凸函數(shù)的判別和應(yīng)用

1、畢 業(yè) 論 文（設(shè)計） 論文（設(shè)計）題目： 凸函數(shù)的判別和應(yīng)用 系 別： 數(shù)學(xué)系 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué) 號： 2004104509 姓 名： 林 慶 指導(dǎo)教師： 婁祖安 時 間： 2008年5月25日 河 池 學(xué) 院畢 業(yè) 論 文（設(shè) 計） 開 題 報 告系別: 數(shù)學(xué)系 專業(yè):數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)論文題目凸函數(shù)的判別和應(yīng)用學(xué)生姓名林慶學(xué) 號2004104509選題意義凸函數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的一個重要概念，它在優(yōu)化理論，判定函數(shù)極值，研究函數(shù)的圖象和證明不等式等方面都有廣泛的應(yīng)用。在初等數(shù)學(xué)的證明里，有許多不等式的證明如果用初等數(shù)學(xué)的方法去解決會相當(dāng)?shù)睦щy，有的甚至不能解決，但用凸函數(shù)的知識去證明

2、可使問題輕松地解決。所以研究凸函數(shù)有一定的實用價值。研究綜述(前人的研究現(xiàn)狀及進(jìn)展情況)凸函數(shù)理論的奠基工作可以追溯到20世紀(jì)初前后 Hlder,Jensen和 Minkowski的工作，但引起人們廣泛重視的工作則是20世紀(jì)4050年代 Von Neumann,Dantxig,Kuhn和Tucker等人關(guān)于對策論和數(shù)學(xué)規(guī)化的研究。此后，人們對凸函數(shù)進(jìn)行了大量深入細(xì)致的研究，60年代中期產(chǎn)生了凸分析，凸函數(shù)的概念被按多種途徑進(jìn)行推廣，提出了許多廣義凸性的概念。其中影響較大，應(yīng)用較廣的有擬凸（嚴(yán)格擬凸，強(qiáng)擬凸）函數(shù)，（嚴(yán)格）偽凸函數(shù)等。此后，鑒于凸性和廣義凸性在最優(yōu)化中的應(yīng)用，出現(xiàn)了一致不變凸函數(shù)

3、，嚴(yán)格（半嚴(yán)格）不變凸函數(shù)，不變預(yù)凸函數(shù)等。目前，“非凸分析”或“非光滑分析”正在興起并成為最優(yōu)化理論的一個活躍方向。研究的主要內(nèi)容 以教學(xué)方向為主，從凸函數(shù)的定義出發(fā)，研究凸函數(shù)的判別方法。然后應(yīng)用凸函數(shù)的性質(zhì)去證明一些重要的不等式，如詹森不等式，柯西不等式等。最后研究凸函數(shù)在初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用。擬采用的研究方法、步驟研究方法：1文獻(xiàn)資料查閱法；2討論交流法；3網(wǎng)絡(luò)查詢法研究步驟：1擬定論文題目；2收集文獻(xiàn)資料；3擬定論文提綱；4填寫畢業(yè)論文開題報告；5撰寫論文初稿；6審批論文初稿;7定稿打印研究工作進(jìn)度安排（1）1月份，聽畢業(yè)論文撰寫指導(dǎo)講座；（2）1月上旬-2月下旬，選定畢業(yè)

4、論文題目；（3）2月下旬-3月上旬，收集整理相關(guān)資料及論文提綱；（4）3月上旬-3月中旬，填寫畢業(yè)論文開題報告；（5）3月中旬-4月上旬，撰寫論文初稿；（6）4月上旬-4月下旬，審批論文初稿；（7）4月下旬-6月上旬，修改、定稿打印、論文答辯參考文獻(xiàn)目錄華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析（上冊）第三版M北京：高等教育出版社，2001裴禮文數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法M北京：高等教育出版社，1993李遠(yuǎn)新，劉長春凸函數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用J遼寧師專學(xué)報，1999，(2) 張雄，李得虎數(shù)學(xué)方法論與解題研究M北京：高等教育出版社，2003 賈鳳山走向高考·數(shù)學(xué)M北京：人民日報出版社，2006 吉米多

5、維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解（二）M濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，1980 朱志嘉判定凸函數(shù)的幾個充分條件及其應(yīng)用J中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），1985，（02）指導(dǎo)教師意見選題符合要求、進(jìn)度安排合理、同意開題.簽字： 年 月 日教研室主任意見 準(zhǔn)備充分，同意開題. 簽字： 年 月 日畢業(yè)論文（設(shè)計）成績評定表一學(xué)號：2004104509 姓名：林慶 年級：2004級 專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師意見：林慶同學(xué)所寫論文凸函數(shù)的判別和應(yīng)用，選題有意義，文中主要給出了凸函數(shù)的三個定義以及用意義、定理和幾何意義判別函數(shù)的凸函數(shù)的三種方法，然后應(yīng)用凸函數(shù)的性質(zhì)證明幾個重要而又常用的不等式，并給出凸函數(shù)在高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)

6、中的一些應(yīng)用.這進(jìn)對一步認(rèn)識和理解凸函數(shù)有一定的幫助和實用價值.該論文選題明確，并有實例佐證.每給出一個例子，都能用自己的理解和所學(xué)數(shù)學(xué)知識進(jìn)行比較恰當(dāng)?shù)姆治?特別是在問題解決中對凸函數(shù)的選取做了一些嘗試.對某些例子能歸納出一般的情形.該論文概念明晰，條理清楚，語言順暢，推理較嚴(yán)謹(jǐn)，有總論、有分論，文章結(jié)構(gòu)合理，符合畢業(yè)論文的規(guī)范要求，達(dá)到學(xué)士學(xué)位論文的水平，是一篇較好的畢業(yè)論文. 初評成績： 簽字： 年 月 日畢業(yè)論文（設(shè)計）答辯記錄學(xué)號：2004104509 姓名：林慶 年級：2004級 專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)【論文自述】：給出凸函數(shù)的三個定義和三種凸函數(shù)的判別方法以及凸函數(shù)的應(yīng)用其中三種凸

7、函數(shù)的判別方法中利用了三個定理；應(yīng)用分為兩個部分，第一是用凸函數(shù)去證明三個重要的常用不等式，如Jensen不等式,H lder不等式和Cauchy不等式；第二是通過七個例子說明凸函數(shù)在初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用論文的亮點：在例中，利用凸函數(shù)的判別方法中的定理通過限制數(shù)字的大小和變形得出兩個結(jié)論，用以解決比較數(shù)的大小的三種類型【答辯】：1、問：判別函數(shù)凸性的前提條件是什么？答：首先要求判別的函數(shù)是連續(xù)的函數(shù)，另外就是要給出函數(shù)定義域上具體的某個區(qū)間因為同一個函數(shù)在不同的區(qū)間上可以具不同的凸性，如在上是凹函數(shù)在上是凸函數(shù)2、問：就論文第一頁的定義說明凸函數(shù)的幾何意義答：凸函數(shù)的定義為，（0，1

8、），在定義域上取兩點，那么當(dāng)時，表示點，當(dāng)時，表示點，當(dāng)取遍中的數(shù)時，表示點到之間的線段對應(yīng)的函數(shù)值為區(qū)間上曲線上的弧同樣，表示點到點之間的連線段（弦），那么就表示曲線上兩點和的連線段都在的上方3、問：是不是每個函數(shù)都具有凸性？答：不一定，要對具體的函數(shù)進(jìn)行分析由定義知，只要滿足對，都有這樣的函數(shù)都具有凸性如在上是凹函數(shù)在上是凸函數(shù)但在上沒有凸性可言簽字： 年 月 日畢業(yè)論文（設(shè)計）成績評定表二學(xué)號：2004104509 姓名：林慶 年級：2004級 專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)答辯小組意見： 林慶同學(xué)在論文答辯過程中，回答問題較準(zhǔn)確，流暢，概念清晰，反映出該同學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，論文寫作態(tài)度認(rèn)真，準(zhǔn)

9、備較充分，并能了解新問題和解決問題的方法，能充分利用所學(xué)知識解決問題.該同學(xué)所寫論文結(jié)果正確，有自己的東西，有一定的價值，可續(xù)性較強(qiáng)，達(dá)到學(xué)士學(xué)位論文的要求.成績： 簽字： 年 月 日系答辯委員會意見：總評成績： 簽字：年 月 日凸函數(shù)的判別和應(yīng)用學(xué)生：林 慶河池學(xué)院數(shù)學(xué)系， 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 2004級4班， 廣西宜州 546300指導(dǎo)教師：婁祖安摘 要 有的甚至不在初等數(shù)學(xué)的證明里，有許多不等式的證明如果用初等數(shù)學(xué)的方法去解決會相當(dāng)?shù)睦щy，能解決由于凸函數(shù)的定義本身就是一個不等式，再就是凸函數(shù)的性質(zhì)方便實用，對不等式的證明起到非常重要的作用鑒于此，本文主要給出了凸函數(shù)的三個定義及其三種判

10、別方法，然后應(yīng)用凸函數(shù)的性質(zhì)證明幾個重要的常用不等式，如Jensen不等式，Hlder不等式和Cauchy不等式，用以解決一些不等式的證明，最后給出凸函數(shù)在高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用關(guān)鍵詞 凸函數(shù)；不等式；判別；證明；應(yīng)用凸函數(shù)是一類非常特殊的函數(shù)，它在最優(yōu)化理論，判別函數(shù)極值，研究圖象和證明不等式等方面都有廣泛的應(yīng)用這里給出凸函數(shù)的三個定義及三種判別方法，并應(yīng)用凸函數(shù)的性質(zhì)證明幾個重要的常用不等式然后從教學(xué)的角度出發(fā)，給出凸函數(shù)在高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用1 凸函數(shù)的定義由于凸函數(shù)的重要性，許多學(xué)者對此進(jìn)行過深入的研究，并由此得出凸函數(shù)的多種不同定義這里給出凸函數(shù)的三個常見定義定義1

11、 設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對上的任意兩點，和任意實數(shù)（0，1）總有 ， （1）則稱為上的凸函數(shù)反之，如果總有 （2） 則稱為上的凹函數(shù)如果（1）、（2）中的不等式改為嚴(yán)格不等式，則相應(yīng)的函數(shù)稱為嚴(yán)格凸函數(shù)和嚴(yán)格凹函數(shù)定義2 ()在區(qū)間上有定義若對 ， ，有 ()()+() 則稱為上的凸函數(shù)定義3 在區(qū)間上有定義，當(dāng)且僅當(dāng)曲線的切線恒保持在曲線以下，則稱為上的凸函數(shù)由于凸函數(shù)與凹函數(shù)是對偶的概念，前一個有什么結(jié)論，后一個亦有相應(yīng)的結(jié)論所以只需對函數(shù)判別凹凸，即可運(yùn)用凸函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)在判別函數(shù)凸性和解題過程中,可以根據(jù)具體的函數(shù)和題目選擇合適的定義2 凸函數(shù)的判別方法在解題的過程中，我們常常會碰

12、到一些不等式的證明，而這些不等式的證明往往又與凸函數(shù)有關(guān)要想運(yùn)用凸函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，首先就要判別該函數(shù)的凸性所以掌握凸函數(shù)的一些基本判別方法，有利于提高解題速度下面先從凸函數(shù)的定義出發(fā)，探討判別凸函數(shù)的幾種基本方法21 利用定義判別函數(shù)的凸性有些基本的初等函數(shù)可以直接用定義去判別它的凸性例如要判別的凸性由定義1，對有 ，即 所以為上的凸函數(shù)22 利用定理判別函數(shù)的凸性 下面給出判別函數(shù)凸性的三個定理定理1 為上的凸函數(shù)的充要條件是：對于上的任意三點，總有 這是斜率表達(dá)式該定理的幾何意義如圖1所示：如果用表示曲線上的弦，那么它的幾何意義即：例如判別函數(shù)的凸性，在其定義域上，可取，則，從幾何意義（如

13、圖2）上明顯有所以為上的凸函數(shù)定理2 若在上滿足： (， ， 且)，則稱為上的凸函數(shù)注 此定理即是定理1中前一個不等式 兩邊同乘，并移項得 ，即 例如判別函數(shù)的凸性，則可在其定義域上任取，且，由該定理得 即 ，所以為上的凸函數(shù)定理3 設(shè)為區(qū)間上的二階可導(dǎo)函數(shù)，則 為上的凸函數(shù)的充要條件是 ， 例如 判別的凸性 分析 由該定理求的二階導(dǎo)數(shù)得 ，由于分母已經(jīng)大于，所以該函數(shù)的凸性由分子決定當(dāng)分子，即 時，有則為上的凸函數(shù)；從而在區(qū)間上為凹函數(shù)23 利用幾何意義判別函數(shù)的凸性在凸函數(shù)的定義1中，取 ，這表示軸上由點到點的線段，而，這表示由點到點，的線段（如圖3所示）于是定義1表示：凸函數(shù)圖形上任意一

14、段弧的所有點在該弧所對應(yīng)的弦下面，至多在該弦上而凹函數(shù)的幾何意義為，凹函數(shù)圖形上任意一段弧的所有點都在該弧所對應(yīng)的弦上面，至多在該弦上（如圖4所示）這樣利用函數(shù)的幾何意義，做出該函數(shù)某定義區(qū)間內(nèi)的圖象，假如向下凸，便是凸函數(shù)，如果向上凸，便是凹函數(shù)如此對一些基本初等函數(shù)的凸性便可快速判別了如：（1），為（0，）上的凹函數(shù)（2），為（0，）上的凹函數(shù)（3）（且），為上的凸函數(shù) （4），當(dāng)時，為上的凸函數(shù)；當(dāng)時，為上的凸函數(shù)（5），當(dāng)，為上的凹函數(shù)；當(dāng)，為上的凸函數(shù)（6） (，)，為上的凹函數(shù)以上判別凸函數(shù)的三種方法中，方法2中的定理3由于形式簡單，應(yīng)用方便，成為判別函數(shù)凸性的首選方法但在解題過程

15、中，如對有些既難以求導(dǎo)又難以畫出圖象的函數(shù)，運(yùn)用其它方法倒是不錯的選擇所以靈活選用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ隳芴岣呓忸}的速度 凸函數(shù)的應(yīng)用由于凸函數(shù)有許多重要的性質(zhì)，所以它的應(yīng)用極為廣泛其中在不等式的證明中，如能巧妙地應(yīng)用凸函數(shù)的定義和性質(zhì)，便能收到意想不到的效果這里對凸函數(shù)的應(yīng)用主要是用定義去證明詹森(Jensen)不等式，然后用詹森不等式去證明赫爾德(Hlder)不等式，進(jìn)而得出柯西(Cauchy)不等式最后應(yīng)用這些性質(zhì)去證明一些常見的不等式，并通過例子說明凸函數(shù)在高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)里的一些應(yīng)用31 用凸函數(shù)證明Jensen不等式Jensen不等式的形式：若為上的凸函數(shù)，則對任意，有證明 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納

16、法，當(dāng)時，由定義1知命題成立；設(shè)時，命題成立，即對及，都有 現(xiàn)設(shè)及 ， ，令， ， 則，由數(shù)學(xué)歸納法假設(shè)可推得即當(dāng)時，命題也成立這就證明了對任何正整數(shù)，Jensen不等式成立我們看到在以上的證明過程中，第一個不等號的上一步將整體看成凸函數(shù)定義1中的，看成，利用凸函數(shù)定義1得到第一個不等號，這是利用凸函數(shù)證明Jensen不等式最重要的一步第二個不等號是根據(jù)歸納中的假設(shè)得到的，然后代換，整理便完成了證明這里最巧妙的是令，這是完成證明的關(guān)鍵所在32用凸函數(shù)證明Hlder不等式Hlder不等式的形式:設(shè)，有，其中，分析 先將Hlder不等式兩邊次方得，從這個不等式聯(lián)想到要找的凸函數(shù)為，而這個不等式的形

17、式與Jensen不等式的形式相似難點是不容易看出該不等式的是什么而從問題的已知條件知，然后從Jensen不等式的證明過程中的巧妙設(shè)法得到啟發(fā)，將上面的不等式再變形為，這樣到此不等式的左邊已經(jīng)出現(xiàn)了，為了消去中的次方，可以令，從而不等式的左邊就是最后經(jīng)過整理便可完成Hlder不等式的證明證明 令，因為，由凸函數(shù)判別定理3知在上是凸函數(shù)由Jensen不等式，得，今設(shè)為非負(fù)實數(shù)且，在上述表達(dá)式中以代替，得到 由已知知，令，不妨設(shè)，代入上式便得Hlder不等式： 33 用凸函數(shù)證明Cauchy不等式Cauchy不等式的形式：若，則，其中等號當(dāng)且僅當(dāng)與成比例時成立分析 Cauchy不等式最簡單的證法是構(gòu)

18、造一個非負(fù)的二次函數(shù)，由其判別式不大于零獲證即，因為判別式 ，即而Cauchy不等式的形式和Hlder 不等式的形式相似，由Hlder不等式的證明過程得到啟發(fā)，可設(shè)，根據(jù)凸函數(shù)的性質(zhì)去證明證明 設(shè) ，因為，根據(jù)定理3知 是上的凸函數(shù)，由Jensen不等式得 令， 且，代入上式得，化簡得 在高等代數(shù)和初等數(shù)學(xué)中，都會遇到許多不等式證明的問題，下面通過一些例子說明凸函數(shù)的定義和以上三個重要不等式在證明一些特殊不等式中的應(yīng)用在證明某些不等式的過程中，重要的是選取合適的凸函數(shù)，凸函數(shù)選好了，證明也就比較容易地得到解決了例1 證明（1）對任意實數(shù)有； （2）（）分析 觀察（1）中的不等式的形式，很容易聯(lián)

19、想到指數(shù)函數(shù)，而（2）中的不等式，也容易聯(lián)想到冪函數(shù)，再由凸函數(shù)的判別方法2中的定理3，易知函數(shù)和都是某定義上的凸函數(shù)根據(jù)相關(guān)定義及定理，問題得到解決證明 （1）令，因為，所以由定理3知為上的凸函數(shù)取，由凸函數(shù)的定義得，即 （2）令，由知為上的凸函數(shù)取，對于有，即 例2 證明 設(shè)，有 分析 觀察不等式，不容易直接找到合適的凸函數(shù)，如取或者不等式兩邊次方后有,這樣形如的函數(shù)都不合適因此，要對不等式進(jìn)行一定的變形不妨對不等式兩邊取對數(shù)，則有，再運(yùn)用Jensen不等式知道這是可行的由于是上的凹函數(shù)，所以取，則就是上的凸函數(shù)，問題便迎刃而解證明 令，由于，所以為上的凸函數(shù)由Jensen不等式知， ，即

20、 所以 同理有：，即 所以 對于最后一個不等式，由Cauchy不等式，取，由得 ，再兩邊乘上，然后開平方便得綜上有這是關(guān)于調(diào)和平均，幾何平均，算術(shù)平均和平方平均的不等式下面看一個特例證明: 分析 應(yīng)用 有，即 =取即得證例3 在中，求證： ；證明 令，則，所以是上的凸函數(shù)，取，由Jensen不等式得，即 所以 令u在上是凸函數(shù)，所以是上的凸函數(shù)，取，由Jensen不等式得：，即 例4 設(shè)都是實數(shù)，且滿足條件：，試確定的取值范圍；已知求的取值范圍分析 這兩個問題都是求取值范圍的問題，觀察第一個問題，看到有，和可想到設(shè)函數(shù)為要求的取值范圍，應(yīng)該用凸函數(shù)的性質(zhì)，可取，平方后會出現(xiàn)再應(yīng)用已知條件，可列

21、出有關(guān)的方程，進(jìn)而可求e的取值范圍用同樣的方法思考問題（2）就容易多了解 設(shè)，則是R上的凸函數(shù)，?。ǎ蒍ensen不等式得 ， 又 ，從而 ， 解此不等式得的取值范圍為： 由例2平方平均不等式知：，從而 令，則，解此不等式得：，所以的取值范圍是：在中學(xué)數(shù)學(xué)證明不等式中，基本不等式應(yīng)用較多，這是例2的重要不等式取時的情形例5 比較與+的大小分析 由于和都開3次方，考慮把2也寫成開3次方的形式，即 =，而，開次方有所以想到用函數(shù)的凸性來求解此題證明 因為=，令，由凸函數(shù)判別方法3之（6）知為上的凹函數(shù)，所以 取，即得 注 此問題可歸納為：均為正數(shù)，且，有 證明過程如下：設(shè)，則由凸函數(shù)判別方法3

22、之（6）知為上的凹函數(shù)，則由凸函數(shù)的定義直接得例6 （1）比較與的大小； （2）比較與的大小分析 對這類問題，可由凸函數(shù)的判別方法2的定理1來解設(shè)凸函數(shù)的定義域上四點，滿足：且，應(yīng)用，則有因，所以（簡括為“兩端大于中間”）；假如是凹函數(shù)，則只需改變不等號的方向，有（簡括為“兩端小于中間”）有了這兩個結(jié)論，對這兩個問題就比較容易解決了解 設(shè) 為凹函數(shù)，則馬上有： 設(shè) 為凸函數(shù)，則也有：注 對于正數(shù)滿足且，則有以下不等式成立： ； ；例7 已知為ABC內(nèi)的一點，點到ABC的三邊距離分別為，求證：（第屆試題）分析 要證明的不等式 是面積與邊的關(guān)系，可考慮把面積變成邊的關(guān)系，由題意可把大的三角形變成三

23、個小的三角形，而，分別是三個小三角形的高，所以，則所證不等式變?yōu)椋?，這形式和Cauchy不等式相似，可考慮用Cauchy不等式去證明證明 因為，則所證不等式變?yōu)橛蒀auchy不等式：，?。?，則即知命題不等式成立在這個例題的證明過程中，雖然沒有直接用到凸函數(shù)的知識，但在前面我們已經(jīng)用凸函數(shù)的知識去證明了Cauchy不等式，所以在這里給出Cauchy不等式的一個應(yīng)用，間接地說明了凸函數(shù)的重要性4 結(jié)束語 凸函數(shù)在高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用的例子還有很多其實，初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的知識及一些常用方法是相互聯(lián)系，相輔相成的高等數(shù)學(xué)在運(yùn)算和推理過程中常常會得到一些形式十分初等且淺顯易懂的結(jié)論有些問題僅僅

24、依靠初等數(shù)學(xué)的方法解決往往是十分困難的，甚至根本不可能，如果借用高等數(shù)學(xué)的方法來解決顯得更加簡單明了凸函數(shù)在這方面起到一個很好的示范作用參考文獻(xiàn)：華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析（上冊）第三版M北京：高等教育出版社，2001裴禮文數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法M北京：高等教育出版社，1993李遠(yuǎn)新，劉長春凸函數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用J遼寧師專學(xué)報，1999，(2) 張雄，李得虎數(shù)學(xué)方法論與解題研究M北京：高等教育出版社，2003 賈鳳山走向高考·數(shù)學(xué)M北京：人民日報出版社，2006 吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解（二）M濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，1980 朱志嘉判定凸函數(shù)的幾個充分條件及其應(yīng)用J中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），1985，（02）Distinction and Application of the Convex FunctionLIN Qing (Department of Mathematics，Hechi University，Yizhou Guan