函數(shù)極限與與連續(xù)

1、高等數(shù)學(xué)教案湖北職業(yè)技術(shù)學(xué)院第一章 函數(shù)、極限與與連續(xù)本章將在分別研究數(shù)列的極限與函數(shù)的極限的基礎(chǔ)上，討論極限的一些重要性質(zhì)以及運(yùn)算法則，函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。具體的要求如下：1 理解極限的概念（理解極限的描述性定義,對(duì)極限的、定義可在學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步加深理解，對(duì)于給出求N或不作過(guò)高要求）。2 掌握極限四則運(yùn)算法則。3 了解極限存在準(zhǔn)則（夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則），會(huì)用兩個(gè)重要極限求極限。4 了解無(wú)窮小、無(wú)窮大及無(wú)窮小的階的概念。能夠正確運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小求極限。5. 理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念，理解區(qū)間內(nèi)（上）連續(xù)函數(shù)的概念。6. 了解間斷點(diǎn)的概念，會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)并判別間斷點(diǎn)的類型。

2、7. 了解初等函數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大、最小值定理、零點(diǎn)定理、介值定理）。第一章共12學(xué)時(shí)，課時(shí)安排如下緒論 §1.1、函數(shù) §1.2初等函數(shù)2課時(shí)§1.4數(shù)列極限及其運(yùn)算法則2課時(shí)§1.4函數(shù)極限及其運(yùn)算法則2課時(shí)§1.4兩個(gè)重要極限 無(wú)窮小與無(wú)窮大2課時(shí)§1.4函數(shù)的連續(xù)性2課時(shí)第一章 習(xí)題課 2課時(shí)緒論數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的一門學(xué)科，數(shù)學(xué)是研究抽象結(jié)構(gòu)及其規(guī)律、特性的學(xué)科。數(shù)學(xué)具有高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和應(yīng)用的廣泛性。關(guān)于數(shù)學(xué)應(yīng)用和關(guān)于微積分的評(píng)價(jià)：恩格斯：在一切理論成就中，未必再有像17世紀(jì)

3、下葉微積分的微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人類精神的最高勝利了。如果在某個(gè)地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績(jī)，那就正是這里。華羅庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之迷，日用之繁，無(wú)處不用數(shù)學(xué)。張順燕：微積分是人類的偉大結(jié)晶，它給出了一整套科學(xué)方法，開創(chuàng)了科學(xué)的新紀(jì)元，并因此加強(qiáng)和加深了數(shù)學(xué)的作用。有了微積分，人類才有能力把握運(yùn)動(dòng)和過(guò)程；有了微積分，就有了工業(yè)革命，有了大工業(yè)生產(chǎn)，也就有了現(xiàn)代的社會(huì)。航天飛機(jī)，宇宙飛船等現(xiàn)代化交通工具都是微積分的直接后果。數(shù)學(xué)一下子到了前臺(tái)。數(shù)學(xué)在人類社會(huì)的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明顯多了（數(shù)學(xué)通報(bào)數(shù)學(xué)與文化2001.1.封二）初等

4、數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的根本區(qū)別：用初等數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題常常只能在有限的范圍內(nèi)孤立的靜止的觀念來(lái)研究，有很多問(wèn)題不能得到最終答案，甚至無(wú)法解決。高等數(shù)學(xué)用運(yùn)動(dòng)的辨正觀點(diǎn)研究變量及其依賴關(guān)系，極限的方法是研究變量的一種基本方法，貫穿高等數(shù)學(xué)的始終。用高等數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題，計(jì)算往往比較簡(jiǎn)單，且能獲得最終的結(jié)果。本學(xué)期教學(xué)內(nèi)容：第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)第二章 導(dǎo)數(shù)與微分第三章 導(dǎo)數(shù)學(xué)的應(yīng)用第四章 不定積分參考書：高等數(shù)學(xué)（同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系 主編第五版）數(shù)學(xué)分析武漢大學(xué)數(shù)學(xué)系編 電子閱覽室（網(wǎng)絡(luò)）高等數(shù)學(xué) 精品課程學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)應(yīng)注意的方法：上課認(rèn)真聽講（最好能預(yù)習(xí)），積極參與課堂討論、研究，課后及時(shí)復(fù)習(xí)；透

5、徹理解概念，熟練掌握重要定理、公式、運(yùn)算法則，做適量練習(xí)；應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題；歸納總結(jié)，不斷提高，建構(gòu)起高等數(shù)學(xué)適應(yīng)體系。第一節(jié) 函數(shù)、第二節(jié) 初等函數(shù)1.掌握區(qū)間、鄰域的概念。2.了解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法，并會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系式。3.了解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。4.理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)的概念。5.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。一 鄰域 ，以a為中心的鄰域，以a為中心的去心鄰域二 函數(shù)：定義1 設(shè)和是兩個(gè)變量，是一個(gè)數(shù)集。如果對(duì)于中的每一個(gè)，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則，都有確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么稱為定義在數(shù)集上的的函數(shù)，記作。叫做自變量，叫做

6、因變量，數(shù)集叫做函數(shù)的定義域。為因變量的函數(shù)也可表示為，函數(shù)的兩個(gè)要素：對(duì)應(yīng)法則、定義域。 三 分段函數(shù)1 稱為“分界點(diǎn)”。2符號(hào)函數(shù) 3取整函數(shù)：不超過(guò)的最大整數(shù)，記做：，如：，。四 反函數(shù)的定義：設(shè)有函數(shù)其定義域，值域?yàn)?，如果?duì)于中的每一個(gè)值，都可以從關(guān)系式確定唯一的值（）與之對(duì)應(yīng)，這樣所確定的以為自變量的函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù)，它對(duì)定義域?yàn)?，值域?yàn)?。?xí)慣上，函數(shù)的自變量都用表示，所以反函數(shù)通常表示為五 函數(shù)的幾種特性1有界性：設(shè)，定義域?yàn)镈，D，恒有。則稱函數(shù)在D上有界。否則稱函數(shù)在D上無(wú)界。例如：函數(shù)，在內(nèi)有界；在內(nèi)無(wú)界。2單調(diào)性：設(shè)，定義域?yàn)镈，D，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減。單調(diào)

7、遞增與單調(diào)遞減的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。3 奇偶性：偶函數(shù) ， 奇函數(shù) 。 4周期性：周期函數(shù) D，D，例1狄里克萊函數(shù)。狄里克萊函數(shù)是周期函數(shù)，但它沒(méi)有最小正周期。2符號(hào)函數(shù)六 復(fù)合函數(shù)定義 如果是的函數(shù)，而是的函數(shù)，且的值全部或部分地落在的定義域內(nèi)，那么通過(guò)的聯(lián)系也是發(fā)函數(shù)。稱這個(gè)函數(shù)是由及復(fù)合而成的，稱為復(fù)合函數(shù)，記作，其中叫做中間變量。注：設(shè)、，如果的值部分地落在的定義域內(nèi)，則復(fù)合函數(shù)的定義域是的定義域的子集；如果的值全部落在的定義域內(nèi)，則復(fù)合函數(shù)的定義域與的定義域相同。如果的值全部落在的定義域外，則不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。例3將下列函數(shù)“分解”成“簡(jiǎn)單”的函數(shù)：，七 基本初等函數(shù)與初等函數(shù)：1

8、、 常數(shù)函數(shù) 2、 冪函數(shù) 3、 指數(shù)函數(shù) 4、 對(duì)數(shù)函數(shù) 5、 三角函數(shù)6、 反三角函數(shù)：初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算及有限復(fù)合步驟所構(gòu)成，并且可以用 一個(gè)式子表示的函數(shù)叫做初等函數(shù)。八 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)，。作業(yè)P2021 習(xí)題 2（3）、（4）、（6）；5；7。第四節(jié) 數(shù)列的極限數(shù)列極限的定義數(shù)列的定義：數(shù)列實(shí)質(zhì)上是整標(biāo)函數(shù)，正整數(shù)集（i）：1，0（ii）：2，1+，1確定：要使<0.01，只要>100；要使<0.0001，只要>10000；要使<，只要>。（iii）：1，-1，1， ，不存在數(shù)列極限描述性定義（P27）：如果當(dāng)無(wú)限增

9、大時(shí)，數(shù)列無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)，那么就叫做數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于，記作 或 當(dāng)數(shù)列極限的定義：如果存在常數(shù)，使得對(duì)于任意給定的正數(shù)（無(wú)論它多么?。?，總存在正整數(shù)，只要，絕對(duì)值不等式<恒成立，則稱數(shù)列以常數(shù)為極限， 記為=（或，）。數(shù)列極限的分析（）定義：設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則將數(shù)列以常數(shù)為極限，記為=（或，）。例1 證明數(shù)列2，的極限是1。證：分析令=，記a=1，要使=<，只要>，取N=。證明，當(dāng)n>N時(shí)，恒有，故=1。例2 若，證明：。證：分析=<<，要使<，只要，取N=，再放大證明當(dāng)n>N時(shí)，恒成立，故。例3 設(shè)，證明數(shù)列：1，的極限是

10、0。證：分析令，記a=0，由于=，要使，只要，只要，只要，只要，取N=。證明 ，當(dāng)n>N時(shí)，恒有，故=0（當(dāng)時(shí)）。例4 數(shù)列 有界，又，證明=0。證：，對(duì)一切n均有，又，對(duì)于，當(dāng)n>N時(shí)，恒有，所以=0。收斂數(shù)列的性質(zhì)性質(zhì)1（有界性）收斂數(shù)列一定有界。注：有界數(shù)列不不一定收斂。性質(zhì)2（唯一性）如果數(shù)列收斂，那么它的極限是唯一的。數(shù)列極限的運(yùn)算法則如果，那么（1）+（2）（3）特別地，如果C為常數(shù)，那么由（2）得無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的和（P30）化循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)例（P29例3）作業(yè)P32第2題（1）、（3）、（6）、（8）；第3題（3）、（4）；第4題（2）第五節(jié) 函數(shù)的極限一、 當(dāng)時(shí)函

11、數(shù)極限函數(shù)極限的描述性定義：設(shè)函數(shù)當(dāng)|時(shí)有定義（為某個(gè)常數(shù)），如果當(dāng)自變量的絕對(duì)值無(wú)限增大（記作）時(shí)，其函數(shù)值無(wú)限接近于某確定的常數(shù)，則稱為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作 或 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在當(dāng)時(shí)（）定義：，當(dāng)時(shí)，恒成立，則稱為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作注意：或二、 當(dāng)時(shí)函數(shù)極限引例：，當(dāng)時(shí)，時(shí)，即 研究：在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)時(shí)，定義：如果存在常數(shù)a，使得對(duì)于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。?，總存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，記作。，當(dāng)時(shí)，恒成立。例1 證明下列極限：（1）；（2）；（3）。證：（1）分析這里，恒成立證明，任取一個(gè)正數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，證之。（2）分析由于，只要，取證明，當(dāng)時(shí)，恒成立，故（3）分析由

12、于，要使，只要，只要，即，取證明 ，當(dāng)，恒成立，故例2 證明。證：分析，由于=要使，只要，即，只要，取證明，當(dāng)時(shí)，恒成立，證之。例3 證明。證：分析由于，要使，只要，只要，即，取證明，當(dāng)時(shí)， 恒成立，證之。左極限右極限極限存在 例4 當(dāng)時(shí)，討論的極限三、極限的性質(zhì)具有四個(gè)性質(zhì)，下面證其中一種極限性質(zhì)，余可類似證明之。性質(zhì)1（唯一性）如果存在，則極限唯一。證：反證法。設(shè)，且。，當(dāng)時(shí)，有；，當(dāng)時(shí)，有。取，上面兩式均成立，由矛盾！性質(zhì)2（局部有界性）：如果存在，則在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)，函數(shù)有界。證：令=a，由定義，（對(duì)于=1），當(dāng)，。推論：收斂數(shù)列必有界；無(wú)界數(shù)列必發(fā)散。性質(zhì)3（局部保號(hào)性）如果且（

13、或），則在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)，函數(shù)（或）。證：不妨令，取，當(dāng)時(shí)，。性質(zhì)4（函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系）設(shè)存在，設(shè)是函數(shù)的定義域內(nèi)任一收斂于的數(shù)列，且滿足：（），那么相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列必收斂，且。證：設(shè)，當(dāng)，恒有，即。由于，故知數(shù)列只有有限多項(xiàng)在之外，從而數(shù)列只有有限多項(xiàng)在之外，根據(jù)數(shù)列極限的定義得例1 數(shù)列是發(fā)散的。為什么？例2 證明當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極限。證：取兩個(gè)收斂于0的數(shù)列：，所以不存在。例3 對(duì)于數(shù)列，若，證明證：，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，恒有，即作業(yè)：P38 T1（1）、92）（3）、（7）、（8）。T5。第六節(jié) 函數(shù)極限的運(yùn)算法則 、兩個(gè)重要極限一、函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則定理1：設(shè)，。則（1）；（

14、2）；（3）當(dāng)時(shí)，。推論1、常數(shù)因子可以提到極限符號(hào)外面去，即推論2如果存在，則注：上述法則對(duì)于時(shí)的情形也是成立的。例1求下列極限：（1）；（2）例2求下列極限：（1）；（2）；（3）。例3設(shè)，求。解：二、極限存在準(zhǔn)則準(zhǔn)則 如果數(shù)列、滿足下列條件：（1） ，（2） ，那么數(shù)列的極限存在，且。準(zhǔn)則 單調(diào)有界數(shù)列必有極限。第一個(gè)重要極限：例1 求下列極限：（1）；（2）；（3）。例2 求。第二個(gè)重要極限：例3 求下列極限（1）；（2）；（3）。例4 求極限 .作業(yè)：P43 T1（1）、（3）、（5）、（7）。T2（2）（4）、（6）。T（1）、（2）。第七節(jié)、 無(wú)窮小與無(wú)窮大一、無(wú)窮小1、無(wú)窮小的

15、定義定義：以0為極限的函數(shù)（變量），稱為無(wú)窮小量。定理：在自變量同一變化過(guò)程中，函數(shù)f(x)有極限的充分必要條件是，其中是無(wú)窮小量。2、無(wú)窮小的性質(zhì)性質(zhì)1、有限個(gè)無(wú)窮小量之和是無(wú)窮小量；證：（1）設(shè)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，性質(zhì)2、有限個(gè)無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮小。性質(zhì)3、有界函數(shù)與無(wú)窮小量之積是無(wú)窮小量。推論：常數(shù)與無(wú)窮小量之積是無(wú)窮小量。例1求。二、無(wú)窮大1、無(wú)窮大的定義定義2、如果當(dāng)時(shí)，函數(shù)的絕對(duì)值無(wú)限增大，那么稱為當(dāng)時(shí)的無(wú)窮大量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮大，記為定義2 （不論它多么大），當(dāng)時(shí)，恒有，記作 2、無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系定理：在自變量的同一變化過(guò)程中，若是無(wú)窮大量，則是無(wú)窮小量；反之，若是無(wú)窮小量，且，則是無(wú)

16、窮大量。三、 無(wú)窮小的比較引入，定義：在自變量同一變化過(guò)程中，如果，均為無(wú)窮小量，若1，稱是比高階的無(wú)窮小量，記為o；2，稱是比低階的無(wú)窮小量；3（），稱與是同階無(wú)窮小量；4特別地當(dāng)C=1時(shí)，即，稱與是等價(jià)無(wú)窮小量，記為例1，稱是x的二階無(wú)窮小。四、 等價(jià)無(wú)窮小量的性質(zhì)性質(zhì)1、是等價(jià)無(wú)窮小的充分必要條件為性質(zhì)2、設(shè)，是無(wú)窮小量，且，如果，則證：。例2求下列極限（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。常見的等價(jià)無(wú)窮小有：當(dāng)時(shí)，（1） （2）（3）（4）；（5）。作業(yè)：P51 T2（1）、（2）、（5）、（8）。T3第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性1、函數(shù)的改變量定義1、如果變量從初值

17、變到終值，那么終值與初值的差叫做變量的改變量（或增量），記作，即 =。改變量可以是正的，也可以是負(fù)的。給自變量以改變量，函數(shù)有相應(yīng)的改變量。2、 函數(shù)的連續(xù)性定義2：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，若存在，且其極限值等于，即，稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，點(diǎn)是的連續(xù)點(diǎn)。即：，當(dāng)時(shí)，恒有。記，定義3：若，則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。若，則稱在處左連續(xù)；若，則稱在處右連續(xù)。函數(shù)在處連續(xù)且。如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)處連續(xù)，則稱為開區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，稱為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間。如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)處連續(xù)，且在點(diǎn)處右連續(xù)，在點(diǎn)處右連續(xù)，則稱為閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)重要結(jié)論：基本初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。3、函數(shù)的間斷點(diǎn)如果函數(shù)在

18、點(diǎn)處不連續(xù)，則稱是的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)。如果函數(shù)有下列三種情形之一：（1）在點(diǎn)處無(wú)定義，即不存在；（2）不存在；（3）及都存在，但。則就是的間斷點(diǎn)。例1研究下列函數(shù)在指定點(diǎn)的連續(xù)性：（1），點(diǎn)x=0；（2）；點(diǎn)x=1；（3），點(diǎn)x=0。例2，點(diǎn)。例3，點(diǎn)x=0。例4、證明函數(shù)=在內(nèi)是連續(xù)的。證明：，當(dāng)有增量時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)的增量為 ，注意到 |。得 因?yàn)閷?duì)于任意的角度，當(dāng)時(shí)有，所以有因此，當(dāng)時(shí)，由夾逼準(zhǔn)則得這就證明了=對(duì)于是連續(xù)的。間斷點(diǎn)的分類：二、初等函數(shù)的連續(xù)性定理1、如果函數(shù)與在點(diǎn)處連續(xù)，那么它們的和、差、積、商（分母不為零）也都在點(diǎn)處連續(xù)。定理2、如果函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，且，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，那

19、么復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。定理3、一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間都是連續(xù)的。三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理4：（有界性及最大值最小值定理）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上有界，且一定有最大值和最小值。，使得，定理2 （零點(diǎn)定理）若函數(shù)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a), f (b)異號(hào)，則f (x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。在上連續(xù)，且，使得。定理3 （介值定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且，則對(duì)介于與之間的任何實(shí)數(shù)，在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得。證明：作輔助函數(shù)，滿足定理2的條件：在a,b上連續(xù)，且，即，。推論1：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間的任何值。推論2：閉區(qū)間上不

20、為常數(shù)的連續(xù)函數(shù)把該區(qū)間映為閉區(qū)間。切記：若不是閉區(qū)間，或不是連續(xù)函數(shù)，上述性質(zhì)均不一定成立。例1證明方程在區(qū)間(-1,1)內(nèi)有唯一的根。證：討論函數(shù)，閉區(qū)間-1,1。先證明存在性；再證明唯一性指出為單調(diào)函數(shù)例2證明方程有分別包含于（1，2），（2，3），內(nèi)的兩個(gè)實(shí)根。證：由方程可知，故原方程之同解方程為引入輔助函數(shù)易知F(x)在上連續(xù)，故可分別在閉區(qū)間1，2，2，3上討論之。作業(yè)：P60 T1；T2；T3（1）、（3）；T4（2）。第一章 習(xí)題課一、 內(nèi)容小結(jié)1、函數(shù)的定義，反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的定義，函數(shù)的幾種特性，基本初等函數(shù)，基本初等函數(shù)。2、數(shù)列極限的定義、性質(zhì)。3、函數(shù)極限的定義： 。

21、函數(shù)極限的性質(zhì)：（1）如果函數(shù)則在點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)是有界的。（2）如果存在，那么這極限是唯一的。4、無(wú)窮小、無(wú)窮大：無(wú)窮?。?；無(wú)窮大：；無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)，無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系；無(wú)窮小階的比較。等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)與其在極限計(jì)算中的應(yīng)用。5、極限存在準(zhǔn)則、兩個(gè)重要極限：.6、函數(shù)的連續(xù)性與性質(zhì)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，如果如果，那么就稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。左連續(xù) ；右連續(xù) 。區(qū)間上連續(xù)函數(shù)：在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)稱為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。間斷點(diǎn)：有下列三種情形之一（1）在處無(wú)定義；（2）在有定義，但不存在；（3）在有定義，存在，但。則函數(shù)在點(diǎn)處間斷。間斷點(diǎn)分類：在間斷，與分別存在，則稱為的第一類間斷點(diǎn)，否則稱為第二類間斷點(diǎn)。 重要結(jié)論：基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間都是