函數(shù)單調(diào)性判斷或證明方法

1、函數(shù)單調(diào)性的判斷或證明方法.（1） 定義法。用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟是取值，設(shè)，且；作差，求；變形（合并同類項、通分、分解因式、配方等）向有利于判斷差值符號的方向變形；定號，判斷的正負(fù)符號，當(dāng)符號不確定時，應(yīng)分類討論；下結(jié)論，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義下結(jié)論。例1.判斷函數(shù)在(1，)上的單調(diào)性，并證明 解：設(shè)1<x1<x2， 則f(x1)f(x2) 1<x1<x2， x1x2<0，x11>0，x21>0. 當(dāng)a>0時，f(x1)f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)， 函數(shù)yf(x)在(1，)上單調(diào)遞增 當(dāng)a<0時，f(

2、x1)f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)， 函數(shù)yf(x)在(1，)上單調(diào)遞減例2.證明函數(shù)在區(qū)間和上是增函數(shù)；在上為減函數(shù)。（增兩端，減中間）證明：設(shè)，則因為，所以,所以，所以 所以設(shè)則，因為，所以，所以所以同理，可得（2） 運算性質(zhì)法.在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù)（增+增=增；減+減=減；增-減=增，減-增=減）若.當(dāng)函數(shù).函數(shù)二者有相反的單調(diào)性。運用已知結(jié)論，直接判斷函數(shù)的單調(diào)性，如一次函數(shù)、反比例函數(shù)等。（3）圖像法.根據(jù)函數(shù)圖像的上升或下降判斷函數(shù)的單調(diào)性。例3.求函數(shù)的

3、單調(diào)區(qū)間。解：在同一坐標(biāo)系下作出函數(shù)的圖像得所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為減區(qū)間為.（4）復(fù)合函數(shù)法.（步驟：求函數(shù)的定義域；分解復(fù)合函數(shù)；判斷內(nèi)、外層函數(shù)的單調(diào)性；根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的單調(diào)性.若集合是內(nèi)層函數(shù)的一個單調(diào)區(qū)間，則便是原復(fù)合函數(shù)的一個單調(diào)區(qū)間，如例4；若不是內(nèi)層函數(shù)的一個單調(diào)區(qū)間，則需把劃分成內(nèi)層函數(shù)的若干個單調(diào)子區(qū)間，這些單調(diào)子區(qū)間便分別是原復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，如例5.） 設(shè)，都是單調(diào)函數(shù)，則在上也是單調(diào)函數(shù)，其單調(diào)性由“同增異減”來確定，即“里外”函數(shù)增減性相同，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)，“里外”函數(shù)的增減性相反，復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)。如下表： 增增增增減減減增減減減增例4. 求函數(shù)的

4、單調(diào)區(qū)間 解 原函數(shù)是由外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)復(fù)合而成的；易知是外層函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；令，解得的取值范圍為；由于是內(nèi)層函數(shù)的一個單調(diào)減區(qū)間，于是便是原函數(shù)的一個單調(diào)區(qū)間；根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的復(fù)合原則知，是原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間。例5 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 解 原函數(shù)是由外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)復(fù)合而成的；易知和都是外層函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；令，解得的取值范圍為；結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知不是內(nèi)層函數(shù)的一個單調(diào)區(qū)間，但可以把區(qū)間劃分成內(nèi)層函數(shù)的兩個單調(diào)子區(qū)間和，其中是其單調(diào)減區(qū)間，是其單調(diào)增區(qū)間；于是根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的復(fù)合原則知，是原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，是原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間。同理，令，可求得是原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，是原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間。綜上可知，原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是和，單調(diào)減區(qū)間是和.（5）含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題.例.設(shè)（先分離常數(shù)，即對函數(shù)的解析式進(jìn)行變形，找到基本函數(shù)的類型，再分類討論.）解：由題意得原函數(shù)的定義域為 ，當(dāng)上為減函數(shù)；當(dāng)上為增函數(shù)。（6）抽象函數(shù)的單調(diào)性.（抽象函數(shù)問題是指沒有給出解析式，只給出一些特殊條件的函數(shù)問題） 常采用定義法.要充分利用已知條件，對變量進(jìn)行合理賦值，并結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明。例 已知函數(shù)對任意實數(shù)，均有且當(dāng)時，試判斷的單調(diào)性，并說明理由. 解析：設(shè)，且，則，故 故在（，）上為增函數(shù)例2. 設(shè)f(x)定義于實數(shù)集上，當(dāng)時，且對于任意實