動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的微分方程模型

1、第二章：動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的微分方程模型利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行仿真時(shí)，一般情況下要給出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，因此有必要掌握一定的建立數(shù)學(xué)模型的方法。在動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中，大多數(shù)情況下可以使用微分方程來表示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，也可以通過微分方程可以將原來的系統(tǒng)簡化為狀態(tài)方程或者差分方程模型等。在這一章中，重點(diǎn)介紹建系統(tǒng)動(dòng)態(tài)問題的微分方程的基本理論和方法。在實(shí)際工程中，一般把系統(tǒng)分為兩種類型，一是連續(xù)系統(tǒng)；其數(shù)學(xué)模型一般是高階微分方程；另一種是離散系統(tǒng)，它的數(shù)學(xué)模型是差分方程。§2.1 動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)統(tǒng)基本元件 任何機(jī)械系統(tǒng)都是由機(jī)械元件組成的，在機(jī)械系統(tǒng)中有3種類型的基本機(jī)械元件：慣性元件、彈性元件和阻尼元件。1 慣性元

2、件：慣性元件是指具有質(zhì)量或轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的元件，慣量可以定義為使加速度（或角加速度）產(chǎn)生單位變化所需要的力（或力矩）。 慣量（質(zhì)量）=慣量（轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）=2 彈性元件：它在外力或外力偶作用下可以產(chǎn)生變形的元件，這種元件可以通過外力做功來儲(chǔ)存能量。按變形性質(zhì)可以分為線性元件和非線性元件，通常等效成一彈簧來表示。對于線性彈簧元件，彈簧中所受到的力與位移成正比，比例常數(shù)為彈簧剛度。這里稱為彈簧剛度，是彈簧相對于原長的變形量，彈性力的方向總是指向彈簧的原長位移，出了彈簧和受力之間是線性關(guān)系以外，還有所謂硬彈簧和軟彈簧，它們的受力和彈簧變形之間的關(guān)系是一非線性關(guān)系。3 阻尼元件：這種元件是以吸收能量以其它形式消

3、耗能量，而不儲(chǔ)存能量，可以形象的表示為一個(gè)活塞在一個(gè)充滿流體介質(zhì)的油缸中運(yùn)動(dòng)。阻尼力通常表示為： 阻尼力的方向總是速度方向相反。當(dāng)，為線性阻尼模型。否則為非線性阻尼模型。應(yīng)注意當(dāng)?shù)扔谂紨?shù)情況時(shí)，要將阻尼力表示為： 這里的“-”表示與速度方向相反§2.2 動(dòng)力學(xué)建?；径ɡ? 動(dòng)力學(xué)普遍定理對于大多數(shù)力學(xué)問題，可以使用我們熟知的牛頓動(dòng)力學(xué)基本定理來解決，動(dòng)力學(xué)普遍定理包括動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理，以及其他變形形式，普遍定理的特點(diǎn)是比較直觀，針對不同的問題可以選擇不同的力學(xué)定理，在一般情況下利用普遍定理可以得到大多數(shù)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。1）動(dòng)量定理與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理： 設(shè)系統(tǒng)在任意瞬

4、時(shí)的動(dòng)量矢為,作用在系統(tǒng)上的外力矢量和為，則任意瞬時(shí)的動(dòng)量對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用在系統(tǒng)中所有外力的矢量和構(gòu)成了動(dòng)量定理。 （2-1）通常將該式投影到直接坐標(biāo)軸系、自然坐標(biāo)軸系等，（更詳細(xì)的情況請參閱理論力學(xué)有關(guān)知識(shí)）利用質(zhì)心坐標(biāo)的計(jì)算表達(dá)式，可以將動(dòng)量定理轉(zhuǎn)化為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，即： 或： （2-2）其中：是系統(tǒng)的總質(zhì)量，是系統(tǒng)的質(zhì)心；是分剛體是質(zhì)心，是分剛體的質(zhì)心。 2） 動(dòng)量矩定理 ： 系統(tǒng)在任意瞬時(shí)的動(dòng)量矩對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用在系統(tǒng)中所有外力矩的矢量和。 （2-3）其中，是系統(tǒng)對固定點(diǎn)的動(dòng)量矩， 力F對O點(diǎn)的矩.除了對固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理外，還有對質(zhì)心的動(dòng)量矩定理，對速度瞬心的動(dòng)量矩定理和對加速

5、度瞬心的動(dòng)量矩定理。3） 動(dòng)能定理 ： 動(dòng)能定理的導(dǎo)數(shù)形式：系統(tǒng)在任意瞬時(shí)的動(dòng)能對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用在系統(tǒng)中所有力的功率的代數(shù)和。 （2-4）動(dòng)能定理的積分形式：系統(tǒng)在任意兩瞬時(shí)的動(dòng)能的變化等于作用在系統(tǒng)中所有力的功的代數(shù)和。2 動(dòng)力學(xué)普遍方程 將達(dá)朗伯原理與虛位移原理相結(jié)合，得到了建立動(dòng)力學(xué)模型的另一種方法。1) 達(dá)朗伯原理 達(dá)朗伯原理提供了研究動(dòng)力學(xué)問題的一個(gè)新的方法，即借助于慣性力（ ）的概念，可用研究靜力學(xué)平衡的方法來研究動(dòng)力學(xué)問題，這種方法常稱為動(dòng)靜法。即：在任意時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)在主動(dòng)力、約束力和慣性力的主矢作用下處于平衡； （2-5） 以及主動(dòng)力、約束力和慣性力對某點(diǎn)的矩矢等于零，即：通

6、常先計(jì)算慣性力的主矢和主矩，從而得到質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理。2) 虛位移原理 虛位移原理本身是通過虛功的引入，提出了求解靜力學(xué)問題的一種方法，它與達(dá)朗伯原理相結(jié)合得到了建立動(dòng)力學(xué)模型的另一種方法。對于理想約束的完整系統(tǒng)，質(zhì)點(diǎn)（質(zhì)點(diǎn)系）在其給定位置上處于平衡的必要充分條件是作用在該質(zhì)點(diǎn)（質(zhì)點(diǎn)系）上的所有主動(dòng)力在其作用點(diǎn)的虛位移上所做的虛功和等于零，即： 或 3） 動(dòng)力學(xué)的普遍方程受理想約束的系統(tǒng)，作用在質(zhì)點(diǎn)系上的所以主動(dòng)力和慣性力在各自的虛位移上所做的虛功和等于零，即：或 在具體應(yīng)用這個(gè)方程的時(shí)候，可以先引入廣義坐標(biāo)，使得問題處理簡單。 例2-1 質(zhì)量為均質(zhì)的桿可以繞O軸定動(dòng)，試求系統(tǒng)做微幅振動(dòng)時(shí)的

7、微分方程。解：桿繞O軸做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，水平位置為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，取桿繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為坐標(biāo)，可以方便的使用動(dòng)量矩定理來建立動(dòng)力學(xué)方程。（假定在微小轉(zhuǎn)動(dòng)情況下）這里是桿繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。這是關(guān)于的二階線性微分方程。如果不計(jì)桿的質(zhì)量，則微分方程為：這個(gè)方程是關(guān)于的一階線性微分方程，稱該系統(tǒng)模型為一階系統(tǒng)。例2-2 懸浮擺的動(dòng)力學(xué)建模 下圖所示為小型起重機(jī)簡圖，是吊車和吊重的質(zhì)量，吊繩長為且不計(jì)質(zhì)量，吊車的驅(qū)動(dòng)力為F，考慮軌道的阻力為，試以為廣義坐標(biāo)，建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)控制方程。利用水平方向的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，即：或： 重物做平面曲線運(yùn)動(dòng)，則可以直接利用牛頓定律得到切線方向的動(dòng)力學(xué)方程：（1），（2）兩式

8、是耦合的非線性動(dòng)力學(xué)方程。當(dāng)系統(tǒng)被限制在附近運(yùn)動(dòng)時(shí)，可將其在處線性化處理，則可以得到系統(tǒng)的方程為：當(dāng)給定時(shí)，可以建立仿真模型。請讀者考慮，如果要考慮擺桿的質(zhì)量，則動(dòng)力學(xué)方程如何？例2-3： 車輛懸架系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型 考慮圖2.2所示的汽車懸架系統(tǒng)示意圖。設(shè)計(jì)懸架緩沖系統(tǒng)的的目的是減小車輛在崎嶇道路上行駛時(shí)產(chǎn)生的震動(dòng)，因?yàn)榈缆繁砻娴牟黄教箷?huì)引起懸架沿垂直方向的移動(dòng)和繞某個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。 圖2.2懸架系統(tǒng)示意圖 圖2.3架系統(tǒng)的受力分析示意圖我們將整個(gè)系統(tǒng)的質(zhì)量中心作為坐標(biāo)的原點(diǎn),因此系統(tǒng)在不平道路上的振動(dòng)運(yùn)動(dòng)可以看作是質(zhì)心的沿垂直方向的平移運(yùn)動(dòng)以及繞質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。車架質(zhì)量為m,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J。輸入車

9、輪的位置信息、表明路況信息。假設(shè)每個(gè)車軸的緩沖系統(tǒng)由具有阻尼特性的彈簧構(gòu)成。忽略輪胎的質(zhì)量,每個(gè)車輪受到的外力為彈簧彈力與阻尼力之和,即其中： 和分別表示每個(gè)彈簧距離參考位置的瞬時(shí)距離。代入上式后根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)與相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理得：或者：整理后得到：用和分別表示系統(tǒng)質(zhì)心的平移位移和沿質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)角度。上式中假定在很小的角度位置條件下滿足，并且取順時(shí)針的旋轉(zhuǎn)方向?yàn)檎较?。再根?jù)系統(tǒng)相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理可得：其中是車駕相對于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，將上式整理后可得：或：將系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程寫成矩陣形式：簡寫為：其中: 當(dāng)為非奇異陣時(shí)，可以通過矢量信號(hào)我們可以得到系統(tǒng)的仿真模型如（圖2-5）。圖2.5 懸

10、架系統(tǒng)仿真框圖 以上系統(tǒng)中假定、是系統(tǒng)兩個(gè)相互獨(dú)立的輸入變量,但實(shí)際上,后輪與前車輪的位置時(shí)間相差t=L/V時(shí)間。這樣,實(shí)際系統(tǒng)滿足。由于借助了拉斯變換，將微分方程換成了代數(shù)方程，如果要得到時(shí)域響應(yīng)則需要借助拉斯反變換。根據(jù)第一章的基本知識(shí)，給出基于微分方程的仿真模型，具體計(jì)算過程留給讀者練習(xí)。例 2-4 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)建模 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真建模(速度分析與建模) 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)如圖所示：該機(jī)構(gòu)只有一個(gè)自由度，首先給出機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析模型，（1） 機(jī)構(gòu)的封閉的矢量方程（2） 矢量方程的分解式（3）關(guān)于機(jī)構(gòu)速度問題的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程；機(jī)構(gòu)的輸入運(yùn)動(dòng)量為 ，輸出量為 ，寫成矩陣形式可以寫成顯式表達(dá)式

11、Simulink仿真模型建立 在該仿真模型中，設(shè)系統(tǒng)的輸入角速度為：150弧度/秒，通過一次積分可以得到角度，將這兩個(gè)輸入量通過一個(gè)信號(hào)混合器（以向量形式混合為一路信號(hào)），輸入給MATLAB FCN模塊，通過該函數(shù)模塊中的代碼入 ，從而可以得到輸出量（），再進(jìn)一步積分后，得到位移量。在 MATLAB FUNTION 模塊中寫上函數(shù)過程文件名：Compv，其它不變，建立m腳本文件如下：（函數(shù)子程序）functionx=compv(u); x輸出，（u）輸入。% 參數(shù)說明：r1 曲柄長度，r2 連桿長度% u(1)曲柄角速度；u(2)曲柄角度，u(3)連桿角度r1=15; r2=55; a=r2*

12、sin(u(3) 1; r2*cos(u(3) 0;b=-u(1)*r1*sin(u(2); cos(u(2);x=inv(a)*b; 將該文件名儲(chǔ)存為compv.m,然后運(yùn)行仿真模型，得如下結(jié)果。圖2-10 圖2-11連桿的角速度與角度的變化規(guī)律 滑快的速度與位移變化規(guī)律 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真（加速度分析）加速度表達(dá)式機(jī)構(gòu)的輸入運(yùn)動(dòng)量為 ，輸出量為 ，寫成矩陣形式和速度仿真一樣，請讀者建立機(jī)構(gòu)的加速度仿真模型。如果要對此機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)仿真，可以再列寫出系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，與運(yùn)動(dòng)學(xué)方程聯(lián)立求解。例2- 5 建立如下系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程，并使用子系統(tǒng)封裝技術(shù)。改寫上式為：設(shè)：, , , , ,利用

13、子系統(tǒng)技術(shù)，我們可以建立相應(yīng)的仿真模型，利用摸態(tài)分析方法可以得到系統(tǒng)的解析解和仿真解進(jìn)行比較。 若將激勵(lì)作用在左邊質(zhì)量塊上，取，并分析當(dāng)取值為多大時(shí)，質(zhì)量的振幅接近于零（動(dòng)力消振器原理）。并進(jìn)一步分析，當(dāng)時(shí)，主系統(tǒng)的消振效果。說明有阻尼消振效果好還是無阻尼消振效果好。§2.3 Hamilton動(dòng)力學(xué)建模體系除了使用牛頓力學(xué)的基礎(chǔ)理論建模，還可以使用有關(guān)Hamilton力學(xué)體系的建模方法，這些建模的基礎(chǔ)理論有 Lagrange第二類方程，Hamilton原理、Hamilton正則方程、APPELL方程和凱恩方程等.1. Lagerange第二類方程 其中，是系統(tǒng)的總動(dòng)能，是對應(yīng)于第j個(gè)

14、廣義坐標(biāo)的廣義力。即： 如果系統(tǒng)受到的力全是保守系力，則Lagerange可簡化為：其中： 稱為Lagerange函數(shù)。這里：是系統(tǒng)的總動(dòng)能，是系統(tǒng)的總勢能。對于具有保守力作用和非保守力作用的混合系統(tǒng)，其方程為： （2-其中 是對應(yīng)非保守力的廣義力。拉格朗日方程式是一組關(guān)于個(gè)廣義坐標(biāo)的二階微分方程，它有統(tǒng)一的格式和步驟，因此在動(dòng)力學(xué)建立模型時(shí)經(jīng)常采用。2 系統(tǒng)有耗散元件的拉格朗日方程 在工程實(shí)際問題中，如果存在有與速度有關(guān)的阻力。例如當(dāng)物體在空氣、液體中運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)受到流體介質(zhì)的阻力作用。實(shí)驗(yàn)表明，流動(dòng)介質(zhì)的阻力與相對速度有關(guān)，并且使系統(tǒng)的總能量不斷減少。這種阻力統(tǒng)稱為耗散力，將這類元件統(tǒng)稱為耗散

15、元件。 作用于系統(tǒng)的耗散力一般可以表示為如下形式其中表示第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度，表示第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)受到的耗散力，是阻力系數(shù)、是與廣義速度有關(guān)的函數(shù)，其中的負(fù)號(hào)表示阻尼與速度方向相反。在系統(tǒng)中如果存在有耗散力時(shí)，只需將耗散力的廣義力添加在拉格朗日方程的右邊即可。關(guān)于耗散廣義力計(jì)算可參考下式：根據(jù)廣義力的定義考慮到，則有：其中因此有令 稱D為系統(tǒng)的耗散函數(shù)，于是耗散力的廣義力為： 這樣容易得到具有耗散系統(tǒng)的拉格朗日方程為：或者： 因此對于耗散系統(tǒng)，只需將耗散力的廣義力加進(jìn)Lagerange方程的普通廣義力中即可。例如，在線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中，一般當(dāng)阻尼力是廣義速度的一次式，即：則對應(yīng)的耗散函數(shù)為：，對應(yīng)的廣義力

16、為：。例2-6 一旋轉(zhuǎn)擺如圖所示，擺長為，擺錘質(zhì)量為m，用光滑鉸鏈連接在鉛直軸上，如果要考慮Om構(gòu)件的質(zhì)量為M，當(dāng)鉛直軸以任意角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)求出對應(yīng)的動(dòng)力學(xué)模型。 解： 當(dāng)為任意時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)有兩個(gè)自由度，分別取和為廣義坐標(biāo)，其動(dòng)能和勢能分別為： Lagerange函數(shù)為： 在通常情況下，在轉(zhuǎn)軸上作用有外加力偶矩，根據(jù)Lagerange方程： ： ： 以上兩式仍為耦合非線性動(dòng)力學(xué)方程。（1）如果要考慮AB桿的質(zhì)量，則動(dòng)能為：（2）如果考慮多轉(zhuǎn)軸與軌道之間的摩擦阻尼，即，耗散函數(shù)為：，耗散力的廣義力為：3 Hamlton原理 原理是以變分為基礎(chǔ)的建模方法，設(shè)系統(tǒng)的動(dòng)能為，勢能為，非保守力的虛元功為，

17、則Hamilton原理可以表示為： 其中： 稱為拉格朗日函數(shù) 原理常用來建立連續(xù)的質(zhì)量分布和連續(xù)剛度分布的系統(tǒng)（彈性系統(tǒng)）的動(dòng)力學(xué)模型。 例2-7 彈性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模所謂的彈性系統(tǒng)是指具有連續(xù)的質(zhì)量分布和連續(xù)剛度分布的系統(tǒng)，下面通過梁的橫向振動(dòng)來說明彈性體的建模方法。設(shè)梁的長度為，截面的彎曲剛度為常數(shù)，單位長度質(zhì)量為，在截面形心處橫向位移為，忽略剪切變形，則梁的動(dòng)能表達(dá)式為：勢能為：，拉格朗日函數(shù)為： 當(dāng)系統(tǒng)無外力作用時(shí)，根據(jù)原理有：當(dāng)為常數(shù)時(shí)，則上式積分為：根據(jù)原理，滿足時(shí)間端點(diǎn)的條件當(dāng)： 和 時(shí)有： 于是我們可以得到：根據(jù)的任意性，滿足上式條件為：第一式為梁的自由振動(dòng)方程，第二式是變分問

18、題中自然滿足的邊界條件?？梢允褂媚B(tài)分析方法，將偏微分方程化為常微分方程，然后就可以利用前面的方法來建立數(shù)學(xué)模型。當(dāng)梁上作用有分布載荷力和分布力偶時(shí)，如下圖：則，系統(tǒng)的虛功可以表示為：其中： 這里第一項(xiàng)積分為零，代入原理中有可以得到：如在梁上某點(diǎn)處作用集中力和點(diǎn)處作用有集中力偶矩時(shí)，這時(shí)，其右邊的廣義力可以表示為：，和 并注意到：在一般情況下，一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性可以用一個(gè)高階微分方程或微分方程組來表示； （2-1）其中： y是系統(tǒng)的輸出，u表示系統(tǒng)的輸入量，如果引進(jìn)微分算子 則有： 即： 一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型建立起來以后，還需要對該系統(tǒng)響應(yīng)規(guī)律進(jìn)行分析，以便揭示真正的運(yùn)動(dòng)規(guī)律?；蛘咄ㄟ^

19、建立仿真模型來揭示運(yùn)動(dòng)規(guī)律。§24 一維彈性體有限元建模有限元的基本思想是先把結(jié)構(gòu)分割成個(gè)不同單元，分別對單元和節(jié)點(diǎn)編號(hào)1,2.。單元?jiǎng)澐衷郊?xì)，計(jì)算精度越高，但是計(jì)算工作量也越大，因此，要根據(jù)具體情況合理的劃分單元數(shù)，本節(jié)將介紹一維梁單元有限元建模方法。 梁單元質(zhì)量矩陣與剛度矩陣設(shè)梁單元中的第個(gè)單元的坐標(biāo)（局部坐標(biāo)），單元長度為，該單元有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，而每個(gè)節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)廣義坐標(biāo)，這樣一個(gè)梁單元共有4個(gè)廣義坐標(biāo)，分別的左界面的位移與轉(zhuǎn)角和右截面的位移和轉(zhuǎn)角，有：；，設(shè)單元的位移模式為將單元邊界條件帶入上式，可得：整理后可得：其中：， ， 設(shè)梁的單位長度質(zhì)量為，系統(tǒng)的動(dòng)能為其中：可得單元質(zhì)量矩

20、陣為： 系統(tǒng)的勢能為；其中：可得單元?jiǎng)偠染仃嚍椋?將動(dòng)能和勢能帶入大拉格朗日方程中，即： ；其中的廣義力可以利用虛功原理導(dǎo)出。設(shè)作用在單元體上的外力為 ，其虛功表達(dá)式為：其中： 這樣就可得到系統(tǒng)的單元微分方程為： 這里：2.5.2 總體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)微分方程： 以上僅僅給出了單元系統(tǒng)的微分方程，通過個(gè)單元的對接條件，我們可以得到總體坐標(biāo)下的動(dòng)力學(xué)微分方程，為了得到總體坐標(biāo)系中的動(dòng)力學(xué)方程，先引入總體節(jié)點(diǎn)位移向量：對于兩單元，有：個(gè)位移分量，與單元節(jié)點(diǎn)位移向量，設(shè)局部位移向量與總體位移向量的關(guān)系為： , 則系統(tǒng)的總動(dòng)能為： 得: ， 其中：同理：， 其中： 激勵(lì)列陣為 其中： 這樣可以得到總體坐標(biāo)下

21、的動(dòng)力學(xué)方程 如果結(jié)構(gòu)有的零邊界條件，可以得到降階方程。例2-9 試用有限元法建立如下簡支梁的動(dòng)力學(xué)方程 解，將該梁化為兩個(gè)相同單元共有三個(gè)節(jié)點(diǎn)6個(gè)自由度，總體位移向量為：，單元質(zhì)量和剛度矩陣如前，單元的與總體坐標(biāo)之間的變換關(guān)系為：，容易得到：易得：， 廣義力：根據(jù)以上，可以得到總體坐標(biāo)下的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣以及激振力列陣由于總體坐標(biāo)中的邊界條件中有，則劃去1、5行和1、5列，最后得到縮減的動(dòng)力方程§25 SIMULINK高級(jí)積分器的仿真模型建立 積分器是仿真過程中最常使用的重要模型之一，在前面使用積分器模型中，積分的初始值僅在初時(shí)條件一攔（Initial Condition）設(shè)計(jì)即

22、可，但是在復(fù)雜問題中往往需要在運(yùn)行中不斷改變積分初始值，這就需要應(yīng)用高級(jí)積分器，高級(jí)積分器有多個(gè)端口。1 定義外部初始條件（external）在積分器的 Initial condition sources 有兩種選擇（internal external ） ，如果選擇internal ,則直接可以在 initial condition 參數(shù)中設(shè)置初始值，但有時(shí)候在動(dòng)態(tài)仿真過程中需要改變初始條件，這樣就出現(xiàn)了外部條件源的設(shè)定方法，同時(shí)積分器的形狀發(fā)生改變。如右圖所示。2 限制積分器（飽和輸出）為了防止超出指定的范圍，可以選擇 limit output 復(fù)選框并在下面的框中填寫范圍，同時(shí)積分器的形

23、狀發(fā)生改變。如右圖所示。3 重置積分器在積分器的屬性窗口當(dāng)中有一個(gè) （external reset）參數(shù)選擇，分別是： Rising （當(dāng)重置信號(hào)有上升沿時(shí)觸發(fā)狀態(tài)重置）簡稱上升沿。falling （當(dāng)重置信號(hào)有下降沿時(shí)觸發(fā)狀態(tài)重置）簡稱下降沿。Either （任何重置信號(hào)的上升或下降時(shí)觸發(fā)狀態(tài)重置）簡稱雙邊沿。Level (當(dāng)重置信號(hào)為非零時(shí)，觸發(fā)并保持輸出信號(hào)為初始條件)4 狀態(tài)端口 狀態(tài)端口的特點(diǎn)是：如果狀態(tài)端口在當(dāng)前時(shí)間步上重置，那么狀態(tài)端口的輸出值是積分器還沒有被重置時(shí)的積分器輸出端口的值，也就是說，狀態(tài)端口的輸出值比積分器的輸出端口早一個(gè)時(shí)間步。正是這樣的一個(gè)特點(diǎn)，往往可以把重置前

24、的積分值作為以后的積分的初始條件。例 2-8 有一個(gè)彈性球，其恢復(fù)系數(shù)為k=0.8，（力學(xué)中的定義是碰撞結(jié)束和開始兩個(gè)時(shí)刻的速度比稱為恢復(fù)系數(shù):),距離地面高度為 的地方以初速度垂直向上拋出，并分析彈性球的在靜止前的運(yùn)動(dòng)規(guī)律并繪制隨時(shí)間變化的軌跡曲線。解： 彈性小球在第一次接地前的動(dòng)力學(xué)方程為 ： ， 速度為： 在第一次碰撞后，彈性小球在以后的每次離開地面的初速度應(yīng)有所變化，但動(dòng)力學(xué)方程形式不變。 其中為恢復(fù)系數(shù)這樣一直循環(huán)下去直到小球停止。 由于涉及到了初始條件的變化，則使用重置積分器模型，建立仿真框圖如下，其中的積分器要設(shè)置成外部觸發(fā)，顯示端口，使用下降沿觸發(fā)方式，其中的狀態(tài)端口的特點(diǎn)是輸出值比積分器的輸出端口早一個(gè)時(shí)間步長。第二章 習(xí)題1m2m2習(xí)題2-1 建立如下汽車懸架的力學(xué)模型，其中，路基不平度函數(shù)為 ，車輛速度，試建立該系統(tǒng)的simulink仿真模型。習(xí)題2-2 試建立如下兩