幾何證明——角平分線模型高級(jí)

1、幾何證明角平分線模型(高級(jí))【經(jīng)典例題】例1、已知如圖，中，平分，若，求證：。例2、如圖，已知在中，的角平分線相交于點(diǎn)，求證：。例3、如圖，平分，求.例4、已知，如圖中，為的角平分線，求證：例5、如圖，已知為銳角內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)分別作的垂線，垂足分別為，為的平分線，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)；如果，求證：是的平分線。例6、如圖，在梯形中，是腰上一點(diǎn)，連接、，若，求的度數(shù)例7、已知：中，的中點(diǎn)為，交的角平分線于（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，若，則、之間滿足什么關(guān)系式，并對(duì)你得出的結(jié)論給予證明【提升訓(xùn)練】1、在中，是的平分線是上任意一點(diǎn)求證：2、如圖，在中，等于，平分平分，求證：。3、如圖所示，在中，平分

2、，于，求證：。4、已知是內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，交對(duì)應(yīng)邊于。求證：。5、（1）如圖，、分別是的外角平分線，過(guò)點(diǎn)作，垂足分別為、，連接，延長(zhǎng)、，與直線相交，求證：。（2）若、分別是的內(nèi)角平分線（如圖（2），過(guò)點(diǎn)作，垂足分別為、，連接，線段與三邊有怎樣的數(shù)量關(guān)系？；（3）若為的內(nèi)角平分線，為的外角平分線（如圖（3），過(guò)點(diǎn)作，垂足分別為、，連接，則線段與三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？6、如圖，已知，為的角平分錢(qián)，為的中點(diǎn)，點(diǎn)到，的距離分別為，若。（1）求，的值；（2）求證：。7已知如圖，是斜邊上的高，的平分線交于，交的平分線于，求證：8如圖，BD、CE為ABC的兩條內(nèi)角平分線，K為ED的中點(diǎn)，KFAB于F，KG

3、AC于G，KHBC于H，求證：KF+KG=KH9已知，于點(diǎn)，求證：10（1）如圖1，BP為ABC的角平分線，PMAB于M，PNBC于N，AB=30，BC=23，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并求ABP與BPC的面積的比值；（2）如圖2，分別以ABC的邊AB、AC為邊向外作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，CD與BE相交于點(diǎn)O，判斷AOD與AOE的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）在四邊形ABCD中，已知BC=DC，且ABAD，對(duì)角線AC平分BAD，請(qǐng)直接寫(xiě)出B和D的數(shù)量關(guān)系11（1）已知：如圖1，RtABC中，ACB=90°，BAC=60°，CD平分ACB，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，PEAB交CD的延長(zhǎng)線于P

4、，猜想：PAC+PBC= °（直接寫(xiě)出結(jié)論，不需證明）（2）已知：如圖2，RtABC中，ACB=90°，BAC45°，CD平分ACB，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，PEAB交CD的延長(zhǎng)線于P，（1）中結(jié)論是否成立，若成立，請(qǐng)證明；若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由12如圖1，分別過(guò)線段AB的端點(diǎn)A、B作直線AM、BN，且AMBN，MAB、NBA的角平分線交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C的直線l分別交AM、BN于點(diǎn)D、E（1）求證：ABC是直角三角形；（2）在圖1中，當(dāng)直線lAM時(shí)，線段AD、BE、AB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你的猜想；（3）當(dāng)直線l繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到與AM不垂直時(shí)，在如圖2、3兩種情況下，（2）中

5、的三條線段之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并選擇一種情況給予證明13如圖，在RtABC中，ACB=90°，CDAB于D，AE平分BAC，交CD于K，交BC于E，F(xiàn)是BE上一點(diǎn)，且BF=CE，求證：FKAB14在中，AD是BAC的平分線（1）如圖，求證：；（2）如圖，若BD=CD，求證：AB=AC；（3）如圖，若AB=5，AC=4，BC=6求BD的長(zhǎng)15如圖，在中，ABC=90°，D為BC上一點(diǎn)，在ADE中，E=C，1=90°EDC求證：（1）1=2；（2）ED=BC+BD16如圖，一個(gè)直角三角形紙片的頂點(diǎn)A在MON的邊OM上移動(dòng)，移動(dòng)過(guò)程中始終保持ABON

6、于點(diǎn)B，ACOM于點(diǎn)AMON的角平分線OP分別交AB、AC于D、E兩點(diǎn)（1）點(diǎn)A在移動(dòng)的過(guò)程中，線段AD和AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由（2）點(diǎn)A在移動(dòng)的過(guò)程中，若射線ON上始終存在一點(diǎn)F與點(diǎn)A關(guān)于OP所在的直線對(duì)稱，判斷并說(shuō)明以A、D、F、E為頂點(diǎn)的四邊形是怎樣特殊的四邊形？（3）若MON=45°，猜想線段AC、AD、OC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，只寫(xiě)出結(jié)果即可不用證明17定義：到凸四邊形一組對(duì)邊距離相等，到另一組對(duì)邊距離也相等的點(diǎn)叫凸四邊形的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)如圖1，PH=PJ，PI=PG，則點(diǎn)P就是四邊形ABCD的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)（1）如圖2，AFD與DEC的角平分線FP，EP相交于點(diǎn)P求證：點(diǎn)P是四

7、邊形ABCD的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)（2）分別畫(huà)出圖3平行四邊形和圖4梯形的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)（作圖工具不限，不寫(xiě)作法，但要有必要的說(shuō)明）（3）判斷下列命題的真假，在括號(hào)內(nèi)填“真”或“假”任意凸四邊形一定存在準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)（）任意凸四邊形一定只有一個(gè)準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)（）若P是任意凸四邊形ABCD的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)，則PA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD（）18如圖，已知平行四邊形ABCD中，AE平分BAD交DC于E，DFBC于F，交AE于G，且AD=DF過(guò)點(diǎn)D作DC的垂線，分別交AE、AB于點(diǎn)M、N（1）若M為AG中點(diǎn)，且DM=2，求DE的長(zhǎng)；（2）求證：AB=CF+DM19如圖，在平行四邊形ABCD中，BAD、ABC的平分線AF、BG分別與線段CD交于點(diǎn)F、G，AF與BG交于點(diǎn)E（1）求證：AFBG，DF=CG；（2）若AB=10，AD=6，AF=8，求FG和BG的長(zhǎng)度20、平行四邊形中，的平分線交于點(diǎn)， 的平分線交于點(diǎn)， 、交于點(diǎn)，若。求證：。21、如圖，在中，是外角平分線上一點(diǎn)，求證：。22在ABCD中，BAD的平分線交直線BC于