北京市海淀區(qū)高三二模數(shù)學(xué)理試題及答案

1、海淀區(qū)高三年級(jí)第二學(xué)期期末練習(xí)數(shù)學(xué)（理科） 2017.5本試卷共4頁，150分?？荚嚂r(shí)長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1.若集合，或，則 A. B. C. D. 2.二項(xiàng)式的展開式的第二項(xiàng)是 A. B. C.D. 3.已知實(shí)數(shù)滿足則的最小值為 A. B. C. D. 4.圓與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為 A4 B3 C2 D.05.已知為無窮等比數(shù)列，且公比，記為的前項(xiàng)和，則下面結(jié)論正確的是A. B. C.是遞增數(shù)列 D. 存在最小值6.已知是上的

2、奇函數(shù)，則“”是“”的A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件7. 現(xiàn)有編號(hào)為、的三個(gè)三棱錐（底面水平放置），俯視圖分別為圖1、圖2、圖3，則至少存在一個(gè)側(cè)面與此底面互相垂直的三棱錐的所有編號(hào)是A. B. C. D.8.已知兩個(gè)半徑不等的圓盤疊放在一起（有一軸穿過它們的圓心），兩圓盤上分別有互相垂直的兩條直徑將其分為四個(gè)區(qū)域，小圓盤上所寫的實(shí)數(shù)分別記為，大圓盤上所寫的實(shí)數(shù)分別記為,如圖所示.將小圓盤逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)次，每次轉(zhuǎn)動(dòng)，記為轉(zhuǎn)動(dòng)次后各區(qū)域內(nèi)兩數(shù)乘積之和，例如. 若，則以下結(jié)論正確的是A.中至少有一個(gè)為正數(shù) B.中至少有一個(gè)為負(fù)數(shù)C.中至多有

3、一個(gè)為正數(shù) D.中至多有一個(gè)為負(fù)數(shù)二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。9.在極坐標(biāo)系中，極點(diǎn)到直線的距離為_. 10.已知復(fù)數(shù)，則_.11.在中，則_.12.已知函數(shù)，則_（填“”或“”）；在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則正整數(shù)_.13.在四邊形中，. 若，則=_.14.已知橢圓G：的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為和，點(diǎn)P在橢圓G上，且滿足. 當(dāng)變化時(shí)，給出下列三個(gè)命題：點(diǎn)P的軌跡關(guān)于軸對(duì)稱；存在使得橢圓上滿足條件的點(diǎn)僅有兩個(gè)；的最小值為，其中，所有正確命題的序號(hào)是_三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。15.（本小題滿分13分）已知函數(shù).（）求的最小正周期和

4、對(duì)稱軸的方程；（）求在區(qū)間上的最小值.16.（本小題滿分13分）為了響應(yīng)教育部頒布的關(guān)于推進(jìn)中小學(xué)生研學(xué)旅行的意見,某校計(jì)劃開設(shè)八門研學(xué)旅行課程，并對(duì)全校學(xué)生的選擇意向進(jìn)行調(diào)查(調(diào)查要求全員參與，每個(gè)學(xué)生必須從八門課程中選出唯一一門課程).本次調(diào)查結(jié)果整理成條形圖如下.上圖中，已知課程為人文類課程，課程為自然科學(xué)類課程.為進(jìn)一步研究學(xué)生選課意向，結(jié)合上面圖表，采取分層抽樣方法從全校抽取的學(xué)生作為研究樣本組(以下簡稱“組M”).()在“組M”中，選擇人文類課程和自然科學(xué)類課程的人數(shù)各有多少？()為參加某地舉辦的自然科學(xué)營活動(dòng)，從“組M”所有選擇自然科學(xué)類課程的同學(xué)中隨機(jī)抽取4名同學(xué)前往，其中選擇

5、課程F或課程H的同學(xué)參加本次活動(dòng)，費(fèi)用為每人1500元，選擇課程G的同學(xué)參加，費(fèi)用為每人2000元.()設(shè)隨機(jī)變量表示選出的4名同學(xué)中選擇課程的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列；()設(shè)隨機(jī)變量表示選出的4名同學(xué)參加科學(xué)營的費(fèi)用總和，求隨機(jī)變量的期望.17.（本小題滿分14分）如圖，三棱錐，側(cè)棱，底面三角形為正三角形，邊長為，頂點(diǎn)在平面上的射影為，有，且.（）求證：平面；（）求二面角的余弦值；（）線段上是否存在點(diǎn)使得平面，如果存在，求的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.18.（本小題滿分14分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)和直線l：的距離相等.（）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡E的方程；（）已知不與垂直的直線與曲線E有唯一公共點(diǎn)A，且與直線的

6、交點(diǎn)為，以AP為直徑作圓.判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論19.（本小題滿分13分）已知函數(shù).（）若曲線在處的切線與直線垂直，求的值；（）當(dāng)時(shí)，求證：存在實(shí)數(shù)使.20.（本小題滿分13分）對(duì)于無窮數(shù)列，記，若數(shù)列滿足：“存在，使得只要（且），必有”，則稱數(shù)列具有性質(zhì).（）若數(shù)列滿足判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)？是否具有性質(zhì)？（）求證：“是有限集”是“數(shù)列具有性質(zhì)”的必要不充分條件；（）已知是各項(xiàng)為正整數(shù)的數(shù)列，且既具有性質(zhì)，又具有性質(zhì)，求證：存在整數(shù)，使得是等差數(shù)列.海淀區(qū)高三年級(jí)第二學(xué)期期末練習(xí)參考答案數(shù)學(xué)（理科） 2017.5一、選擇題（本大題共8小題,每小題5分,共40分）題號(hào)1234567

7、8答案CDBDCABA二、填空題（本大題共6小題,每小題5分,有兩空的小題，第一空3分，第二空2分，共30分）911011. 12. 1314三、解答題(本大題共6小題,共80分)15.（本小題滿分13分）解：（）-所以的最小正周期，因?yàn)榈膶?duì)稱軸方程為，令，得.所以的對(duì)稱軸方程為.或者：的對(duì)稱軸方程為和，即和.（）因?yàn)?，所以，所以，所以?dāng)即時(shí)，在區(qū)間上的最小值為.16.（本小題滿分13分）解：()選擇人文類課程的人數(shù)為(100+200+400+200+300)1%=12(人)；選擇自然科學(xué)類課程的人數(shù)為(300+200+300)1%=8(人).()()依題意，隨機(jī)變量可取0，1，2.；故隨機(jī)變

8、量的分布列為X012pY600065007000p ()法1：依題意，隨機(jī)變量=2000+1500=6000+500，所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為E()=6000+500E()=6000+500()=6500.()法2：依題意，隨機(jī)變量可取6000，6500，7000.所以隨機(jī)變量的分布列如右表，所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為E()=6500.17.（本小題滿分14分）解：（）因?yàn)椋?，所以，所?因?yàn)闉檎切危?，又由已知可知為平面四邊形，所?因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（）由點(diǎn)在平面上的射影為可得平面，所以，.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則由已知可知，.平面的法向量，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則由可得

9、令，則，所以平面的一個(gè)法向量，所以二面角的余弦值為.（）由（）可得，因?yàn)?，所以與不垂直，所以在線段上不存在點(diǎn)使得平面.18.（本小題滿分14分）解：（）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由拋物線定義可知點(diǎn)的軌跡E是以為焦點(diǎn)，直線l：為準(zhǔn)線的拋物線，所以軌跡E的方程為.（）法1：由題意可設(shè)直線，由可得（*），因?yàn)橹本€與曲線E有唯一公共點(diǎn)A，所以，即.所以（*）可化簡為，所以，令得，因?yàn)?，所以所以，所以點(diǎn)在以PA為直徑的圓上.法2：依題意可設(shè)直線，由可得（*），因?yàn)橹本€與曲線E有唯一公共點(diǎn)A，且與直線的交點(diǎn)為，所以即所以（*）可化簡為，所以.令得，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)在以PA為直徑的圓上.19.（本小題滿分13分）解：（），

10、因?yàn)榍€在處的切線與直線垂直，所以切線的斜率為2，所以，所以.（）法1：當(dāng)時(shí)，顯然有，即存在實(shí)數(shù)使；當(dāng)時(shí)，由可得，所以在時(shí)，所以函數(shù)在上遞減；時(shí)，所以函數(shù)在上遞增，所以是的極小值.由函數(shù)可得，由可得，所以，綜上，若，存在實(shí)數(shù)使.（）法2：當(dāng)時(shí)，顯然有，即存在實(shí)數(shù)使；當(dāng)時(shí)，由可得，所以在時(shí)，所以函數(shù)在上遞減；時(shí)，所以函數(shù)在上遞增.所以是的極小值.設(shè)，則,令，得+0-極大值所以當(dāng)時(shí)，所以，綜上，若，存在實(shí)數(shù)使.20.（本小題滿分13分）解：（）數(shù)列不具有性質(zhì)；具有性質(zhì).（）（不充分性）對(duì)于周期數(shù)列，是有限集，但是由于，所以不具有性質(zhì)；（必要性）因?yàn)閿?shù)列具有性質(zhì)，所以一定存在一組最小的且，滿足，即。由性質(zhì)的含義可得所以數(shù)列中，從第k項(xiàng)開始的各項(xiàng)呈現(xiàn)周期性規(guī)律：為一個(gè)周期中的各項(xiàng)，所以數(shù)列中最多有個(gè)不同的項(xiàng)，所以最多有個(gè)元素，即是有