二項式展開式性質(zhì)

1、二項式定理性質(zhì)對于對于（a+b）n =的展開式有哪些項？的展開式有哪些項？()()()nab abab 個個(a+b)n = an+ an-1b+ an-2b2+ an-rbr+ bn0nC1nC2nCrnCnnC二項式定理二項式定理右邊的多項式叫做右邊的多項式叫做 (a+b)n 的的二項展開式二項展開式,它一共有它一共有 n+1 項項.其中各項系數(shù)其中各項系數(shù) Cnr (r=0, 1, 2, , n)叫做叫做二項式系數(shù)二項式系數(shù)式中的項式中的項 Cnr an-rbr 叫做二項展開式的叫做二項展開式的通項通項,是第是第r+1 項項,記作記作 Tr+1即即 Tr+1= Cnr an-rbr (r

2、=0, 1, 2, , n)稱為稱為二項展開式的通項公式二項展開式的通項公式 (1)展開式展開式各項中各項中a、 b的指數(shù)及各項系數(shù)的遞變規(guī)律的指數(shù)及各項系數(shù)的遞變規(guī)律.但指數(shù)和為但指數(shù)和為n (2)通項公式通項公式中中a、 b的指數(shù)及其系數(shù)和所在項數(shù)之間的關(guān)系的指數(shù)及其系數(shù)和所在項數(shù)之間的關(guān)系.試一試：試一試：寫出寫出 (1+x)n 的展開式及其通項公式。的展開式及其通項公式。011()nnnrn rrnnnnnnabC aC abC abC b 總結(jié)總結(jié)1.二項式系數(shù)規(guī)律：二項式系數(shù)規(guī)律：012nnnnnCCCC 、 、2.指數(shù)規(guī)律：指數(shù)規(guī)律：（1）各項的次數(shù)均為）各項的次數(shù)均為n；（2）

3、二項和的第一項）二項和的第一項a的次數(shù)由的次數(shù)由n降到降到0， 第二項第二項b的次數(shù)由的次數(shù)由0升到升到n.3.項數(shù)規(guī)律：項數(shù)規(guī)律：兩項和的兩項和的n次冪的展開式共有次冪的展開式共有n+1個項個項定理特征定理特征二項式定理：二項式定理：4.通項公式：通項公式：Tr+1= Cnr an-rbr (r=0, 1, 2, , n)*()nN ()nab 右邊的多項式叫做的右邊的多項式叫做的 展開式展開式解解: :412233444444111111)1()()()()CCCCxxxxx （23446411.xxxx 第三項的二項式系數(shù)為第三項的二項式系數(shù)為2615C ，第三項的系數(shù)為，第三項的系數(shù)為

4、240.rnC項的系數(shù)：項的系數(shù)：該項所有常數(shù)因子的積該項所有常數(shù)因子的積. .二項式系數(shù)：二項式系數(shù)：xxxxxCTT24012256)1()2(242426123 的展開式的展開式例：求（例：求（4)x項的系數(shù)項的系數(shù)及第及第項的二式系項數(shù)項的二式系項數(shù)展開式中第展開式中第例：例：33)12(6xx 例：例： 的展開式常數(shù)項的展開式常數(shù)項 93()3xx1999219931( )()( )333rrrrrrrrrxTCCxx 06.rr1由9-r-得269 66791( )322683TC解解:通項公式：通項公式：Tr+1= Cnr an-rbr (r=0, 1, 2, , n)的項的項展

5、開式中含展開式中含變式：求（變式：求（392)1xxx 練習(xí)：練習(xí)：1 1、求、求 的展開式的中間兩項的展開式的中間兩項 93()3xx解解:展開式共有展開式共有10項項,中間兩項是第中間兩項是第5、6項。項。49 44354 193( )()423xTTCxx359 55265 193( )()423xTTCxxnxx)2. 22 已知（已知（的展開式中，第項的二項式系數(shù)與第項的二項式系數(shù)之比是：，求展開式中的第項因此，因此，當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時為偶數(shù)時，中間一項的二項式，中間一項的二項式系數(shù)系數(shù)2Cnn取得最大值；取得最大值；當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)，中間兩項的二項式系數(shù) 、

6、12Cnn 12Cnn 相等，且同時取得最大值。相等，且同時取得最大值。011 1()()nnnrn rrn nnnnna bC aC abC abC b nN （1 1）對稱性）對稱性 與首末兩端與首末兩端“等距離等距離”的兩個二項式系數(shù)相的兩個二項式系數(shù)相等等（2 2）增減性與最大值）增減性與最大值 二項式系數(shù)二項式系數(shù)前前半部分是半部分是逐漸增大逐漸增大的，的，由對稱性可知它的由對稱性可知它的后后半部分是半部分是逐漸減小逐漸減小的，的，且且中間項取得最大值中間項取得最大值。 （3 3）各二項式系數(shù)的和）各二項式系數(shù)的和 012CCCC2nnnnnn且奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和2n-1解解:例：已知（例：已知（x)n展開式中展開式中x2 的系數(shù)等于的系數(shù)等于x的系數(shù)的倍，求二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)的倍，求二項式系數(shù)最大的項解解:例例2：已知（：已知（x)n展開式中展開式中二項式二項式系數(shù)和系數(shù)和及所有項的系數(shù)之和及所有項的系數(shù)之和變式：變式：已知已知（， 求求 ( 1 )奇次項的二項式系數(shù)之和奇次項的二項式系數(shù)之和（2）a0+a1+a2+a3a4+a5a6的值的值（3）a1+a2+a3a4+a5a6二項式系數(shù)二項式系數(shù)前前半部分是半部分是逐漸增大逐漸增大的，的，特值思想、不可忽視特值思想、不可忽視二項式定理對任意的數(shù)二項式定理對任意的數(shù)a、b都成都成立，