2022-2023學(xué)年湖南省長沙市雅禮教育集團(tuán)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年湖南省長沙市雅禮教育集團(tuán)八年級(jí)第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題3分，本大題共10個(gè)小題，共30分）1．美術(shù)老師布置同學(xué)們設(shè)計(jì)窗花，下列作品為軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．黨的十八大以來，長沙用3600多個(gè)日日夜夜的不懈奮斗，努力把習(xí)近平總書記對(duì)湖南重要講話重指示批示精神轉(zhuǎn)化為生動(dòng)實(shí)踐，交上了一份奮進(jìn)新征程、建功新時(shí)代的精彩答卷．十年來，長沙大力推進(jìn)義務(wù)教育優(yōu)質(zhì)均衡發(fā)展，教育惠民實(shí)現(xiàn)大跨越；全市新改擴(kuò)建義務(wù)教育學(xué)校314所，新增學(xué)位近468000個(gè)，請(qǐng)將數(shù)據(jù)468000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.468×106 B．4.68×105 C．46.8×104 D．468×1033．下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)3?a2＝a5 B．2a+3a＝6a C．a(chǎn)8÷a2＝a4 D．（a2）3＝a54．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝20°，延長BC到點(diǎn)D，使CD＝AC，連接AD，則∠ADC的度數(shù)為（）A．35° B．40° C．42° D．50°5．不等式﹣2x+4＜0的解集是（）A．x＞ B．x＞﹣2 C．x＜2 D．x＞26．如圖，一名工作人員不慎將一塊三角形模具打碎成三塊，他要帶其中一塊或兩塊碎片到商店去配一塊與原來一樣的三角形模具，他帶（）去最省事．A．① B．② C．③ D．①③7．若（x+a）（x﹣6）的積中不含有x的一次項(xiàng)，則a的值為（）A．0 B．6 C．﹣6 D．﹣6或08．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，AB＝10，S△ABD＝15，則CD的長為（）A．6 B．5 C．4 D．39．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初日健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．”其大意是，有人要去某關(guān)口，路程為378里，第一天健步行走，從第二天起，由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天才到達(dá)目的地，則此人第六天走的路程為（）A．24里 B．12里 C．6里 D．3里10．下列說法中，正確的有（）①兩邊及一內(nèi)角相等的兩個(gè)三角形全等；②等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合；③等腰三角形兩腰上的高相等；④等腰三角形底邊的中點(diǎn)到兩腰的距離相等．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題（每小題3分，本大題共6個(gè)小題，、，共18分）11．若2x＝3，2y＝5，則2x+y＝．12．一個(gè)三角形的兩邊長分別是1和4，若第三邊的長為偶數(shù)，則第三邊的長是．13．已知2x﹣3y＝6，則10﹣6x+9y的值為．14．如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直線DE垂直平分BC，垂足為E，交AC于點(diǎn)D，則△ABD的周長是．15．如圖，△ABC≌△DEC，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E在線段AB上，∠DCA＝40°，則∠B的度數(shù)是．16．如圖，已知Rt△ABC，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝2，AB＝，若點(diǎn)P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則CP+AP的最小值為．三、解答題（本大題共9個(gè)小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分，第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分，解答寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．計(jì)算：﹣12022+﹣（π﹣3）0+|﹣1|．18．先化簡，再求值：x2（x﹣1）﹣x（x2+x﹣1），其中x＝2．19．如圖，一條船上午8時(shí)從海島A出發(fā)，以10海里/時(shí)的速度向正北方向航行，上午10時(shí)到達(dá)海島B處，分別從A，B處望燈塔C，測得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．（1）求海島B到燈塔C的距離；（2）若這條船到達(dá)海島B處后，繼續(xù)向正北方向航行，問還要經(jīng)過多長時(shí)間，小船與燈塔C的距離最短？20．為落實(shí)“雙減”政策，某校利用課后服務(wù)開展了“書香校園”的讀書活動(dòng)，活動(dòng)中，為了解學(xué)生對(duì)書籍種類（A：藝術(shù)類，B：科技類，C：文學(xué)類，D：體育類）的喜歡情況，在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取若干名學(xué)生，進(jìn)行問卷調(diào)查（每個(gè)被調(diào)查的學(xué)生必須選擇而且只能在這四種類型中選擇一項(xiàng)）將數(shù)據(jù)進(jìn)行整理并繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．（1）這次調(diào)查中，一共調(diào)查了名學(xué)生；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“D”部分所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為度；并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖．（3）若全校有4800名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)喜歡B（科技類）的學(xué)生有多少名？21．在計(jì)算（2x+a）（x+b）時(shí)，甲錯(cuò)把b看成了6，得到結(jié)果是：2x2+8x﹣24；乙錯(cuò)把a(bǔ)看成了﹣a，得到結(jié)果：2x2+14x+20．（1）求出a，b的值；（2）在（1）的條件下，計(jì)算（2x+a）（x+b）的結(jié)果．22．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，∠BAD＝∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延長線于點(diǎn)E．（1）若∠BAC＝120°，AC＝5，求CE的長；（2）求證：△ABC為等腰三角形．23．我市在創(chuàng)建全國文明城市過程中，決定購買A，B兩種樹苗對(duì)某路段道路進(jìn)行綠化改造，已知購買A種樹苗8棵，B種樹苗2棵，需要900元；購買A種樹苗5棵，B種樹苗4棵，需要700元．（1）求購買A，B兩種樹苗每棵各需多少元？（2）考慮到綠化效果和資金周轉(zhuǎn)，購進(jìn)A種樹苗不能少于32棵，且用于購買這兩種樹苗的資金不能超過5750元，若購進(jìn)這兩種樹苗共80棵，則有哪幾種購買方案？24．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)點(diǎn)P（a，b）作如下變換：若a≥b，作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)；若a＜b，作點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，我們稱這種變換為“YS變換”．（1）點(diǎn)（1，0）作“YS變換”后的坐標(biāo)為；點(diǎn)（﹣3，4）作“YS變換”后的坐標(biāo)為；（2）已知點(diǎn)A（m+l，m+2），B（m，1），C（m+1，1），其中0＜m＜1，且點(diǎn)A，B作“YS變換“后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為M，N兩點(diǎn)，S△MNC＝，求m的值．（3）已知點(diǎn)E（1，5），F(xiàn)（5，5），在EF所在直線上方作等腰直角三角形EFG，若點(diǎn)P（a﹣，b），Q（a﹣1，b）作“YS變換”后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P′，Q′，其中a＜b，若點(diǎn)G在線段P′Q′上，求a的取值范圍．25．（1）嘗試探究：如圖1，△ABC是等邊三角形，∠DAB＝90°，AD＝AB，連接CD、BD，求∠CDB的度數(shù)．（2）類比延伸：如圖2，△ABC是等邊三角形，AD＝AB，連接CD、BD，AE平分∠DAC，交BD于E，交CD于F，求∠CDB的度數(shù)．（3）拓展遷移：在（2）的條件下，試猜想AF，BE，DE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明．

參考答案一、選擇題（每小題3分，本大題共10個(gè)小題，共30分）1．美術(shù)老師布置同學(xué)們設(shè)計(jì)窗花，下列作品為軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．解：選項(xiàng)B、C、D不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形，選項(xiàng)A能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．黨的十八大以來，長沙用3600多個(gè)日日夜夜的不懈奮斗，努力把習(xí)近平總書記對(duì)湖南重要講話重指示批示精神轉(zhuǎn)化為生動(dòng)實(shí)踐，交上了一份奮進(jìn)新征程、建功新時(shí)代的精彩答卷．十年來，長沙大力推進(jìn)義務(wù)教育優(yōu)質(zhì)均衡發(fā)展，教育惠民實(shí)現(xiàn)大跨越；全市新改擴(kuò)建義務(wù)教育學(xué)校314所，新增學(xué)位近468000個(gè)，請(qǐng)將數(shù)據(jù)468000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.468×106 B．4.68×105 C．46.8×104 D．468×103【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．解：468000＝4.68×105．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．3．下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)3?a2＝a5 B．2a+3a＝6a C．a(chǎn)8÷a2＝a4 D．（a2）3＝a5【分析】直接利用同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算法則以及合并同類項(xiàng)法則、冪的乘方運(yùn)算法則分別判斷得出答案．解：A．a(chǎn)3?a2＝a5，故此選項(xiàng)符合題意；B．2a+3a＝5a，故此選項(xiàng)不合題意；C．a(chǎn)8÷a2＝a6，故此選項(xiàng)不合題意；D．（a2）3＝a6，故此選項(xiàng)不合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算以及合并同類項(xiàng)、冪的乘方運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝20°，延長BC到點(diǎn)D，使CD＝AC，連接AD，則∠ADC的度數(shù)為（）A．35° B．40° C．42° D．50°【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝80°，從而利用三角形的外角性質(zhì)可得∠CAD+∠CDA＝80°，然后再利用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：∵AB＝AC，∠BAC＝20°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝80°，∴∠CAD+∠CDA＝80°，∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠D＝40°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．不等式﹣2x+4＜0的解集是（）A．x＞ B．x＞﹣2 C．x＜2 D．x＞2【分析】不等式移項(xiàng)，將x系數(shù)化為1，即可求出解集．解：移項(xiàng)得：﹣2x＜﹣4，解得：x＞2，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元一次不等式，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．6．如圖，一名工作人員不慎將一塊三角形模具打碎成三塊，他要帶其中一塊或兩塊碎片到商店去配一塊與原來一樣的三角形模具，他帶（）去最省事．A．① B．② C．③ D．①③【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法結(jié)合圖形判斷出帶③去．解：由圖形可知，③有完整的兩角與夾邊，根據(jù)“角邊角”可以作出與原三角形全等的三角形，所以，最省事的做法是帶③去．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．7．若（x+a）（x﹣6）的積中不含有x的一次項(xiàng)，則a的值為（）A．0 B．6 C．﹣6 D．﹣6或0【分析】利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則進(jìn)行運(yùn)算，再結(jié)合不含x的一次項(xiàng)，則其系數(shù)為0，從而可求解．解：（x+a）（x﹣6）＝x2﹣6x+ax﹣6a＝x2+（﹣6+a）x﹣6a，∵積中不含有x的一次項(xiàng)，∴﹣6+a＝0，解得：a＝6．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解答的關(guān)鍵是明確結(jié)果不含x的一次項(xiàng)，則其系數(shù)為0．8．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，AB＝10，S△ABD＝15，則CD的長為（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，根據(jù)三角形的面積公式可得AB?DE＝15，從而求出DE＝5，然后利用角平分線的性質(zhì)即可解答．解：過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，∵AB＝10，S△ABD＝15，∴AB?DE＝15，∴×10DE＝15，∴DE＝3，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC＝3，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．9．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初日健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．”其大意是，有人要去某關(guān)口，路程為378里，第一天健步行走，從第二天起，由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天才到達(dá)目的地，則此人第六天走的路程為（）A．24里 B．12里 C．6里 D．3里【分析】設(shè)第一天走了x里，則第二天走了x里，第三天走了×x…第六天走了（）5x里，根據(jù)路程為378里列出方程并解答．解：設(shè)第一天走了x里，依題意得：x+x+x+x+x+x＝378，解得x＝192．則（）5x＝（）5×192＝6（里）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用．根據(jù)題意得到（）5x里是解題的難點(diǎn)．10．下列說法中，正確的有（）①兩邊及一內(nèi)角相等的兩個(gè)三角形全等；②等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合；③等腰三角形兩腰上的高相等；④等腰三角形底邊的中點(diǎn)到兩腰的距離相等．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)全等三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)判斷求解即可．解：兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，故①錯(cuò)誤，不符合題意；等腰三角形底邊上的高、中線、頂角平分線互相重合，故②錯(cuò)誤，不符合題意；等腰三角形兩腰上的高相等，故③正確，符合題意；等腰三角形底邊的中點(diǎn)到兩腰的距離相等，故④正確，符合題意；綜上，說法正確的有2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，本大題共6個(gè)小題，、，共18分）11．若2x＝3，2y＝5，則2x+y＝15．【分析】由2x＝3，2y＝5，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法可得2x+y＝2x?2y，繼而可求得答案．解：∵2x＝3，2y＝5，∴2x+y＝2x?2y＝3×5＝15．故答案為：15．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了同底數(shù)冪的乘法．此題比較簡單，注意掌握公式的逆運(yùn)算．12．一個(gè)三角形的兩邊長分別是1和4，若第三邊的長為偶數(shù)，則第三邊的長是4．【分析】利用三角形三邊關(guān)系定理，先確定第三邊的范圍，再根據(jù)第三邊是偶數(shù)這一條件，求得第三邊的值．解：設(shè)第三邊為a，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系知，4﹣1＜a＜4+1，即3＜a＜5，又∵第三邊的長是偶數(shù)，∴a為4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，掌握第三邊滿足：大于已知兩邊的差，且小于已知兩邊的和是解決問題的關(guān)鍵．13．已知2x﹣3y＝6，則10﹣6x+9y的值為﹣8．【分析】將10﹣6x+9y轉(zhuǎn)化為10﹣3（2x﹣3y），再整體代入計(jì)算即可．解：∵2x﹣3y＝6，∴10﹣6x+9y＝10﹣3（2x﹣3y）＝10﹣3×6＝10﹣18＝﹣8，故答案為：﹣8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查代數(shù)式求值，將10﹣6x+9y轉(zhuǎn)化為10﹣3（2x﹣3y）是正確解答的關(guān)鍵．14．如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直線DE垂直平分BC，垂足為E，交AC于點(diǎn)D，則△ABD的周長是12．【分析】依據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得DB＝DC．△ABD周長轉(zhuǎn)化為AB+AC即可求解．解：∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC．∴C△ABD＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝12．∴△ABD的周長是12．故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查中垂線性質(zhì)：中垂線上一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等．將所求周長轉(zhuǎn)化為AB+AC的和即可．15．如圖，△ABC≌△DEC，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E在線段AB上，∠DCA＝40°，則∠B的度數(shù)是70°．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠ACB＝∠DCE，CE＝CB，即可得到答案．解：∵△ABC≌△DEC，∴∠ACB＝∠DCE，CE＝CB，∴∠BCE＝∠DCA＝40°．∴∠B＝∠CEB＝（180°﹣40°）＝70°，故答案為：70°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等．16．如圖，已知Rt△ABC，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝2，AB＝，若點(diǎn)P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則CP+AP的最小值為．【分析】過點(diǎn)A在△ABC外作射線AD，使得∠BAD＝30°，過點(diǎn)P作PQ⊥AD于點(diǎn)Q，連接CQ，則CP+AP＝CP+PQ≥CQ，當(dāng)C、P、Q三點(diǎn)共線，且CQ⊥AD時(shí)，CP+AP＝CP+PQ＝CQ的值最小，求出此時(shí)的CQ便可．解：過點(diǎn)A在△ABC外作射線AD，使得∠BAD＝30°，過點(diǎn)P作PQ⊥AD于點(diǎn)Q，連接CQ，則PQ＝AP，∴CP+AP＝CP+PQ≥CQ，當(dāng)C、P、Q三點(diǎn)共線，且CQ⊥AD時(shí)，CP+AP＝CP+PQ＝CQ的值最小，∵∠CAQ＝30°+30°＝60°，∴∠ACQ＝30°，∴AQ＝＝1，∴CQ＝，故CP+AP的最小值為：，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂線段最短，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于作輔助線，構(gòu)造AP，應(yīng)用垂線段最短原理解題．三、解答題（本大題共9個(gè)小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分，第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分，解答寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．計(jì)算：﹣12022+﹣（π﹣3）0+|﹣1|．【分析】首先計(jì)算乘方、零指數(shù)冪、開平方和絕對(duì)值，然后從左向右依次計(jì)算，求出算式的值即可．解：﹣12022+﹣（π﹣3）0+|﹣1|＝﹣1+3﹣1+（﹣1）＝﹣1+3﹣1+﹣1＝．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．18．先化簡，再求值：x2（x﹣1）﹣x（x2+x﹣1），其中x＝2．【分析】先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)，然后把x的值代入化簡后的式子進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：x2（x﹣1）﹣x（x2+x﹣1）＝x3﹣x2﹣x3﹣x2+x＝﹣2x2+x，當(dāng)x＝2時(shí)，原式＝﹣2×22+2＝﹣2×4+2＝﹣8+2＝﹣6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的混合運(yùn)算﹣化簡求值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．19．如圖，一條船上午8時(shí)從海島A出發(fā)，以10海里/時(shí)的速度向正北方向航行，上午10時(shí)到達(dá)海島B處，分別從A，B處望燈塔C，測得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．（1）求海島B到燈塔C的距離；（2）若這條船到達(dá)海島B處后，繼續(xù)向正北方向航行，問還要經(jīng)過多長時(shí)間，小船與燈塔C的距離最短？【分析】（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，得∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝30°，那么∠ACB＝∠NAC，故AB＝BC＝30（海里）．（2）如圖，過點(diǎn)C作CP⊥AB于點(diǎn)P，根據(jù)垂線段最短，線段CP的長為小船與燈塔C的最短距離．欲確定什么時(shí)間小船與燈塔C的距離最短，求得AP．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠PCB＝180°﹣∠BPC﹣∠CBP＝30°．根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，在Rt△CBP中，∠BCP＝30°，得（海里），那么AP＝AB+BP＝30+15＝45（海里），從而解決此題．解：（1）由題意得：AB＝15×2＝30（海里）．∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°，∴∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝30°．∴∠ACB＝∠NAC．∴AB＝BC＝30（海里）．∴從海島B到燈塔C的距離為30海里．（2）如圖，過點(diǎn)C作CP⊥AB于點(diǎn)P．∴根據(jù)垂線段最短，線段CP的長為小船與燈塔C的最短距離，∠BPC＝90°．又∵∠NBC＝60°，∴∠PCB＝180°﹣∠BPC﹣∠CBP＝30°．在Rt△CBP中，∠BCP＝30°，∴（海里），∴AP＝AB+BP＝30+15＝45（海里）．∴航行的時(shí)間為45÷15＝3（時(shí)）．∴若這條船繼續(xù)向正北航行，上午11時(shí)小船與燈塔C的距離最短．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等腰三角形的判定、三角形外角的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短，熟練掌握等腰三角形的判定、三角形外角的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短是解決本題的關(guān)鍵．20．為落實(shí)“雙減”政策，某校利用課后服務(wù)開展了“書香校園”的讀書活動(dòng)，活動(dòng)中，為了解學(xué)生對(duì)書籍種類（A：藝術(shù)類，B：科技類，C：文學(xué)類，D：體育類）的喜歡情況，在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取若干名學(xué)生，進(jìn)行問卷調(diào)查（每個(gè)被調(diào)查的學(xué)生必須選擇而且只能在這四種類型中選擇一項(xiàng)）將數(shù)據(jù)進(jìn)行整理并繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．（1）這次調(diào)查中，一共調(diào)查了200名學(xué)生；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“D”部分所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為54度；并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖．（3）若全校有4800名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)喜歡B（科技類）的學(xué)生有多少名？【分析】（1）根據(jù)A類的人數(shù)和所占的百分比，即可求出總?cè)藬?shù)；（2）用整體1減去A、C、D類所占的百分比，即可求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中“D”所在扇形的圓心角的度數(shù)；用總?cè)藬?shù)乘以所占的百分比，求出C的人數(shù)，從而補(bǔ)全圖形；（3）總?cè)藬?shù)乘以樣本中B所占百分比即可得．解：（1）40÷20%＝200（名），故答案為：200；（2）D所占百分比為×100%＝15%，扇形統(tǒng)計(jì)圖中“D”所在扇形的圓心角的度數(shù)為：360°×15%＝54°，C的人數(shù)是：200×30%＝60（名），補(bǔ)圖如下：故答案為：54；（3）4800×＝1680（名），答：估計(jì)喜歡B（科技類）的學(xué)生有1680名．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的應(yīng)用，正確利用條形統(tǒng)計(jì)圖得出正確信息是解題關(guān)鍵．21．在計(jì)算（2x+a）（x+b）時(shí)，甲錯(cuò)把b看成了6，得到結(jié)果是：2x2+8x﹣24；乙錯(cuò)把a(bǔ)看成了﹣a，得到結(jié)果：2x2+14x+20．（1）求出a，b的值；（2）在（1）的條件下，計(jì)算（2x+a）（x+b）的結(jié)果．【分析】（1）根據(jù)題意得出（2x+a）（x+6）＝2x2+（12+a）x+6a＝2x2+8x﹣24，（2x﹣a）（x+b）＝2x2+（﹣a+2b）x﹣ab＝2x2+14x+20，得出12+a＝8，﹣a+2b＝14，求出a、b即可；（2）把a(bǔ)、b的值代入，再根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則求出即可．解：（1）甲錯(cuò)把b看成了6，（2x+a）（x+6）＝2x2+12x+ax+6a＝2x2+（12+a）x+6a＝2x2+8x﹣24，∴12+a＝8，解得：a＝﹣4；乙錯(cuò)把a(bǔ)看成了﹣a，（2x﹣a）（x+b）＝2x2+2bx﹣ax﹣ab＝2x2+（﹣a+2b）x﹣ab＝2x2+14x+20，∴2b﹣a＝14，把a(bǔ)＝﹣4代入，得b＝5；（2）當(dāng)a＝﹣4，b＝5時(shí)，（2x+a）（x+b）＝（2x﹣4）（x+5）＝2x2+10x﹣4x﹣20＝2x2+6x﹣20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，能正確運(yùn)用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．22．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，∠BAD＝∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延長線于點(diǎn)E．（1）若∠BAC＝120°，AC＝5，求CE的長；（2）求證：△ABC為等腰三角形．【分析】（1）證明AD為△BCE的中位線得到CE＝2AD＝6；（2）通過證明AC＝AE得到AB＝AC，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）解：∵AD是邊BC上的中線，∴BD＝CD，∵CE∥AD，∴點(diǎn)A為BE的中點(diǎn)，∴AD為△BCE的中位線，∴CE＝2AD＝6；（2）證明：∵CE∥AD，∴∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠ACE，而∠BAD＝∠CAD，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，而AB＝AE，∴AB＝AC，∴△ABC為等腰三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，證得AD為△BCE的中位線是解題的關(guān)鍵．23．我市在創(chuàng)建全國文明城市過程中，決定購買A，B兩種樹苗對(duì)某路段道路進(jìn)行綠化改造，已知購買A種樹苗8棵，B種樹苗2棵，需要900元；購買A種樹苗5棵，B種樹苗4棵，需要700元．（1）求購買A，B兩種樹苗每棵各需多少元？（2）考慮到綠化效果和資金周轉(zhuǎn)，購進(jìn)A種樹苗不能少于32棵，且用于購買這兩種樹苗的資金不能超過5750元，若購進(jìn)這兩種樹苗共80棵，則有哪幾種購買方案？【分析】（1）設(shè)購買A種樹苗每棵需x元，購買B種樹苗每棵需y元，根據(jù)“購買A種樹苗8棵，B種樹苗2棵，需要900元；購買A種樹苗5棵，B種樹苗4棵，需要700元“可列出方程組解得答案．（2）設(shè)購買A種樹苗m棵，則購買B種樹苗（80﹣m）棵，根據(jù)“購進(jìn)A種樹苗不能少于32棵，且用于購買這兩種樹苗的資金不能超過5750元“，可列不等式組解得32≤m≤35，即可得到答案．解：（1）設(shè)購買A種樹苗每棵需x元，購買B種樹苗每棵需y元，根據(jù)題意得：，解得，答：購買A種樹苗每棵需100元，購買B種樹苗每棵需50元；（2）設(shè)購買A種樹苗m棵，則購買B種樹苗（80﹣m）棵，∵購進(jìn)A種樹苗不能少于32棵，且用于購買這兩種樹苗的資金不能超過5750元，∴，解得32≤m≤35，∵m是正整數(shù)，∴m可取32，33，34，35，∴有4種購買方案：①購買A種樹苗32棵，購買B種樹苗48棵，②購買A種樹苗33棵，購買B種樹苗47棵，③購買A種樹苗34棵，購買B種樹苗46棵，④購買A種樹苗35棵，購買B種樹苗45棵．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次方程組和一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程組和不等式組．24．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)點(diǎn)P（a，b）作如下變換：若a≥b，作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)；若a＜b，作點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，我們稱這種變換為“YS變換”．（1）點(diǎn)（1，0）作“YS變換”后的坐標(biāo)為（﹣1，0）；點(diǎn)（﹣3，4）作“YS變換”后的坐標(biāo)為（﹣3，﹣4）；（2）已知點(diǎn)A（m+l，m+2），B（m，1），C（m+1，1），其中0＜m＜1，且點(diǎn)A，B作“YS變換“后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為M，N兩點(diǎn)，S△MNC＝，求m的值．（3）已知點(diǎn)E（1，5），F(xiàn)（5，5），在EF所在直線上方作等腰直角三角形EFG，若點(diǎn)P（a﹣，b），Q（a﹣1，b）作“YS變換”后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P′，Q′，其中a＜b，若點(diǎn)G在線段P′Q′上，求a的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)定義直接求解即可；（2）根據(jù)定義分別求出M（m+1，﹣m﹣2），N（m，﹣1），再由MC∥y中可得，MC＝m+3，則S△MNC＝（m+3）×1＝，求出m＝；（3）分別求出符合條件的G點(diǎn)坐標(biāo)，再求出P'（a﹣，﹣b），Q'（a﹣1，﹣b），根據(jù)G點(diǎn)的坐標(biāo)，分三種情況求出符合條件的a的取值范圍即可．解：（1）點(diǎn)（1，0）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為（﹣1，0），點(diǎn)（﹣3，4）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為（﹣3，﹣4），故答案為：（﹣1，0），（﹣3，﹣4）；（2）∵0＜m＜1，∴m+2＞m+1，∴點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)M（m+1，﹣m﹣2），∵m＜1，∴B點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)N（m，﹣1），∵C（m+1，1），∴MC＝m+3，∴S△MNC＝（m+3）×1＝，解得m＝；（3）∵E（1，5），F(xiàn)（5，5），∴EF＝4，當(dāng)∠GEF＝90°時(shí)，G（1，9）；當(dāng)∠GFE＝90°時(shí)，G（5，9）；當(dāng)∠EGF＝90°時(shí)，G（3，7）；∵a＜b，∴a﹣＜b，a﹣1＜b，∴P'（a﹣，﹣b），Q'（a﹣1，﹣b），當(dāng)G（3，7）在線段P'Q'上時(shí)，a﹣1≤3，a﹣≥3，解得≤a