復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)及其幾何表示ppt課件

1、NAOzA2 2 主講教師：趙景霞主講教師：趙景霞E-mail: 3 3研究對(duì)象研究對(duì)象 復(fù)變函數(shù)（自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)）復(fù)變函數(shù)（自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)）主要任務(wù)主要任務(wù)研究復(fù)變數(shù)之間的相互依賴關(guān)系，研究復(fù)變數(shù)之間的相互依賴關(guān)系，具體地就是復(fù)數(shù)域上的微積分。具體地就是復(fù)數(shù)域上的微積分。主要內(nèi)容主要內(nèi)容復(fù)變函數(shù)的積分、級(jí)數(shù)、留數(shù)等。復(fù)變函數(shù)的積分、級(jí)數(shù)、留數(shù)等。復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、課程基本介紹課程基本介紹4 4學(xué)習(xí)方法復(fù)變函數(shù)中許多概念、理論、和方法是復(fù)變函數(shù)中許多概念、理論、和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣和發(fā)展，它實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣和發(fā)展，它們之間有許多相似

2、之處。但又有不同之們之間有許多相似之處。但又有不同之處，在學(xué)習(xí)中要善于比較、區(qū)別、特別處，在學(xué)習(xí)中要善于比較、區(qū)別、特別要注意復(fù)數(shù)域上特有的那些性質(zhì)與結(jié)果。要注意復(fù)數(shù)域上特有的那些性質(zhì)與結(jié)果。5 5復(fù)變函數(shù)的發(fā)展過程復(fù)變函數(shù)的發(fā)展過程復(fù)數(shù)是十六世紀(jì)人們在解代數(shù)方程時(shí)引復(fù)數(shù)是十六世紀(jì)人們在解代數(shù)方程時(shí)引進(jìn)的。為使負(fù)數(shù)開方有意義，需要再一次擴(kuò)進(jìn)的。為使負(fù)數(shù)開方有意義，需要再一次擴(kuò)大數(shù)系，使實(shí)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域。但在十八大數(shù)系，使實(shí)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域。但在十八世紀(jì)以前，由于對(duì)復(fù)數(shù)的概念及性質(zhì)了解得世紀(jì)以前，由于對(duì)復(fù)數(shù)的概念及性質(zhì)了解得不清楚，用它們進(jìn)行計(jì)算又得到一些矛盾，不清楚，用它們進(jìn)行計(jì)算又得到一些

3、矛盾，所以，在歷史上長時(shí)期人們把復(fù)數(shù)看作不能所以，在歷史上長時(shí)期人們把復(fù)數(shù)看作不能接受的接受的“虛數(shù)虛數(shù)”。6 6 直到十八世紀(jì)，直到十八世紀(jì)，J.DAlembert(1717-1783)與與L.Euler(1707-1783)等人逐步闡明了復(fù)數(shù)的等人逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義和物理意義，澄清了復(fù)數(shù)的概念，幾何意義和物理意義，澄清了復(fù)數(shù)的概念，并且應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)研究了流體力學(xué)等并且應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)研究了流體力學(xué)等方面的一些問題，復(fù)數(shù)才被人們廣泛承認(rèn)接方面的一些問題，復(fù)數(shù)才被人們廣泛承認(rèn)接受，復(fù)變函數(shù)論才能順利建立和發(fā)展。受，復(fù)變函數(shù)論才能順利建立和發(fā)展。復(fù)變函數(shù)的發(fā)展過程復(fù)變函數(shù)的發(fā)展過程

4、7 7復(fù)變函數(shù)的發(fā)展過程復(fù)變函數(shù)的發(fā)展過程1774年，歐拉在他的一篇論文中考慮了由年，歐拉在他的一篇論文中考慮了由復(fù)變函數(shù)的積分導(dǎo)出的兩個(gè)方程。比他更早復(fù)變函數(shù)的積分導(dǎo)出的兩個(gè)方程。比他更早時(shí)，法國數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾在他的關(guān)于流體力時(shí)，法國數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾在他的關(guān)于流體力學(xué)的論文中，就已經(jīng)得到了它們。因此，后學(xué)的論文中，就已經(jīng)得到了它們。因此，后來人們提到這兩個(gè)方程，把它們叫做來人們提到這兩個(gè)方程，把它們叫做“達(dá)朗達(dá)朗貝爾貝爾-歐拉方程歐拉方程”。到了十九世紀(jì)，上述兩個(gè)。到了十九世紀(jì)，上述兩個(gè)方程在柯西和黎曼研究流體力學(xué)時(shí)，作了更方程在柯西和黎曼研究流體力學(xué)時(shí)，作了更詳細(xì)的研究，所以這兩個(gè)方程也被叫

5、做詳細(xì)的研究，所以這兩個(gè)方程也被叫做“柯柯西西-黎曼條件黎曼條件”。8 8復(fù)變函數(shù)論的全面發(fā)展是在十九世紀(jì)，復(fù)變函數(shù)論的全面發(fā)展是在十九世紀(jì)，就像微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了十八世紀(jì)的數(shù)就像微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)那樣，復(fù)變函數(shù)這個(gè)新的分支統(tǒng)治了十九學(xué)那樣，復(fù)變函數(shù)這個(gè)新的分支統(tǒng)治了十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)。當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家公認(rèn)復(fù)變函數(shù)論世紀(jì)的數(shù)學(xué)。當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家公認(rèn)復(fù)變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學(xué)分支，并且稱為這個(gè)世紀(jì)的是最豐饒的數(shù)學(xué)分支，并且稱為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受，也有人稱贊它是抽象科學(xué)中最和數(shù)學(xué)享受，也有人稱贊它是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一。諧的理論之一。復(fù)變函數(shù)的發(fā)展過程復(fù)變函數(shù)的發(fā)展過程9 9二十世紀(jì)

6、以來，復(fù)變函數(shù)已被廣泛地應(yīng)二十世紀(jì)以來，復(fù)變函數(shù)已被廣泛地應(yīng)用在理論物理、彈性理論和天體力學(xué)等方面，用在理論物理、彈性理論和天體力學(xué)等方面，與數(shù)學(xué)中其它分支的聯(lián)系也日益密切。與數(shù)學(xué)中其它分支的聯(lián)系也日益密切。復(fù)變函數(shù)的發(fā)展過程復(fù)變函數(shù)的發(fā)展過程 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)第一章第一章 復(fù)數(shù)及復(fù)平面復(fù)數(shù)及復(fù)平面1.1 復(fù)數(shù)及其幾何表示復(fù)數(shù)及其幾何表示學(xué)習(xí)要點(diǎn)學(xué)習(xí)要點(diǎn)掌握復(fù)數(shù)的意義與復(fù)數(shù)的表示方法掌握復(fù)數(shù)的意義與復(fù)數(shù)的表示方法掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算熟練掌握復(fù)數(shù)的方根熟練掌握復(fù)數(shù)的方根 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)2 , 1,xyzxiyzxyii

7、i 對(duì)對(duì)任任意意兩兩實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) 、稱稱或或?yàn)闉閺?fù)復(fù)數(shù)數(shù)。其其中中稱稱為為虛虛單單位位。一、一、 復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z 的實(shí)部的實(shí)部 Re(z) = x ; 虛部虛部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)22 | |0zxy復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)的的模模： 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)A 一般一般, , 任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小。任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小。121212111222,zzxxyyzxiy zxiy其其中中復(fù)數(shù)相等復(fù)數(shù)相等0Re( )Im( )0zzz二、二、 四則運(yùn)算四則運(yùn)算 z1=x1+iy1與與z2=x2+iy2的和、差

8、、積和商為：的和、差、積和商為： z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2) 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足加法交換律、結(jié)合律；復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足加法交換律、結(jié)合律；乘法交換律、結(jié)合律和分配律。乘法交換律、結(jié)合律和分配律。111222zxiyzxiy 1212211222222 (0)x xy yi x yx yxyz 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù) 共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)12121) (),zzzz 1212(),z zz z 11222(),0zzzzz

9、 2)zz 22223)Re( )Im( )zzzzxy 4)2Re( ), 2 Im( )zzzzziz 定義定義 若若z x + iy , 稱稱 z x iy 為為z 的共軛復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù).(conjugate)三、三、 共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)2| z 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)2(21)3,.xiyxy izxiy 已已知知求求例例11122255 ,34 ,(),1.zzzi zizz 設(shè)設(shè)求求及及它它們們的的實(shí)實(shí)部部虛虛部部例例4121ii 例例求求1212121212,1)2)z zz zzzzzzz 設(shè)設(shè)為為兩兩復(fù)復(fù)數(shù)數(shù), , 證證明明例例4 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工

10、程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)1255771:34555ziiizi 解解11122255 ,34 ,(),1.zzzi zizz 設(shè)設(shè)求求及及它它們們的的實(shí)實(shí)部部虛虛部部例例1271()55ziz 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)1 1iii 解解：4121ii 例例求求441( )11iii 2(21)3,.xiyxy izxiy 已已知知求求例例211xxx 由由解：解：210yyyy 或或11zzi 所所以以或或 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)221212zzzz _1212121)()()z zz zz z 1212121212,1)2)z zz zzzzzz

11、z 設(shè)設(shè)為為兩兩復(fù)復(fù)數(shù)數(shù), , 證證明明例例4證明：證明：12121122z z z zz z z z 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)21212122)()()zzzzzz 22221212121222zzz zzzzz 1212zzzz 即即1212121212,1)2)z zz zzzzzzz 設(shè)設(shè)為為兩兩復(fù)復(fù)數(shù)數(shù), , 證證明明例例4證明：證明：2212122Re()zzz z11221221z zz zz zz z1212()()zzzz212()zz 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)( , ),zxiyx y 易易見見，一一對(duì)對(duì)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)( , )( ,

12、)Px yzxiyP x y在在平平面面上上取取定定直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系，點(diǎn)點(diǎn)一一對(duì)對(duì)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)平平面面上上的的點(diǎn)點(diǎn)().zxiyxyP 所所以以復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)可可用用平平面面上上坐坐標(biāo)標(biāo)為為 ，的的點(diǎn)點(diǎn) 表表示示四、復(fù)數(shù)的幾何意義四、復(fù)數(shù)的幾何意義橫坐標(biāo)軸稱為實(shí)軸，縱坐標(biāo)軸稱為虛軸；橫坐標(biāo)軸稱為實(shí)軸，縱坐標(biāo)軸稱為虛軸；復(fù)平面一般稱為復(fù)平面一般稱為z-平面，平面，w-平面等。平面等。 ()zxiyP xy 復(fù)復(fù)平平面面上上的的點(diǎn)點(diǎn)， 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)() , zxiyp xyopx y 因因?yàn)闉辄c(diǎn)點(diǎn)，opzxiy 所所以以可可用用向向量量表表示示。我們可以得到兩個(gè)重要的不

13、等式我們可以得到兩個(gè)重要的不等式 2121zzzz 2121zzzz oxy(z) z1z2 z1+z2oxy(z) z1z2z2- z1 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)22 | | |,zoprxy 向向量量的的長長度度, ,復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)的的模模：()Arg(, )Argumentzop x 記記作作向向量量與與正正實(shí)實(shí)軸軸之之復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)的的幅幅角角：間間的的夾夾角角rz oxy(z)P(x,y)xy tan(Arg )yzx A z=0時(shí)，幅角無意義。時(shí)，幅角無意義。 幅角無窮多：幅角無窮多：Arg z=0+2k， kZ， 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)000Ar

14、ga.rgzz 幅幅角角的的主主值值滿滿足足的的稱稱為為記記作作arctan0,arg0,0 2arctan0,0yxyRzxzxyzyxyzx ，（ 在在一一、四四象象限限），（ 在在虛虛軸軸），（ 在在二二、三三象象限限）arctan22yx 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)(cossin )zri cossinxryr 由由得得:cossiniEulereiz 再再由由公公式式可可得得非非零零復(fù)復(fù)數(shù)數(shù) 的的指指數(shù)數(shù)表表示示式式: : izre 1. 三角表示法三角表示法可以用復(fù)數(shù)的模與輻角來表示非零復(fù)數(shù)可以用復(fù)數(shù)的模與輻角來表示非零復(fù)數(shù)z2. 指數(shù)表示法指數(shù)表示法izre

15、ryox 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù),.21)1 2)1iii 求求下下列列復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)的的模模 輻輻角角及及輻輻角角主主值值例例5例例61)1222)sincos55zizi 將將下下列列復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)化化為為三三角角表表示示式式和和指指數(shù)數(shù)表表示示式式 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù),.21)1 2)1iii 求求下下列列復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)的的模模 輻輻角角及及輻輻角角主主值值例例5(0, 1, 2,)k (0, 1, 2,)k 12, arg( 1)4ii ( 1)(21) ,4Argik 解：解：212,1iii 21argarg(1)14iii 21rg2,14iAk

16、i 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)1)1222)sincos55zizi 將將下下列列復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)化化為為三三角角表表示示式式和和指指數(shù)數(shù)表表示示式式1)1244rz 23argarctan()arctan312566z 故故56554cos()sin()466izie 于于是是例例6解：解： 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)1)1222)sincos55zizi 將將下下列列復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)化化為為三三角角表表示示式式和和指指數(shù)數(shù)表表示示式式222)sincos155rz 310sincos55cos()sin()2525iziie 故故例例6解：解： 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱

17、工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)練習(xí)：練習(xí)：求下列復(fù)數(shù)的模與幅角主值：求下列復(fù)數(shù)的模與幅角主值：1.3zi 12.32zi 求下列復(fù)數(shù)的三角表示式與指數(shù)表示式求下列復(fù)數(shù)的三角表示式與指數(shù)表示式. .3.13zi4.122zi 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù) 21.312z 1argarctan63z 132322.3232321313iiiii22321131313z 2argarctan3z 解：解： 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)3.132i arg 133i /3132 cossin233iiie 4.1221244i5arctan6z 5 /6551224 c

18、ossin466iiie . . 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)五、五、 復(fù)數(shù)的乘積與商復(fù)數(shù)的乘積與商利用復(fù)數(shù)的三角表示，我們可以更簡單的利用復(fù)數(shù)的三角表示，我們可以更簡單的表示復(fù)數(shù)的乘法與除法表示復(fù)數(shù)的乘法與除法1 212| |z zzz 則則，1 212()Arg z zArgzArgz 集合相等集合相等1()11111|(cossin) |i ArgzzzArgziArgzze 2()22222|(cossin) |i ArgzzzArgziArgzze 12,z z設(shè)設(shè)是是兩兩個(gè)個(gè)非非零零復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)，定理：定理： 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)11222(

19、0),zzzzz1122()zArgArgzArgzz 對(duì)除法，有對(duì)除法，有 將復(fù)數(shù)將復(fù)數(shù)z1按按逆時(shí)針逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度Argz2，再將其伸縮到再將其伸縮到|z2|倍。倍。1 oxy(z)1z2 z1z22 z2乘法的幾何意義乘法的幾何意義 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)121213zi ziz z 設(shè)設(shè)，求求/412ize /622ize /4/65 /121 2222 2iiiz zeee 例例7解：解：1(1)zi yx12z z6 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)1212.zzi 已已知知正正三三角角形形的的兩兩個(gè)個(gè)頂頂點(diǎn)點(diǎn)為為和和，

20、求求它它的的另另一一個(gè)個(gè)頂頂點(diǎn)點(diǎn)例例53121(cossin)()33zzizz 13()(1)22ii2z21zz 1zyx1 21 31 33z zz zz z 將將向向量量逆逆時(shí)時(shí)針針旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)后后得得到到的的向向量量或或的的終終點(diǎn)點(diǎn)即即為為所所求求. .解：解：1313()()2222i 3z3 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)33313()()2222zi所所以以3 同同理理，若若轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角為為，可可得得2z21zz 1zyx3z 3 33313()()2222zi 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)例例6 藏寶圖藏寶圖從絞架走到橡樹，并記住走了多少步；到了橡從

21、絞架走到橡樹，并記住走了多少步；到了橡樹向右轉(zhuǎn)個(gè)直角再走這么多步，在這里打個(gè)樁。樹向右轉(zhuǎn)個(gè)直角再走這么多步，在這里打個(gè)樁。某島，島的北岸有一大片草地。草地上有一株某島，島的北岸有一大片草地。草地上有一株橡樹和一株松樹，還有一個(gè)絞架。橡樹和一株松樹，還有一個(gè)絞架?；氐浇g架，朝松樹走，同時(shí)記住所走的步數(shù)，回到絞架，朝松樹走，同時(shí)記住所走的步數(shù)，到了松樹向左拐個(gè)直角再走這么多步，在這里到了松樹向左拐個(gè)直角再走這么多步，在這里也打個(gè)樁。也打個(gè)樁。在兩個(gè)樁中間挖，就可以找到寶藏！在兩個(gè)樁中間挖，就可以找到寶藏！問題是絞架年代久遠(yuǎn)爛掉了，還能找到寶藏嗎？問題是絞架年代久遠(yuǎn)爛掉了，還能找到寶藏嗎？ 哈爾濱工

22、程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)1-1第一根樁位置第一根樁位置第二根樁位置第二根樁位置 +1( 1)i 1()1i abi 1( 1)1()1/ 2iii 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)C, ,a ba b c作作出出過過復(fù)復(fù)平平面面 上上不不同同兩兩點(diǎn)點(diǎn)的的直直線線及及過過不不共共線線三三點(diǎn)點(diǎn)的的圓圓aarcb 因因?yàn)闉閍rg0zaba 或或例例7解：解：byxa ,a bz兩兩點(diǎn)點(diǎn)所所決決定定的的直直線線上上任任意意點(diǎn)點(diǎn) 應(yīng)應(yīng)滿滿足足：Im0zaba 從從而而所所求求直直線線的的表表達(dá)達(dá)式式是是 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)argarg0zacazb

23、cb 或或, ,a b cz三三點(diǎn)點(diǎn)所所決決定定的的圓圓上上任任意意點(diǎn)點(diǎn) 應(yīng)應(yīng)滿滿足足 和和相相等等或或互互補(bǔ)補(bǔ)Im0zacazbcb 從從而而所所求求圓圓的的表表達(dá)達(dá)式式是是 arg0zacazbcb 即即：或或 abcz 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)nnzzzn個(gè)個(gè)相相同同復(fù)復(fù)數(shù)數(shù) 的的乘乘積積成成為為 的的 次次冪冪(cossin)nnnnirnzzizr enz 六、六、 復(fù)數(shù)的乘冪與方根復(fù)數(shù)的乘冪與方根|1(cossin)nzrznin 特特別別地地：當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)cossincossinnniin ( () )則有：則有：棣摩弗棣摩弗 (De Moivre)公式公式1,

24、nnzz 令令則則cos()sin()nnninzrninre 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)innzrenwzwznwz 設(shè)設(shè)為為已已知知復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)， 為為正正整整數(shù)數(shù)，則則稱稱滿滿足足方方程程的的所所有有 值值為為 的的 次次方方根根，記記為為,iwe 設(shè)設(shè)niniere 則則,nr 2,kn 0, 1, 2,k 2122(cossin)kinnnkkwrerinn 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)10(cossin)nwrinn 1122(cossin)nwrinn112(1)2(1)(cossin)nnnnwrinn 1244(cossin)nwrinn 0

25、,1,2,1knn當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)，得得到到 個(gè)個(gè)相相異異的的根根：而而k取其它整數(shù)時(shí)，這些根又會(huì)重復(fù)出現(xiàn)。取其它整數(shù)時(shí)，這些根又會(huì)重復(fù)出現(xiàn)。 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)32)8i 341,1,1n求求例例11練習(xí)練習(xí)441,zizz 設(shè)設(shè)求求 和和例例10 23cos4sin41)cos3sin3ii 計(jì)計(jì)算算： 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)14422441( 2) (cossin)440,1,2,3kkiik 441,zizz 設(shè)設(shè)求求 和和例例9:12(cossin)44ii 解解444(1)( 2) (cossin)444(cossin)4iii 故故 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)8325252(cossin)1616i 802(cossin)1616i 81992(cossin)1616i 8217172(cossin)1616i 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)幾何上幾何上， 的的n個(gè)值是個(gè)值是以原點(diǎn)為中心，以原點(diǎn)為中心， 為半為半徑的圓周上徑的圓周上n個(gè)等分點(diǎn)