1、3__空間幾何體的表面積與體積

1、1. 柱體、錐體、臺體的表面積柱體、錐體、臺體的表面積正方體、長方體的表面積就是各個面的面積之和。正方體、長方體的表面積就是各個面的面積之和。探究探究 棱柱、棱錐、棱臺也是由多個平面圖形棱柱、棱錐、棱臺也是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的展開圖是什么？如圍成的幾何體，它們的展開圖是什么？如何計算它們的表面積？何計算它們的表面積？棱柱的側(cè)面展開圖棱柱的側(cè)面展開圖是由平行四邊形組成的平面圖是由平行四邊形組成的平面圖形形，棱錐的側(cè)面展開圖棱錐的側(cè)面展開圖是由三角形組成的平面圖是由三角形組成的平面圖形形，棱臺的側(cè)面展開圖棱臺的側(cè)面展開圖是由梯形組成的平面圖形。是由梯形組成的平面圖形。這樣，求它們的表

2、面積的問題就可轉(zhuǎn)化為求平行這樣，求它們的表面積的問題就可轉(zhuǎn)化為求平行四邊形、三角形、梯形的面積問題。四邊形、三角形、梯形的面積問題。.),(,1求它的表面積如下圖面體四各面均為等邊三角形的、已知棱長為例ABCSaSBACD圓柱的展開圖是一個圓柱的展開圖是一個矩形矩形：如果圓柱的底面半徑為如果圓柱的底面半徑為 ，母線為，母線為 ，那么圓柱，那么圓柱的底面積為的底面積為 ，側(cè)面積為，側(cè)面積為 。因此圓柱的。因此圓柱的表面積為表面積為rl2rrl2)(2222lrrrlrSOO圓錐的展開圖是一個圓錐的展開圖是一個扇形扇形： 如果圓柱的底面半徑為如果圓柱的底面半徑為 ，母線為，母線為 ，那么，那么它的

3、表面積為它的表面積為rl)(2lrrrlrSO Sr2圓臺的展開圖是一個圓臺的展開圖是一個扇環(huán)扇環(huán)，它的表面積等于上、，它的表面積等于上、下兩個底面和加上側(cè)面的面積，即下兩個底面和加上側(cè)面的面積，即)(22 rllrrrSOO2 rr2?)1,14. 3(.15,5 . 1,15,20, 2cmcmcmcmcm結(jié)果精確到取多少平方厘米那么花盆的表面積約是盆壁長底部滲水圓孔直徑為直徑為盆底一個圓臺形花盆直徑為如下圖例15cm10cm7.5cm柱體、錐體、臺體的體積柱體、錐體、臺體的體積正方體、長方體，以及圓柱的體積公式可以統(tǒng)正方體、長方體，以及圓柱的體積公式可以統(tǒng)一為：一為：V = Sh（S為底

4、面面積，為底面面積，h為高）為高）一般棱柱的體積公式也是一般棱柱的體積公式也是V = Sh，其中，其中S為為底面面積，底面面積，h為高。為高。棱錐的體積公式也是棱錐的體積公式也是 ，其中，其中S為底為底面面積，面面積，h為高。為高。即它是同底同高的圓柱的體積的即它是同底同高的圓柱的體積的 。ShS3131探究探究探究棱錐與同底等高的棱柱體積之間的關(guān)系？探究棱錐與同底等高的棱柱體積之間的關(guān)系？圓臺圓臺(棱臺棱臺)的體積公式：的體積公式：hSSSSV)(31其是其是S，S分別為上底面面積，分別為上底面面積，h為圓臺（棱臺）高。為圓臺（棱臺）高。?)14. 3(,10,10,12,8 . 5)()/

5、8 . 7( 33取大約有多少個問這堆螺帽高為內(nèi)孔直徑邊長為已知底面是正六邊形共重如下圖六角螺帽鐵的密度是有一堆規(guī)格相同的鐵制例mmmmmmkgcmg練習(xí)練習(xí)1 . 若一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，若一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，則這個圓柱的全面積與側(cè)面積的比是則這個圓柱的全面積與側(cè)面積的比是（ ）A . B . C . D . 221 441 21 241 A2 . 已知圓錐的全面積是底面積的已知圓錐的全面積是底面積的3倍，那么這個倍，那么這個圓錐的側(cè)面積展開圖圓錐的側(cè)面積展開圖-扇形的圓心角為扇形的圓心角為_度度180小結(jié)小結(jié)本節(jié)課主要介紹了求幾何體的表面積的方法：本節(jié)課主要介紹了

6、求幾何體的表面積的方法： 將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題， 利用平面圖形求面積的方法求立體圖利用平面圖形求面積的方法求立體圖 形的表面積形的表面積球面：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面。球面：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面。球球( (即球體即球體):):球面所圍成的幾何體。球面所圍成的幾何體。它包括它包括球面球面和和球面所包圍的空間球面所包圍的空間。半徑是半徑是R R的球的體積：的球的體積：推導(dǎo)方法推導(dǎo)方法：334RV 分割分割求近似和求近似和化為準確和化為準確和復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧第一步：分割第一步：分割O O球面被分割成球面被分割成n n個網(wǎng)格

7、，個網(wǎng)格， 表面積分別為：表面積分別為：nSSSS.321，則球的表面積：則球的表面積：nSSSSS.321則球的體積為：則球的體積為：設(shè)設(shè)“小錐體小錐體”的體積為：的體積為：iViVnVVVVV.321iSO O2 2、球的表面積、球的表面積O O第二步：求近似和第二步：求近似和O Oih由第一步得：由第一步得：nVVVVV.321nnhShShShSV31313131332211.iiihSV31iSiV第三步：轉(zhuǎn)化為球的表面積第三步：轉(zhuǎn)化為球的表面積RSVii31 如果網(wǎng)格分的越細如果網(wǎng)格分的越細, ,則則: :RSRSRSRSVni3131313132.RSSSSSRni313132)

8、.( 由由 得得: :334RV 球的體積球的體積: :2 24 4R RS S iSiVih的值就趨向于球的半徑的值就趨向于球的半徑R RRihiSO OiV“小錐體小錐體”就越接近小棱錐。就越接近小棱錐。(1)(1)若球的表面積變?yōu)樵瓉淼娜羟虻谋砻娣e變?yōu)樵瓉淼? 2倍倍, ,則半徑變?yōu)樵瓉淼膭t半徑變?yōu)樵瓉淼谋丁１丁?2)(2)若球半徑變?yōu)樵瓉淼娜羟虬霃阶優(yōu)樵瓉淼? 2倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼谋?，則表面積變?yōu)樵瓉淼谋?。倍?3)(3)若兩球表面積之比為若兩球表面積之比為1:21:2，則其體積之比是，則其體積之比是。(4)(4)若兩球體積之比是若兩球體積之比是1:21:2，則其表面積之比是，則其

9、表面積之比是。練習(xí)一：練習(xí)一：2422:134:1例例1 1、如圖表示一個用鮮、如圖表示一個用鮮花作成的花柱，它的下面花作成的花柱，它的下面是一個直徑為是一個直徑為1m1m、高為、高為3m3m的圓柱形物體，上面是一的圓柱形物體，上面是一個半球形體。如果每平方個半球形體。如果每平方米大約需要鮮花米大約需要鮮花150150朵，朵，那么裝飾這個花柱大約需那么裝飾這個花柱大約需要多少朵鮮花（要多少朵鮮花（取取3.1)3.1)？例例2.2.如圖，正方體如圖，正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱長為的棱長為a,a,它的各個它的各個頂點都在球頂點都在球O O的球面上，

10、問球的球面上，問球O O的表面積。的表面積。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對稱圖形可分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對角線與球的直徑相等。知，它們中心重合，則正方體對角線與球的直徑相等。略解：2222211113423,)2()2(22:aRSaRaaRaDBRDBDDBRt得得：，中中變題變題1.1.如果球如果球O O和這個正方體的六個面都相切，則有和這個正方體的六個面都相切，

11、則有S=S=。變題變題2.2.如果球如果球O O和這個正方體的各條棱都相切，則有和這個正方體的各條棱都相切，則有S=S=。2a2 2 a 關(guān)鍵關(guān)鍵：找正方體的棱長找正方體的棱長a a與球半徑與球半徑R R之間的關(guān)系之間的關(guān)系試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷鋼球是實心的還是空心試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷鋼球是實心的還是空心的。如果是空心的，請你計算出它的內(nèi)徑（的。如果是空心的，請你計算出它的內(nèi)徑（取取3.143.14，結(jié)果精確到，結(jié)果精確到1cm1cm）。）。例例3、有三個球、有三個球,一球切于正方體的各面一球切于正方體的各面,一一球切于正方體的各側(cè)棱球切于正方體的各側(cè)棱,一球過正方體的一球過正方體的各頂點各頂點,求這三個球的體積之比求這三個球的體積之比.作軸截面作軸截面1.球的直徑伸長為原來的球的直徑伸長為原來的2倍倍,體積