第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限ppt課件

1、長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué)第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限一一 、準(zhǔn)則、準(zhǔn)則I I及第一個(gè)重要極限及第一個(gè)重要極限二、準(zhǔn)則二、準(zhǔn)則IIII及第二個(gè)重要極限及第二個(gè)重要極限長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué)一、準(zhǔn)則I及第一個(gè)重要極限 如果數(shù)列如果數(shù)列xn、yn及及zn滿足下列條件滿足下列條件 (1)ynxnzn(n=1 2 3 ) 原則 I 準(zhǔn)則I 如果函數(shù)f(x)、g(x)及h(x)滿足下列條件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)A lim h(x)A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)A (2)aynn=lim, aznn=lim, 那么數(shù)列xn

2、 的極限存在, 且axnn=lim. 長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué)證證,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN ,1 ayNnn時(shí)時(shí)恒恒有有當(dāng)當(dāng),2 azNnn時(shí)時(shí)恒恒有有當(dāng)當(dāng) 如果數(shù)列如果數(shù)列xn、yn及及zn滿足下列條件滿足下列條件 (1)ynxnzn(n=1 2 3 ) 原則 I (2)aynn=lim, aznn=lim, 那么數(shù)列xn 的極限存在, 且axnn=lim. 上兩式同時(shí)成立上兩式同時(shí)成立, , ayan即即, azan恒恒有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),Nn , azxyannn,成立成立即即 axnlim.nnxa=,max21NNN = =取取長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué)1sincosx

3、xx圓扇形AOB的面積1sinlim. 10=xxx證證: 當(dāng)當(dāng)即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x時(shí)，)0(2 x, 1coslim0=xx1sinlim0=xxx顯然有AOB 的面積AOD的面積DCBAx1oxxxcos1sin1故有第一個(gè)重要極限長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué)當(dāng)20 x時(shí)xxcos1cos10=2sin22x=222x22x=0)cos1(lim0=xx注注返回長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué)注: 這是因?yàn)?令u=a(x) 則u0 于是 在極限)()(sinlimxx中, 只要(x)是無(wú)窮小, 就有 1)()(sinlim=xx. )()(sinli

4、mxx1sinlim0=uuu. 第一個(gè)重要極限1sinlim0=xxx. 長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué)例例1. 求求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0=xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0=xxcos1lim01=例例2. 求求.arcsinlim0 xxx解解: 令令,arcsin xt =那么,sintx =因而原式tttsinlim0= 1lim0=tttsin1=長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué)20cos1limxxx 解解 例例3 例例 2. . 求20cos1limxxx. 2112122sinlim21220=xxx2112122sinlim21220=xxx

5、. 20cos1limxxx=220220)2(2sinlim212sin2limxxxxxx=220220)2(2sinlim212sin2limxxxxxx= 例例4 3231limsin21xxxxx 解解 3231limsin21xxxxx22(31)1limsin21xxxxx=22(31)1 1lim(sin/)21xxxxx=32=長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué)二、準(zhǔn)則II及第二個(gè)重要極限M準(zhǔn)則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限 準(zhǔn)則II的幾何解釋x1x5x4x3x2xnA 以單調(diào)增加數(shù)列為例 數(shù)列的點(diǎn)只可能向右一個(gè)方向挪動(dòng) 或者無(wú)限向右移動(dòng) 或者無(wú)限趨近于某一定點(diǎn)A 而對(duì)有界數(shù)列只可能后者情況

6、發(fā)生 準(zhǔn)則準(zhǔn)則.)()()(000必必定定存存在在的的左左極極限限在在則則且且有有界界的的某某個(gè)個(gè)左左領(lǐng)領(lǐng)域域內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)并并在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) xfxxfxxf長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué)第二個(gè)重要極限exxx=)11 (lim, 我們還可以證明這就是第二個(gè)重要極限根據(jù)準(zhǔn)則II 數(shù)列xn必有極限, 此極限用e來(lái)表示, 即ennn=)11 (lim. 可以證明 (2)xn3. (1)xnxn+1 nN 設(shè)nnnx)11 ( =, 注: 在極限)(1)(1limxx中, 只要(x)是無(wú)窮小, 就有 exx=)(1)(1lim. 長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 解 exxx=)11 (lim, exx=)(1

7、)(1lim(x)0). 例例5 例例 3. . 求xxx)11 (lim. 令t=-x 則x 時(shí) t 于是 xxx)11 (lim ttt=)11 (limettt1)11 (1lim=xxx)11 (lim ttt=)11 (limettt1)11 (1lim=xxx)11 (lim ttt=)11 (limettt1)11 (1lim=xxx)11 (lim ttt=)11 (limettt1)11 (1lim=. 或 ) 1()11 (lim)11 (lim=xxxxxx11)11 (lim=exxx) 1()11 (lim)11 (lim=xxxxxx 11)11 (lim=exxx. 長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué)exxx=)11 (lim, exx=)(1)(1lim(x)0). 例例6 10lim(1 sin2 )xxx 解解: 10lim(1 sin2 )xxx1sin2sin20lim(1 sin2 )xxxxx=2.e=