幾何畫(huà)板在圓錐曲線(xiàn)習(xí)題中的應(yīng)用呂世瓊

1、幾何畫(huà)板在圓錐曲線(xiàn)習(xí)題中的應(yīng)用呂世瓊數(shù)信學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 10290133【摘要】隨著信息技術(shù)的高速發(fā)展，以及科學(xué)技術(shù)在教育領(lǐng)域中越來(lái)越廣泛的應(yīng)用，教師從事教育活動(dòng)的手段有了根本的改觀，作為新時(shí)代的數(shù)學(xué)老師，熟練掌握幾何畫(huà)板并將其應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中是非常必要的。本文就幾何畫(huà)板在圓錐曲線(xiàn)習(xí)題教學(xué)中做了一個(gè)簡(jiǎn)單的研究，對(duì)于部分有關(guān)的圓錐曲線(xiàn)的習(xí)題進(jìn)行分析研究，主要是利用幾何畫(huà)板進(jìn)行輔助解決，提高習(xí)題教學(xué)效率，也為中學(xué)教師提供參考?！娟P(guān)鍵詞】幾何畫(huà)板 圓錐曲線(xiàn) 習(xí)題教學(xué)在圓錐曲線(xiàn)方程這章中，一些與數(shù)形結(jié)合有關(guān)的題目等比較抽象，學(xué)生難以理解，且運(yùn)用代數(shù)方法運(yùn)算非常復(fù)雜，使用幾何畫(huà)板進(jìn)行輔助教學(xué)，

2、能夠拓寬學(xué)生的思維，通過(guò)幾何畫(huà)板的畫(huà)圖、計(jì)算等功能，給學(xué)生留下更為深刻的印象，使學(xué)生擺脫枯燥的數(shù)學(xué)。這樣既激發(fā)了學(xué)生的興趣，又大大提高了學(xué)習(xí)效率。本文將從圓錐曲線(xiàn)軌跡問(wèn)題、最值問(wèn)題進(jìn)行研究。1利用幾何畫(huà)板探究軌跡問(wèn)題圓錐曲線(xiàn)軌跡問(wèn)題是整個(gè)圓錐曲線(xiàn)章節(jié)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，在高考中所占比值也相對(duì)較大，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)在于抓住不變量，僅僅通過(guò)代數(shù)運(yùn)算有時(shí)很難發(fā)現(xiàn)其中的不變量，借助幾何畫(huà)板精確的畫(huà)圖、演示、計(jì)算功能有助于解決這方面的問(wèn)題，大大提高教學(xué)效率。例1 圓的半徑為定長(zhǎng)，是圓內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)和半徑相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是什么？為什么？當(dāng)定點(diǎn)在圓外時(shí)，點(diǎn)

3、的軌跡是什么？為什么？【制作目標(biāo)】動(dòng)態(tài)可視化的觀察、猜想、探究、發(fā)現(xiàn)圖形中的不變量。【方法步驟】（1） 構(gòu)造點(diǎn)，線(xiàn)段，以為圓心為半徑畫(huà)圓。（2） 在圓內(nèi)任取一點(diǎn)，圓上任取一點(diǎn)，構(gòu)造線(xiàn)段、。（3） 構(gòu)造線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交線(xiàn)段于，連接.（4） 追蹤的軌跡，如圖（1）。（5） 將點(diǎn)移動(dòng)到圓外，觀察軌跡，如圖（2）。圖（1）圖（2)設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)幾何畫(huà)板的直觀表現(xiàn)，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)圖像的觀察分析抓住圖中的不變量。為解題指明了方向，避免盲目的利用代數(shù)方法進(jìn)行運(yùn)算。當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，通過(guò)追蹤點(diǎn)的軌跡發(fā)現(xiàn)軌跡為橢圓。解題的關(guān)鍵在于抓住不變量+=+=.,即軌跡是以?xún)牲c(diǎn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓。當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，通過(guò)追蹤的軌

4、跡發(fā)現(xiàn)軌跡為雙曲線(xiàn)。通過(guò)對(duì)圖中各個(gè)量的觀察與分析，只要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)題中的不變量。即解題的關(guān)鍵在于抓住=.即軌跡為以?xún)牲c(diǎn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的雙曲線(xiàn)。例2 如圖，軸，當(dāng)點(diǎn)M在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且,當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡的情況，與高中數(shù)學(xué)選修2-1教材頁(yè)例2相比，你有什么發(fā)現(xiàn)？【制作目標(biāo)】動(dòng)態(tài)可視化的觀察、猜想以及推廣到一般情況?！痉椒ú襟E】（1） 選用螞蟻?zhàn)鴺?biāo)系，繪制點(diǎn)，構(gòu)造線(xiàn)段，度量其長(zhǎng)度，改標(biāo)簽為，以原點(diǎn)為中心，半徑構(gòu)造圓。（2） 在圓上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，交軸于點(diǎn)。（3） 構(gòu)造線(xiàn)段，度量其長(zhǎng)度，改標(biāo)簽為，分別度量點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，計(jì)算的值。（4） 繪制點(diǎn)，。（5） 追蹤點(diǎn)的軌

5、跡。圖（3）設(shè)計(jì)意圖：本題與教材例2非常相似，不同點(diǎn)在于的比值不同，由幾何畫(huà)板可知，兩題的結(jié)論相同，軌跡都為橢圓，如圖（3）。這時(shí)可以提出猜想，無(wú)論比值如何變，軌跡都為橢圓。如何驗(yàn)證這個(gè)猜想呢？這時(shí)可以改變的長(zhǎng)度，即的值就可以實(shí)現(xiàn)比值的改變。通過(guò)改變的長(zhǎng)度我們可以不難發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)的軌跡都為橢圓，當(dāng)?shù)闹敌∮?時(shí)，軌跡為焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于圓直徑的橢圓。當(dāng)?shù)闹档扔?時(shí)，軌跡就是圓。當(dāng)?shù)闹荡笥?時(shí)，軌跡為焦點(diǎn)在軸上，短軸長(zhǎng)等于圓直徑的橢圓。由此可見(jiàn)橢圓的軌跡方程由圓的半徑與的比值決定。那橢圓的軌跡方程與圓的半徑與的比值又有怎樣特殊的關(guān)系呢？經(jīng)由前面的討論我們已經(jīng)知道，當(dāng)?shù)闹敌∮?時(shí)，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)=，

6、那么只需要確定的值就可以確定橢圓的軌跡方程。當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，的長(zhǎng)即為橢圓的短半軸長(zhǎng)，即。同理，當(dāng)大于1時(shí)，有。綜上討論，對(duì)于這一類(lèi)型的題，點(diǎn)為以原點(diǎn)為中心為半徑的某圓上的一點(diǎn)，軸與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)M在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且,當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程。當(dāng)橢圓的軌跡方程為。當(dāng)時(shí)，橢圓的軌跡方程為例3 .求定點(diǎn)到定直線(xiàn)距離之比是的點(diǎn)的軌跡方程?！局谱髂繕?biāo)】動(dòng)態(tài)可視化的觀察、猜想、探究點(diǎn)的軌跡與之間的關(guān)系?！痉椒ú襟E】（1） 構(gòu)造線(xiàn)段、，分別度量其長(zhǎng)度，改標(biāo)簽為、。計(jì)算、的值。（2） 新建函數(shù)，構(gòu)造點(diǎn)。（3） 以點(diǎn)為圓心，為半徑構(gòu)造圓，新建函數(shù)、。（4） 構(gòu)造函數(shù)與函數(shù)分別與圓的交點(diǎn)并追蹤其軌跡。圖（4）

7、設(shè)計(jì)意圖：構(gòu)造到定點(diǎn)距離與到定直線(xiàn)距離之比等于某個(gè)常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，在構(gòu)造過(guò)程中，通過(guò)幾何畫(huà)板的直觀性，我們不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像與圓的交點(diǎn)到函數(shù)的距離為，交點(diǎn)在圓上，所以交點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為半徑。這樣就實(shí)現(xiàn)了到定點(diǎn)的距離與到定直線(xiàn)的距離之比為，即離心率。通過(guò)改變的長(zhǎng)度，即的值就可以觀察到滿(mǎn)足條件的點(diǎn)所形成的軌跡。通過(guò)改變或的值則軌跡的形狀有所變化。當(dāng)?shù)闹敌∮?時(shí)，軌跡為橢圓，當(dāng)?shù)闹荡笥?時(shí)，軌跡為雙曲線(xiàn)。當(dāng)?shù)闹档扔?時(shí)，軌跡為一條拋物線(xiàn)，如圖（4）。這樣不僅融合和了幾個(gè)習(xí)題，還統(tǒng)一了圓錐曲線(xiàn)的定義。通過(guò)幾何畫(huà)板的演示，我們發(fā)現(xiàn)軌跡的形狀是由，即離心率的值確定的，但是幾何畫(huà)板只能直觀的演示

8、，給解題指明方向或者是對(duì)結(jié)論的演示。對(duì)于求軌跡的方程不能給予嚴(yán)格的證明，這時(shí)就需要利用代數(shù)的方法進(jìn)行嚴(yán)格證明。到定點(diǎn)的距離與到定直線(xiàn)的距離之比為，化簡(jiǎn)得到。假設(shè)，當(dāng)時(shí)，再次化簡(jiǎn)得到，即雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程。當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得到，即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得到，為什么不是拋物線(xiàn)的方程呢？為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢？拋物線(xiàn)的定義是到定點(diǎn)的距離和到定直線(xiàn)（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)）距離相等的點(diǎn)的軌跡，不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，因此到定點(diǎn)的距離與到定直線(xiàn)的距離之比應(yīng)寫(xiě)為，化簡(jiǎn)得到，即拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程。例4 從雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)A引直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，求線(xiàn)段中點(diǎn)的軌跡方程。如果曲線(xiàn)為橢圓，軌跡又有怎樣的變化？【制作目標(biāo)】動(dòng)態(tài)可視化的觀察、猜想提供解題思

9、路。【方法步驟】（1） 構(gòu)造線(xiàn)段、 度量其距離并改標(biāo)簽為、。（2） 繪制點(diǎn)、。（3） 選擇自定義工具中圓錐曲線(xiàn)雙曲線(xiàn)/橢圓（焦點(diǎn)+離心率），以、為焦點(diǎn)，為離心率構(gòu)造曲線(xiàn)。（4） 構(gòu)造線(xiàn)段、度量其長(zhǎng)度并改標(biāo)簽為、,計(jì)算的值。、（5） 繪制點(diǎn)，過(guò)兩點(diǎn)構(gòu)造直線(xiàn)。（6） 在曲線(xiàn)上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，構(gòu)造線(xiàn)段的中點(diǎn)。（7） 選中點(diǎn)與點(diǎn)，構(gòu)造軌跡。（8） 改變的大小，觀察軌跡的變化。設(shè)計(jì)意圖：由于幾何畫(huà)板的缺陷，不能直接構(gòu)造某點(diǎn)到函數(shù)圖上的垂線(xiàn)，因此采用通過(guò)直線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)繪制直線(xiàn)。通過(guò)幾何畫(huà)板的直觀性觀察軌跡的變化，當(dāng)曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn)時(shí)，中點(diǎn)C的軌跡為雙曲線(xiàn)，如圖（5）。但幾何畫(huà)板只為題目

10、提供一個(gè)思路或者是結(jié)果的驗(yàn)證。具體求出軌跡的方程還需要結(jié)合代數(shù)的方法進(jìn)行解決。設(shè)中點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知B點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入方程中，得 又AB垂直于直線(xiàn)，故，由解方程組得的值，再將其帶入雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程中，得到關(guān)于的方程，即中點(diǎn)的軌跡方程。當(dāng)曲線(xiàn)為橢圓時(shí)，通過(guò)幾何畫(huà)板的直觀演示可知，中點(diǎn)的軌跡方程為橢圓，討論方法與雙曲線(xiàn)方法一致，可由學(xué)生自己討論。并讓學(xué)生下來(lái)討論，如果曲線(xiàn)為拋物線(xiàn)，中點(diǎn)的軌跡是否為拋物線(xiàn)，并驗(yàn)證結(jié)論。在此題的解題過(guò)程中即體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法，也培養(yǎng)了學(xué)生一定的探究能力。圖（5）圓錐曲線(xiàn)中關(guān)于求軌跡問(wèn)題在整個(gè)圓錐曲線(xiàn)章節(jié)所占比重比較大，也是高考的重點(diǎn)也是

11、熱點(diǎn)，因此掌握好軌跡問(wèn)題的解決方法非常重要。在圓錐曲線(xiàn)這章節(jié)中求軌跡問(wèn)題絕大多數(shù)軌跡是圓錐曲線(xiàn)，即橢圓、雙曲線(xiàn)或拋物線(xiàn)，有時(shí)候也會(huì)是圓。這時(shí)就必須把握好各種曲線(xiàn)的定義以及性質(zhì)，方便在解題前進(jìn)行判斷，為解題指明方向，避免盲目的計(jì)算。通過(guò)以上的幾個(gè)例題，我們可以發(fā)現(xiàn)比較簡(jiǎn)單的求軌跡問(wèn)題可以直接通過(guò)圓錐曲線(xiàn)定義來(lái)判斷，進(jìn)而進(jìn)行求解。這時(shí)的關(guān)鍵在于找到題目中的不變量。其次是通過(guò)圓錐曲線(xiàn)的第二定義進(jìn)行判斷，通常是與比值有關(guān)。這時(shí)就需要緊緊抓住圓錐曲線(xiàn)的第二定義，若比值沒(méi)有規(guī)定范圍，則還要進(jìn)行分類(lèi)討論。再則就是各種知識(shí)點(diǎn)混合，這就需要學(xué)生有將強(qiáng)的分析能力，有時(shí)候還會(huì)涉及到坐標(biāo)。但無(wú)論知識(shí)點(diǎn)再?gòu)?fù)雜，必須把握

12、住圓錐曲線(xiàn)的第一第二定義，這是解題的關(guān)鍵。2 利用幾何畫(huà)板探究圓錐曲線(xiàn)最值問(wèn)題圓錐曲線(xiàn)中最值的探索問(wèn)題在高考試題中出現(xiàn)頻率很大，且?guī)缀醵际菍で蠼鉀Q方法，復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算往往會(huì)讓不少同學(xué)望而卻步。幾何畫(huà)板作為優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教學(xué)軟件，同時(shí)也是我們研究最值問(wèn)題的有力武器。它使得最值問(wèn)題具體化、動(dòng)態(tài)化、形象化，能夠更直觀有效的解決問(wèn)題。下面結(jié)合集體案例給出借助幾何畫(huà)板探究圓錐曲線(xiàn)中最值問(wèn)題的構(gòu)造過(guò)程及其設(shè)計(jì)流程。例5已知點(diǎn)是雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，定點(diǎn)，是雙曲線(xiàn)右支上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為多少？ 若圓錐曲線(xiàn)為橢圓或者雙曲線(xiàn)，是否有最值，最值又為多少？ . 【制作目標(biāo)】動(dòng)態(tài)可視化的觀察、猜想、通過(guò)轉(zhuǎn)化觀察出取得最值時(shí)點(diǎn)的

13、特殊位置?！痉椒ú襟E】（1）構(gòu)造線(xiàn)段、 度量其距離并改標(biāo)簽為、。（2）繪制點(diǎn)、。（3）選擇自定義工具中圓錐曲線(xiàn)A雙曲線(xiàn)/橢圓（焦點(diǎn)+離心率），以、為焦點(diǎn)，為離心率構(gòu)造曲線(xiàn)。（4）任取雙曲線(xiàn)外一點(diǎn),曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，連接、，并度量其長(zhǎng)度。計(jì)算的值，移動(dòng)點(diǎn) 觀察隨移動(dòng)的值。圖（6）設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)幾何畫(huà)板的直觀性，通過(guò)移動(dòng)點(diǎn)P可以直觀的觀察出的最小值，但是通過(guò)幾何畫(huà)板所得到的最小值并不能作為我們的結(jié)論，它存在一定的誤差，且沒(méi)有嚴(yán)格的說(shuō)服理由。但他能為我們的解題提供可視化的猜想。當(dāng)處于最小值時(shí)，點(diǎn)的位置有什么特殊嗎？通過(guò)直觀的觀察，當(dāng)點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)外部時(shí)，當(dāng)處于最小值時(shí)，點(diǎn)、位于通一條直線(xiàn)上，即圖（6）所

14、示。因此我們猜想當(dāng)點(diǎn)、共線(xiàn)時(shí)，的值最小。如何證明我們的猜想呢？我們要緊緊抓住三點(diǎn)共線(xiàn)，三點(diǎn)共線(xiàn)可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系的值最小，最終求得是的最小值，我們可以再次轉(zhuǎn)化，=2a+，因此當(dāng)點(diǎn)、位于通一條直線(xiàn)上時(shí)，的值最小，即的值最小。當(dāng)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)內(nèi)部時(shí)，當(dāng)點(diǎn)、共線(xiàn)時(shí)，當(dāng)曲線(xiàn)為橢圓時(shí)，只需改變線(xiàn)段的長(zhǎng)度，即的大小。當(dāng)A點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上移動(dòng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)、共線(xiàn)時(shí)，有最大值與最小值。如何證明猜想呢？這時(shí)我們也必須引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜想與轉(zhuǎn)化，=,當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，有最小值，=，即點(diǎn)、共線(xiàn)且處于圖（7）位置時(shí)。圖（7）同理，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，有最大值，=,即點(diǎn)、共線(xiàn)且處于圖（8）位置時(shí)。圖（8）當(dāng)點(diǎn)在橢圓外時(shí)，當(dāng)點(diǎn)、共線(xiàn)時(shí)

15、，即有最小值。圖（9）當(dāng)圓錐曲線(xiàn)為拋物線(xiàn)時(shí),點(diǎn)在拋物線(xiàn)內(nèi)。【方法步驟】（1） 利用自定義工具中拋物線(xiàn)（焦點(diǎn)+準(zhǔn)線(xiàn)）畫(huà)出拋物線(xiàn)。（2） 任取拋物線(xiàn)內(nèi)一點(diǎn)，拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，連接、，并分別度量其長(zhǎng)度。（3） 過(guò)點(diǎn)作拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為（4） 計(jì)算的值。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)幾何畫(huà)板的直觀性，通過(guò)移動(dòng)點(diǎn)可以直觀的觀察出的最小值，這是點(diǎn)、三點(diǎn)的位置并沒(méi)有特殊之處，這是就需要利用拋物線(xiàn)的性質(zhì)，將點(diǎn)到點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，這時(shí)不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)、共線(xiàn)時(shí)，如圖（10）。=有最小值。圖（10）當(dāng)點(diǎn)在拋物線(xiàn)外時(shí)，點(diǎn)、共線(xiàn)時(shí)，如圖（11），有最小值。圖（11）變式：【的最小值】其中，點(diǎn)為曲線(xiàn)橢圓，雙曲線(xiàn)或拋物線(xiàn)）內(nèi)一定

16、點(diǎn)（異于焦點(diǎn)），是曲線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)，是曲線(xiàn)C的離心率。分析：由雙曲線(xiàn)的第二定義知等于雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)P到左準(zhǔn)線(xiàn)的距離，從而=+，由圖知，當(dāng)、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，+取得最小值，即有最小值。例6 求橢圓上某點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最大值與最小值，并求出取得最值時(shí)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)。【制作目標(biāo)】動(dòng)態(tài)可視化的觀察、猜想、找出取得最值時(shí)點(diǎn)所處的特殊位置.【方法步驟】（1）構(gòu)造線(xiàn)段、度量其距離并改標(biāo)簽為、。（2）繪制點(diǎn)、。（3）選擇自定義工具中圓錐曲線(xiàn)雙曲線(xiàn)/橢圓（焦點(diǎn)+離心率），以、為焦點(diǎn)，為離心率構(gòu)造曲線(xiàn)。（4）構(gòu)造線(xiàn)段、度量其長(zhǎng)度并改標(biāo)簽為、繪制點(diǎn)，過(guò)兩點(diǎn)構(gòu)造直線(xiàn)。(5)在曲線(xiàn)上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，

17、垂足為.(6)過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的平行線(xiàn)，再作直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)、并度量線(xiàn)段的長(zhǎng)度。設(shè)計(jì)意圖：在課件制作過(guò)程中必須保證直線(xiàn)與橢圓不相交，本題直接通過(guò)幾何畫(huà)板很難發(fā)現(xiàn)點(diǎn)到直線(xiàn)左端距離時(shí)，點(diǎn)的特殊位置，因此需要轉(zhuǎn)化為求直線(xiàn)到直線(xiàn)之間的距離，因此過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的平行線(xiàn)，這時(shí)直線(xiàn)可能與橢圓不止一個(gè)焦點(diǎn)，通過(guò)移動(dòng)點(diǎn)，我們不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)取得最大小值時(shí) ，兩個(gè)交點(diǎn)重合，即直線(xiàn)與橢圓相切時(shí)，線(xiàn)段取得最值。為了計(jì)算方便下面我們討論橢圓方程為，直線(xiàn)：方程為時(shí)線(xiàn)段最值的求法。有幾何畫(huà)板提供的思路我們知道當(dāng)直線(xiàn)與橢圓相切時(shí)有最值，即設(shè)的方程為，求得到，得，即直線(xiàn)的方程為，因此線(xiàn)段的距離，取得最值時(shí)的坐標(biāo)即求方程與方程的解，最后求得結(jié)果

18、。這時(shí)，可以將此題進(jìn)行推廣，當(dāng)圓錐曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn)或者拋物線(xiàn)時(shí)，應(yīng)該怎樣解決。這時(shí)可以改變的大小進(jìn)行觀察，由幾何畫(huà)板可以看出當(dāng)兩個(gè)交點(diǎn)重合時(shí)有最小值，沒(méi)有最大值，具體的求解方法讓同學(xué)們類(lèi)比推廣前的而方法進(jìn)行求解。圖（12）圖（13）最值問(wèn)題貫穿整個(gè)高中課程，不僅僅是在圓錐曲線(xiàn)這一章節(jié)，由此可見(jiàn)最值問(wèn)題的重要性。在圓錐曲線(xiàn)這一章節(jié)中的最值問(wèn)題，關(guān)鍵點(diǎn)在于把握好各類(lèi)圓錐曲線(xiàn)的定義與性質(zhì)，將所求問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化。一般情況下在取得最值的時(shí)候點(diǎn)所處位置比較特殊。如例5所示，將求的最值通過(guò)定義轉(zhuǎn)化為求得最值，這時(shí)點(diǎn)、共線(xiàn)時(shí)。如例6所示，當(dāng)取得最值時(shí)，兩個(gè)交點(diǎn)重合。所以求最值為題關(guān)鍵在于找到特殊位置。在平時(shí)練習(xí)中多

19、注意多總結(jié)，在高考中將節(jié)約大量的時(shí)間。在這個(gè)信息時(shí)代，教師要與時(shí)俱進(jìn)，單純的黑板講課已經(jīng)過(guò)時(shí)，我們必須利用好身邊的資源。幾何畫(huà)板在教師教學(xué)中起到了不可忽視的重要作用，因此教師應(yīng)重視提高幾何畫(huà)板操作技術(shù)水平和應(yīng)用能力，有針對(duì)性地利用幾何畫(huà)板來(lái)化解數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)難點(diǎn)。幾何畫(huà)板在輔助圓錐曲線(xiàn)習(xí)題教學(xué)中要以新課程的基本理念為指導(dǎo)，根據(jù)實(shí)際情況有效的進(jìn)行教學(xué)。需要把握好數(shù)形結(jié)合的原則，引起學(xué)生的興趣，發(fā)展學(xué)生的思維，同時(shí)應(yīng)注意幾何畫(huà)板只是起輔助作用而不能替代上課。當(dāng)然幾何畫(huà)板在整個(gè)高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，比如在立體幾何、函數(shù)等方面。本文采取選用例題進(jìn)行分析演示，但由于選用例題數(shù)量較少且只選取了軌跡與

20、最值兩個(gè)方面進(jìn)行分析，在研究過(guò)程中存在著不足和疏漏，若能全面的詳細(xì)的研究，相信對(duì)于整個(gè)圓錐曲線(xiàn)的教學(xué)將起到很大的作用【參考文獻(xiàn)】1葛建華.借助幾何畫(huà)板探究解幾定點(diǎn)定值問(wèn)題.中小學(xué)教學(xué)研究,2013年.12期.第1頁(yè) 2陶丹.幾何畫(huà)板在圓錐曲線(xiàn)中的應(yīng)用研究.中國(guó)期刊網(wǎng),2006年.第9頁(yè) 3潘輝.幾何畫(huà)板在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.飛（素質(zhì)教育版），2013年.9期.第2頁(yè) 4中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書(shū)（數(shù)學(xué)選修 2-1）.人民教育出版社，2011年 5劉勝利.幾何畫(huà)板課件制作教程.科學(xué)出版社，2010年.第三版 6 薛均東.幾何畫(huà)板輔助初三集幾何動(dòng)態(tài)有效教學(xué)的研究，2009年.第54頁(yè) 7張洪杰.幾何畫(huà)板優(yōu)化圓錐曲線(xiàn)統(tǒng)一定義.數(shù)學(xué)通報(bào)，2001年.5期.第1頁(yè) 8陳忠藝.圓錐曲線(xiàn)的最值問(wèn)題與幾何畫(huà)板整合案例研究。新課程學(xué)習(xí)（學(xué)術(shù)教育），2011年.5期.第1頁(yè) 9黃偉巍.探究幾何畫(huà)板在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的妙用.語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)（數(shù)學(xué)教育），2012年.4期.第1頁(yè) 10楊建聞.運(yùn)用“幾何畫(huà)板”優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)方法.中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2012年.15期.第1頁(yè)The appl