lim)(, 0lim)(.0000AxfAxfxxAxfAAxfxxxxxx 故故時(shí)時(shí)

43、，有有使使當(dāng)當(dāng)所所以以，因因?yàn)闉橛谟谑鞘鞘鞘浅３?shù)數(shù)，其其中中設(shè)設(shè)充充分分性性二、無窮小的比較二、無窮小的比較等價(jià)無窮小等價(jià)無窮小例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是無窮小都是無窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxxx 由上面結(jié)果可看出，同時(shí)無窮小由上面結(jié)果可看出，同時(shí)無窮小, 但是趨但是趨向于零的向于零的“快慢快慢”程度卻有不同程度卻有不同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大大致致相相同同與與xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不不存存在在；記記作作高高階階的的無無窮窮小小是是比比，就就說說如如果果)(,0

44、lim)1( o定義定義: :. 0, 且且窮窮小小是是同同一一過過程程中中的的兩兩個(gè)個(gè)無無設(shè)設(shè);, 0lim)3(是是同同階階的的無無窮窮小小與與就就說說如如果果 C低低階階的的無無窮窮小小是是比比，就就說說如如果果 lim)(., 0, 0lim)4(無窮小無窮小階的階的的的是是就說就說如果如果kkCk ，03lim20 xxx，1sinlim0 xxx;302高高階階的的無無窮窮小小是是比比時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)xxx ).0()3(2 xxox即即是是等等價(jià)價(jià)無無窮窮小小與與時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)xxxsin0).0(sinxxx即即例如，例如，;, 1lim)5( 記作記作是等價(jià)的無窮小是等價(jià)的無窮小與與就

45、說就說如果如果例例1 1.sintan,0:的的三三階階無無窮窮小小為為時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)證證明明xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1sincos1(lim20 xxxxxx ,21 .sintan的的三三階階無無窮窮小小為為xxx 2000cos1limsinlimcos1limxxxxxxxx ).(1 o為為必要條件必要條件是等價(jià)無窮小的的充分是等價(jià)無窮小的的充分與與定理定理證證必要性必要性，設(shè)設(shè) 1limlim ，0 ，即即因因此此)()( oo充分性充分性設(shè)設(shè))( o )(limlimo）（ )(limo，1 因因此此 例例2 因?yàn)橐驗(yàn)?,(sinxoxx ).(21cos

46、122xoxx ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x常用等價(jià)無窮小常用等價(jià)無窮小: :,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x)0(1)1(,21cos1, 1)1ln(arctanarcsintansin2 aaxxxxexxxxxxxax,tan,sinxxxx時(shí)有時(shí)有當(dāng)當(dāng)0.21cos1,arcsin2 xxxxx),(tanxoxx ),(arcsinxoxx 例例3 3解解)1ln(lim1lim00uuxeuxx .1lim0 xexx 求求,1uex 令令),1ln(ux 即即, 0,0ux有有時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng)uuu10)1ln(1lim uuu10)1ln(lim1 eln1 . 1 . 1),1ln(0 xexxxx時(shí)時(shí)，

47、即即，當(dāng)當(dāng)定理定理( (等價(jià)無窮小代換定理等價(jià)無窮小代換定理) ).limlim,lim, 則則存存在在且且設(shè)設(shè)證證 lim)lim( limlimlim.lim 例例4 4.2cos13sinlim20 xxx 求求解解.)2(212cos1 ,33sin,02xxxxx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)29)2(21)3(lim220 xxx原式原式例例5 5.2cos2sin1cossin1lim0 xxxxx 求求解解21010121sincos2sin22coslim21)sin(cos)2sin22(cos2lim)sin(cossin2)2sin22(cos2sin2limsin2cossin22sin

48、22cos2sin2lim000220 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx原原式式注意：只有極限式中的因子才可再求極限時(shí)作等注意：只有極限式中的因子才可再求極限時(shí)作等價(jià)無窮小代換價(jià)無窮小代換三、無窮大三、無窮大定義定義 2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在0 x某一去心鄰域內(nèi)有定義（或某一去心鄰域內(nèi)有定義（或 x大于某一正數(shù)時(shí)有定義） 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)大于某一正數(shù)時(shí)有定義） 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)M( (不論它多么大不論它多么大),),總存在正數(shù)總存在正數(shù) ( (或正數(shù)或正數(shù)X),),使得使得對(duì)于適合不等式對(duì)于適合不等式 00 xx( (或或 xX) )的一切的一切x, ,

49、對(duì)應(yīng)的函數(shù)值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值)(xf總滿足不等式總滿足不等式 Mxf )(, ,則稱函則稱函數(shù)數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx ( (或或 x) )時(shí)為無窮大時(shí)為無窮大, ,記作記作 ).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或 特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意（1）無窮大是變量）無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;（3）無窮大是一種特殊的無界變量）無窮大是一種特殊的無界變量,但是無但是無界變量未必是無窮大界變量未必是無窮大.)(lim20認(rèn)認(rèn)為為極極限限存存在在）切切勿勿將將（ xfxx.,1s

50、in1,0,但但不不是是無無窮窮大大是是一一個(gè)個(gè)無無界界變變量量時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例例如如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1( kkxk取取,22)( kxyk.)(,Mxykk 充充分分大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)), 3 , 2 , 1 , 0(21)2( kkxk取取, kxk 充充分分大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) kkxyk2sin2)(但但.0M 不是無窮大不是無窮大無界，無界，.11lim1 xx證證明明例例證證. 0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只只要要,1M 取取,110時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Mx .11Mx 就有就有.11lim1 xx.)(,)(lim:00的圖形的鉛直漸近線的圖形的鉛直漸近線是函數(shù)是函

51、數(shù)則直線則直線如果如果定義定義xfyxxxfxx 11 xy四、無窮小與無窮大的關(guān)系定理定理2 2 在自變量的同一變化過程中在自變量的同一變化過程中, ,無窮大的倒無窮大的倒數(shù)為無窮小數(shù)為無窮小; ;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大. .證證.)(lim0 xfxx設(shè)設(shè),1)(0, 0, 00 xfxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使得得當(dāng)當(dāng).)(1 xf即即.)(1,0為為無無窮窮小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfxx . 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且設(shè)設(shè)反反之之,1)(0, 0, 00MxfxxM 恒恒有有時(shí)時(shí)使使得得當(dāng)當(dāng).)(1Mxf 從而從而.)(1,0為無窮大為無窮大時(shí)時(shí)當(dāng)

52、當(dāng)xfxx , 0)( xf由由于于意義意義 關(guān)于無窮大的討論關(guān)于無窮大的討論,都可轉(zhuǎn)化為關(guān)于無窮小都可轉(zhuǎn)化為關(guān)于無窮小的討論的討論.第五節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及類型二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及類型三、初等函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性.),(,),()(00000 xxxxxUxxUxxfy 的的增增量量，記記作作為為自自變變量量在在點(diǎn)點(diǎn)稱稱定定義義內(nèi)內(nèi)有有的的某某一一鄰鄰域域在在假假設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)).()(000 xfxxfyyyxxx ，則則對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的增增量量記記為為時(shí)時(shí)，有有增增量量在在當(dāng)當(dāng)自自變變量量xx

53、00 xxy0)(xfy x y ,0 xxx 設(shè)設(shè)),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就就是是連連續(xù)續(xù)。在在點(diǎn)點(diǎn)那那么么就就稱稱函函數(shù)數(shù)如如果果的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)定定義義000000)(0)()(limlim)(1xxfyxfxxfyxxfyxx :定定義義 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)連連續(xù)續(xù)。在在點(diǎn)點(diǎn)那那么么就就稱稱函函數(shù)數(shù)有有定定義義，如如果果的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)定定義義0000)()()(lim)(2xxfyxfxfxxfyxx 例例1 1.0, 0,

54、 0, 0,1sin)(處處連連續(xù)續(xù)在在試試證證函函數(shù)數(shù) xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定義由定義2知知.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf),0()(lim0fxfx .)(),()(lim000處處左左連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱如如果果xxfxfxfxx 定理定理.)()(00處處既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)在在是是函函數(shù)數(shù)處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)xxfxxf.)(),()(lim000處右連續(xù)處右連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱如果如果xxfxfxfxx 在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上叫做在該區(qū)間上的的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函

55、數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).,)(,),(上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)則則稱稱處處左左連連續(xù)續(xù)在在右右端端點(diǎn)點(diǎn)處處右右連連續(xù)續(xù)并并且且在在左左端端點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)如如果果函函數(shù)數(shù)在在開開區(qū)區(qū)間間baxfbxaxba 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如例如,.),(內(nèi)是連續(xù)的內(nèi)是連續(xù)的有理函數(shù)在區(qū)間有理函數(shù)在區(qū)間例例2 2.),(sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間函數(shù)函數(shù)證明證明 xy證證),( x任取任取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 則則,0,時(shí)時(shí)當(dāng)

56、當(dāng)對(duì)對(duì)任任意意的的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).),(sin都都是是連連續(xù)續(xù)的的對(duì)對(duì)任任意意函函數(shù)數(shù)即即 xxy例例3 3.0, 0, 2, 0, 2)(連續(xù)性連續(xù)性處的處的在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處處不不連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)故故函函數(shù)數(shù) xxf二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及類型二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及類型:)(0條件條件處連續(xù)必須滿足的三個(gè)處連續(xù)必須滿足的三個(gè)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xxf;)()1(0處有定義處有定義在

57、點(diǎn)在點(diǎn)xxf;)(lim)2(0存存在在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或或間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)的的不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)為為并并稱稱點(diǎn)點(diǎn)或或間間斷斷處處不不連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)就就稱稱函函數(shù)數(shù)一一個(gè)個(gè)不不滿滿足足上上述述三三個(gè)個(gè)條條件件中中只只要要有有xfxxxf.)()(),()(lim,)(00000的可去間斷點(diǎn)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)義則稱點(diǎn)義則稱點(diǎn)處無定處無定在點(diǎn)在點(diǎn)或或但但處的極限存在處的極限存在在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)例例4 4.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) x

58、xxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 1)1( f, 2)1(lim)(lim, 22lim)(lim1111 xxfxxfxxxx2)(lim1 xfx),1(f .0為為函函數(shù)數(shù)的的可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) x注意注意 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).在此例中在此例中, 2)1( f令令 , 1,1, 10,2)(xxxxxf則則.1處的連續(xù)處的連續(xù)在在 x.)(),()(,)(0000跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)的的為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)但但存存在在右右極極限限都都處處左左在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xf

59、xxfxfxxf 跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)例例5 5.0,0,10,210,)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxxf解解, 0)0( f, 1)0( f),0()0( ff.0為為函函數(shù)數(shù)的的跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) xoxy跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn). .)(,)(00的的第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)在在右右極極限限至至少少有有一一個(gè)個(gè)不不存存處處的的左左、在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xfxxxf第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)例例6 6.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解ox

60、y, 0)00( f,)00( f.1為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn) x.斷斷點(diǎn)點(diǎn)這這種種情情況況稱稱為為無無窮窮間間例例7 7.01sin)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxf解解xy1sin ,0處沒有定義處沒有定義在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0為第二類間斷點(diǎn)為第二類間斷點(diǎn) x.斷斷點(diǎn)點(diǎn)這這種種情情況況稱稱為為的的振振蕩蕩間間三、初等函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處處也也連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,