函數(shù)極限與連續(xù)習(xí)題及答案

1、第一章函數(shù)、極限與連續(xù)(A)1區(qū)間表示不等式( ) A B C D2若，則( ) A B C D3設(shè)函數(shù)的定義域是( ) A B C D4下列函數(shù)與相等的是( ) A， B，C， D，5下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是( ) A B C D6若函數(shù)，則的值域?yàn)? ) A B C D7設(shè)函數(shù)()，那么為( ) A B C D8已知在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的單調(diào)遞減區(qū)間是( ) A B C D不存在9函數(shù)與其反函數(shù)的圖形對(duì)稱于直線( ) A B C D10函數(shù)的反函數(shù)是( ) A B C D11設(shè)函數(shù)，則( ) A當(dāng)時(shí)，是無窮大 B當(dāng)時(shí)，是無窮小C當(dāng)時(shí)，是無窮大 D當(dāng)時(shí)，是無窮小12設(shè)在上有定義，函數(shù)在點(diǎn)左、右

2、極限都存在且相等是函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的( ) A充分條件 B充分且必要條件C必要條件 D非充分也非必要條件13若函數(shù)在上連續(xù)，則的值為( ) A0 B1 C-1 D-2 14若函數(shù)在某點(diǎn)極限存在，則( ) A在的函數(shù)值必存在且等于極限值 B在函數(shù)值必存在，但不一定等于極限值 C在的函數(shù)值可以不存在 D如果存在的話，必等于極限值15數(shù)列，是( ) A以0為極限 B以1為極限C以為極限 D不存在在極限16( ) A B不存在 C1 D017( ) A B C0 D18無窮小量是( ) A比零稍大一點(diǎn)的一個(gè)數(shù) B一個(gè)很小很小的數(shù)C以零為極限的一個(gè)變量 D數(shù)零19設(shè)則的定義域?yàn)椋?，=。20已知函數(shù)的定義域

3、是，則的定義域是。21若，則，。22函數(shù)的反函數(shù)為。23函數(shù)的最小正周期。24設(shè)，則。25。26。27。28。29函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)為。30。31函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是。32設(shè)，處處連續(xù)的充要條件是。33若，復(fù)合函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是。34若，均為常數(shù)，則，。35下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù)，哪些是奇函數(shù)，哪既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)？(1)，(2)，(3)，(4)(5)，(6)36若，證明。37求下列函數(shù)的反函數(shù)(1)， (2)38寫出圖1-1和圖1-2所示函數(shù)的解析表達(dá)式 2 1 1 -1圖1-1 圖1-239設(shè)，求。40設(shè)，求。41若，求。42利用極限存在準(zhǔn)則證明：。43求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判別間斷點(diǎn)的類型 (1

4、)，(2)，(3)，(4)44設(shè)，問： (1) 存在嗎？ (2) 在處連續(xù)嗎？若不連續(xù)，說明是哪類間斷？若可去，則補(bǔ)充定義，使其在該點(diǎn)連續(xù)。45設(shè)， (1)求出的定義域并作出圖形。 (2)當(dāng)，1，2時(shí)，連續(xù)嗎？ (3)寫出的連續(xù)區(qū)間。46設(shè)，求出的間斷點(diǎn)，并指出是哪一類間斷點(diǎn)，若可去，則補(bǔ)充定義，使其在該點(diǎn)連續(xù)。47根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，驗(yàn)證方程至少有一個(gè)根介于1和2之間。48驗(yàn)證方程至少有一個(gè)小于1的根。(B)1在函數(shù)的可去間斷點(diǎn)處，下面結(jié)論正確的是( ) A函數(shù)在左、右極限至少有一個(gè)不存在 B函數(shù)在左、右極限存在，但不相等 C函數(shù)在左、右極限存在相等 D函數(shù)在左、右極限都不存在2設(shè)函數(shù)，則點(diǎn)

5、0是函數(shù)的( ) A第一類不連續(xù)點(diǎn) B第二類不連續(xù)點(diǎn)C可去不連續(xù)點(diǎn) D連續(xù)點(diǎn)3若，則( ) A當(dāng)為任意函數(shù)時(shí)，有成立 B僅當(dāng)時(shí)，才有成立 C當(dāng)為有界時(shí)，能使成立 D僅當(dāng)為常數(shù)時(shí)，才能使成立4設(shè)及都不存在，則( ) A及一定不存在 B及一定都存在 C及中恰有一個(gè)存在，而另一個(gè)不存在 D及有可能存在5的值為( ) A1 B C不存在 D06( ) A B C0 D7按給定的的變化趨勢，下列函數(shù)為無窮小量的是( ) A() B ()C () D ()8當(dāng)時(shí)，下列與同階(不等價(jià))的無窮小量是( ) A B C D9設(shè)函數(shù)，則為( ) A30 B15 C3 D1 10設(shè)函數(shù)()的值域?yàn)椋闹涤驗(yàn)?，則有(

6、 ) A B C D11在下列函數(shù)中，與表示同一函數(shù)的是( ) A， B，C， D， 12與函數(shù)的圖象完全相同的函數(shù)是( ) A B C D13若，下列各式正確的是( ) A B C D14若數(shù)列有極限，則在的領(lǐng)域之外，數(shù)列中的點(diǎn)( ) A必不存在 B至多只有限多個(gè)C必定有無窮多個(gè) D可以有有限個(gè)，也可以有無限多個(gè)15任意給定，總存在，當(dāng)時(shí)，則( ) A BC D16如果與存在，則( ) A存在且 B存在，但不一定有 C不一定存在 D一定不存在17無窮多個(gè)無窮小量之和，則( ) A必是無窮小量 B必是無窮大量C必是有界量 D是無窮小，或是無窮大，或有可能是有界量18，則它的連續(xù)區(qū)間為( ) A

7、 BC D19設(shè)，則它的連續(xù)區(qū)間是( ) A B (為正整數(shù))處C D及處20設(shè)要使在處連續(xù)，則( ) A2 B1 C0 D-1 21設(shè)，若在上是連續(xù)函數(shù)，則( ) A0 B1 C D322點(diǎn)是函數(shù)的( ) A連續(xù)點(diǎn) B第一類非可去間斷點(diǎn)C可去間斷點(diǎn) D第二類間斷點(diǎn)23方程至少有一根的區(qū)間是( ) A B C D24下列各式中的極限存在的是( ) A B C D25( ) A1 B0 C-1 D不存在26。27若，則。28函數(shù)的單調(diào)下降區(qū)間為。29已知，則，。30，則。31函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)是，是第類不連續(xù)點(diǎn)。32函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)是，是第不連續(xù)點(diǎn)。33當(dāng)時(shí)，。34已知，為使在連續(xù)，則應(yīng)補(bǔ)充定義。35

8、若函數(shù)與函數(shù)的圖形完全相同，則的取值范圍是。36設(shè)，若，則；若，則；若；則。37設(shè)，則。38設(shè)，函數(shù)有意義，則函數(shù)的定義域。39設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，那么。40如果時(shí)，要無窮小與等價(jià)，應(yīng)等于。41要使，則應(yīng)滿足。42。43函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)連續(xù)。44已知，則，。45，；若無間斷點(diǎn)，則。46函數(shù)在點(diǎn)處可可連續(xù)開拓，只須令。47。48。49。50設(shè)，證明：當(dāng)，下列等式成立：(1)，(2) 。51設(shè)，求和。52若，證明：。53根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：(1) ，(2) ，(3) ，(4)54根據(jù)函數(shù)極限的定義證明(1) ，(2) ，(3) ，(4)55求下列極限(1) (2) (，為正整數(shù))，(3) (4)

9、 (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (為正整數(shù))56當(dāng)時(shí)，求下列無窮小量關(guān)于的階 (1)，(2)，(3)，(4)57試證方程，其中，至少有一個(gè)正根，并且不超過。58設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，則在上至少存在一個(gè)，使。59設(shè)在上連續(xù)，且，試證：在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得：。60設(shè)數(shù)列有界，又，證明。61設(shè)，求。62設(shè)，求及。63求。64求。65求下列極限(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 66求。(C)1若存在，對(duì)任意，適合不等式的一切，有，則( ) A在不存在極限 B在嚴(yán)格單調(diào) C在無界 D對(duì)任意，2若存在，對(duì)任意，適合不

10、等式的一切，有，則( ) A B在上無界C在上有界 D在上單調(diào)3函數(shù)()，則此函數(shù)( ) A沒有間斷點(diǎn) B有一個(gè)第一類間斷點(diǎn)C有兩個(gè)以上第一類間斷點(diǎn) D有兩個(gè)以上間斷點(diǎn)，但類型不確定4若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的取值范圍是( ) A B或 C D5兩個(gè)無窮小量與之積仍是無窮小量，且與或相比( ) A是高階無窮小 B是同階無窮小C可能是高階，也可能是同階無窮小 D與階數(shù)較高的那階同階6試決定當(dāng)時(shí)，下列哪一個(gè)無窮小是對(duì)于的三階無窮小( ) A B(是常數(shù))C D7指出下列函數(shù)中當(dāng)時(shí)( )為無窮大 A B C D8，如果在處連續(xù)，那么( ) A0 B2 C D1 9使函數(shù)為無窮小量的的變化趨勢是( ) A

11、 B C D10設(shè)，若，則=。11若而，則。12若在處連續(xù)，則。13設(shè)有有限極限值，則，  。14() =。15證明不存在。16求()。17求。18設(shè)在處連續(xù)，且，以及，試證：在處連續(xù)。19利用極限存在準(zhǔn)則證明：數(shù)列，的極限存在。20設(shè)適合(、均為常數(shù))且，試證：。21設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，試求。22設(shè)、都為單調(diào)增加函數(shù)，且對(duì)一切實(shí)數(shù)均有：，求證。23證明當(dāng)時(shí)左右極限不存在。24設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)的極限存在。25若在上連續(xù)，則在上必有，使。26證明，若在內(nèi)連續(xù)，且存在，則必在內(nèi)有界。27，求、的值。28證明方程，在，內(nèi)有唯一的根，其中，均為大于0的常數(shù)，且。第一章函數(shù)、極限與連續(xù)(A)1區(qū)間

12、表示不等式( B ) A B C D2若，則( D ) A B C D3設(shè)函數(shù)的定義域是( C ) A B C D4下列函數(shù)與相等的是( A) A， B，C， D，5下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是( A ) A B C D6若函數(shù)，則的值域?yàn)? B ) A B C D7設(shè)函數(shù)()，那么為( B ) A B C D8已知在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的單調(diào)遞減區(qū)間是( C ) A B C D不存在9函數(shù)與其反函數(shù)的圖形對(duì)稱于直線( C ) A B C D10函數(shù)的反函數(shù)是( D ) A B C D11設(shè)函數(shù)，則(B ) A當(dāng)時(shí)，是無窮大 B當(dāng)時(shí)，是無窮小C當(dāng)時(shí)，是無窮大 D當(dāng)時(shí)，是無窮小12設(shè)在上有定義，函數(shù)在點(diǎn)

13、左、右極限都存在且相等是函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的( C ) A充分條件 B充分且必要條件C必要條件 D非充分也非必要條件13若函數(shù)在上連續(xù)，則的值為( D ) A0 B1 C-1 D-2 14若函數(shù)在某點(diǎn)極限存在，則( C ) A在的函數(shù)值必存在且等于極限值 B在函數(shù)值必存在，但不一定等于極限值 C在的函數(shù)值可以不存在 D如果存在的話，必等于極限值15數(shù)列，是( B ) A以0為極限 B以1為極限C以為極限 D不存在在極限16( C ) A B不存在 C1 D017( A ) A B C0 D18無窮小量是( C ) A比零稍大一點(diǎn)的一個(gè)數(shù) B一個(gè)很小很小的數(shù)C以零為極限的一個(gè)變量 D數(shù)零19設(shè)則的定義

14、域?yàn)椋?2，=0。20已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是。21若，則，。22函數(shù)的反函數(shù)為。23函數(shù)的最小正周期2。24設(shè)，則。25。26。270。28。29函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)為1。30。31函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是、。32設(shè)，處處連續(xù)的充要條件是0。33若，復(fù)合函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是，。34若，均為常數(shù)，則1，2。35下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù)，哪些是奇函數(shù)，哪既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)？(1) 偶函數(shù)(2) 非奇函數(shù)又非偶函數(shù)(3) 偶函數(shù)(4) 奇函數(shù)(5) 非奇函數(shù)又非偶函數(shù)(6) 偶函數(shù)36若，證明。證：37求下列函數(shù)的反函數(shù)(1)解： (2)38寫出圖1-1和圖1-2所示函數(shù)的解析表達(dá)式 2 1 1 -1圖1-

15、1 圖1-2 解：(1)(2)39設(shè)，求。 解：故。40設(shè)，求。解：41若，求。 解：42利用極限存在準(zhǔn)則證明：。證：且，由夾逼定理知43求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判別間斷點(diǎn)的類型 (1)，(2)，(3)，(4)解：(1)當(dāng)為第二類間斷點(diǎn)；(2)均為第二類間斷點(diǎn)；(3)，為第一類斷點(diǎn)；(4)，均為第一類間斷點(diǎn)。44設(shè)，問： (1) 存在嗎？解：存在，事實(shí)上，故。 (2) 在處連續(xù)嗎？若不連續(xù)，說明是哪類間斷？若可去，則補(bǔ)充定義，使其在該點(diǎn)連續(xù)。解：不連續(xù)，為可去間斷點(diǎn)，定義：，則在處連續(xù)。0145設(shè)， (1)求出的定義域并作出圖形。 解：定義域?yàn)?2)當(dāng)，1，2時(shí)，連續(xù)嗎？ 解：，時(shí)，連續(xù)，而時(shí)，

16、不連續(xù)。 (3)寫出的連續(xù)區(qū)間。 解：的連續(xù)區(qū)間、。46設(shè)，求出的間斷點(diǎn)，并指出是哪一類間斷點(diǎn)，若可去，則補(bǔ)充定義，使其在該點(diǎn)連續(xù)。解：(1)由，故為可去間斷點(diǎn)，改變?cè)诘亩x為，即可使在連續(xù)。(2)由，故為第一類間斷點(diǎn)。(3)類似地易得為第一類間斷點(diǎn)。47根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，驗(yàn)證方程至少有一個(gè)根介于1和2之間。驗(yàn)證：設(shè)，易知在上連續(xù)，且，故，使。48驗(yàn)證方程至少有一個(gè)小于1的根。驗(yàn)證：設(shè)，易知在上連續(xù)，且，故，使。(B)1在函數(shù)的可去間斷點(diǎn)處，下面結(jié)論正確的是( C ) A函數(shù)在左、右極限至少有一個(gè)不存在 B函數(shù)在左、右極限存在，但不相等 C函數(shù)在左、右極限存在相等 D函數(shù)在左、右極限都不存在

17、2設(shè)函數(shù)，則點(diǎn)0是函數(shù)的(D ) A第一類不連續(xù)點(diǎn) B第二類不連續(xù)點(diǎn)C可去不連續(xù)點(diǎn) D連續(xù)點(diǎn)3若，則( C ) A當(dāng)為任意函數(shù)時(shí)，有成立 B僅當(dāng)時(shí)，才有成立 C當(dāng)為有界時(shí)，能使成立 D僅當(dāng)為常數(shù)時(shí)，才能使成立4設(shè)及都不存在，則( D ) A及一定不存在 B及一定都存在 C及中恰有一個(gè)存在，而另一個(gè)不存在 D及有可能存在5的值為( D ) A1 B C不存在 D06( A ) A B C0 D7按給定的的變化趨勢，下列函數(shù)為無窮小量的是( C ) A() B ()C () D ()8當(dāng)時(shí)，下列與同階(不等價(jià))的無窮小量是( B ) A B C D9設(shè)函數(shù)，則為( B ) A30 B15 C3 D

18、1 10設(shè)函數(shù)()的值域?yàn)?，的值域?yàn)椋瑒t有( D ) A B C D11在下列函數(shù)中，與表示同一函數(shù)的是( D ) A， B，C， D， 12與函數(shù)的圖象完全相同的函數(shù)是( A ) A B C D13若，下列各式正確的是( C ) A B C D14若數(shù)列有極限，則在的領(lǐng)域之外，數(shù)列中的點(diǎn)( B ) A必不存在 B至多只有限多個(gè)C必定有無窮多個(gè) D可以有有限個(gè)，也可以有無限多個(gè)15任意給定，總存在，當(dāng)時(shí)，則( A ) A BC D16如果與存在，則( C ) A存在且 B存在，但不一定有 C不一定存在 D一定不存在17無窮多個(gè)無窮小量之和，則( D ) A必是無窮小量 B必是無窮大量C必是有界

19、量 D是無窮小，或是無窮大，或有可能是有界量18，則它的連續(xù)區(qū)間為( C ) A BC D19設(shè)，則它的連續(xù)區(qū)間是( B ) A B (為正整數(shù))處C D及處20設(shè)要使在處連續(xù)，則( B ) A2 B1 C0 D-1 21設(shè)，若在上是連續(xù)函數(shù)，則( C ) A0 B1 C D322點(diǎn)是函數(shù)的( C ) A連續(xù)點(diǎn) B第一類非可去間斷點(diǎn)C可去間斷點(diǎn) D第二類間斷點(diǎn)23方程至少有一根的區(qū)間是( D ) A B C D24下列各式中的極限存在的是( C ) A B C D25( D ) A1 B0 C-1 D不存在26。27若，則。28函數(shù)的單調(diào)下降區(qū)間為。29已知，則 0 ，6。30，則2。31函數(shù)

20、的不連續(xù)點(diǎn)是，是第二類不連續(xù)點(diǎn)。32函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)是，是第二類不連續(xù)點(diǎn)。33當(dāng)時(shí)，。34已知，為使在連續(xù)，則應(yīng)補(bǔ)充定義。35若函數(shù)與函數(shù)的圖形完全相同，則的取值范圍是。36設(shè)，若，則0或±1；若，則；若；則。37設(shè)，則。38設(shè)，函數(shù)有意義，則函數(shù)的定義域。39設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，那么。40如果時(shí)，要無窮小與等價(jià)，應(yīng)等于2。41要使，則應(yīng)滿足。420。43函數(shù)，當(dāng)2時(shí)，函數(shù)連續(xù)。44已知，則2，-8。45，0；若無間斷點(diǎn)，則0。46函數(shù)在點(diǎn)處可可連續(xù)開拓，只須令0。47。480。49。50設(shè)，證明：當(dāng)，下列等式成立：(1)證：(2) 證：51設(shè)，求和。 解：，52若，證明：。 解： 故結(jié)

21、論成立。53根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：(1) 證：，要使，只要，取，則當(dāng)時(shí)，恒有，即。(2) 證：，因，要使，只要，取，則當(dāng)時(shí)，恒有，即。(3) 證：，因，要使，只要，即只要。取，則當(dāng)時(shí)，恒有，即。(4)證：，因，只要。取，當(dāng)時(shí)，恒有，即。54根據(jù)函數(shù)極限的定義證明(1) 證：，因，要使，只要。，則當(dāng)時(shí)，恒有，即。(2) 證：，因，要使，要使，取，則當(dāng)時(shí)，恒有，即。(3) 證：，因，只要，取，則當(dāng)時(shí)，恒有，即。(4)證：，要使，只要，取，則當(dāng)時(shí)，恒有，即。55求下列極限(1) 解：原式(2) (，為正整數(shù))，解：原式(3) 解：原式(4) 解：原式(5) 解：原式(6) 解：原式(7) 解：原式

22、(8) 解：原式(9) 解：令，原式(10) 解：原式(11) 解：原式(12) 解：原式(13) 解：原式(14) (為正整數(shù)) 解：原式56當(dāng)時(shí)，求下列無窮小量關(guān)于的階 (1) 解：3階(2) 解：階(3) 解：1階(4) 解：3階57試證方程，其中，至少有一個(gè)正根，并且不超過。證：令，則，且，故，使。58設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，則在上至少存在一個(gè)，使。證：令，于是在上連續(xù)，由于條件(若，則顯然結(jié)果成立，若)，顯然，故使，綜上，使。59設(shè)在上連續(xù)，且，試證：在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得：。證：令，于是在上連續(xù)，且，故，使，即。60設(shè)數(shù)列有界，又，證明。證：由假設(shè)不妨設(shè)，為一正數(shù)，由，故自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，

23、恒有，故恒有，即。61設(shè)，求。解：原式62設(shè)，求及。解：，故63求。解：原式64求解：原式65求下列極限(1) 解：原式(2) 解：原式(3) 解：原式(4) 解：原式(5) 解：原式(6) 解：原式(7) 解：原式(8) 解：原式66求。 解：原式(C)1若存在，對(duì)任意，適合不等式的一切，有，則( D ) A在不存在極限 B在嚴(yán)格單調(diào) C在無界 D對(duì)任意，2若存在，對(duì)任意，適合不等式的一切，有，則( C ) A B在上無界C在上有界 D在上單調(diào)3函數(shù)()，則此函數(shù)( A ) A沒有間斷點(diǎn) B有一個(gè)第一類間斷點(diǎn)C有兩個(gè)以上第一類間斷點(diǎn) D有兩個(gè)以上間斷點(diǎn)，但類型不確定4若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的取值范圍是( B ) A B或 C D5兩個(gè)無窮小量與之積仍是無窮小量，且與或相比( A ) A是高階無窮小 B是同階無窮小C可能是高階，也可能是同階無窮小 D與階數(shù)較高的那階同階6試決定當(dāng)時(shí)，下列哪一個(gè)無窮小是對(duì)于的三階無窮小( B ) A B(是常數(shù))C D7指出下列函數(shù)中當(dāng)時(shí)( D )為無窮大 A B C D8，如果在處連續(xù)，那么( D ) A0 B2 C D1 9使函數(shù)