數(shù)學(xué)建模1例題解析

1、1.貸款問(wèn)題小王夫婦計(jì)劃貸款20萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)一套房子，他們打算用20年的時(shí)間還清貸款。目前，銀行的利率是0.6%/月。他們采用等額還款的方式(即每月的還款額相同)償還貸款。(1)在上述條件下，小王夫婦每月的還款額是多少？共計(jì)付了多少利息？(2)在貸款滿5年后，他們認(rèn)為他們有經(jīng)濟(jì)能力還完余下的款額，打算提前還貸，那么他們?cè)诘?年初，應(yīng)一次付給銀行多少錢(qián)，才能將余下全部的貸款還清？(3)如果在第6年初，銀行的貸款利率由0.6%/月調(diào)到0.8%/月，他們?nèi)匀徊捎玫阮~還款的方式，在余下的15年內(nèi)將貸款還清，那么在第6年后，每月的還款額應(yīng)是多少？(4)某借貸公司的廣告稱(chēng)，對(duì)于貸款期在20年以上的客戶，他們幫

2、你提前三年還清貸款。但條件是：(i)每半個(gè)月付款一次，但付款額不增加，即一次付款額是原付給銀行還款額的1/2；(ii)因?yàn)樵黾颖匾臋n案、文書(shū)等管理工作，因此要預(yù)付給借貸公司貸款總額10%的傭金。試分析，小王夫婦是否要請(qǐng)這家借貸公司幫助還款。解答：(1)貸款總月數(shù)為N=20*12=240，第240個(gè)月的欠款額為0，即AN=0。利用式子x=A0r(1+r)N(1+r)N-1=200000×0.006×(1+0.006)240(1+0.006)240-1=1574.699=1574.70(元)，即每個(gè)月還款1574.70元，共還款1574.70×240=377928.

3、00(元)，共計(jì)付利息177928.00元。(2)貸款5年(即5*12=60個(gè)月)后的欠款額為A60，利用公式：Ak=A0(1+r)k-x1+rk-11+r-1，所以，A60=200000×(1+0.006)60-1574.70×1+0.00660-10.006=173034.90(元)(3) A60=173034.90元，即第六年初，貸款利率0.8%，所以余下的15年，每個(gè)月還款額為：x=A60r(1+r)N(1+r)N-1=173034.9×0.008×(1+0.008)180(1+0.008)180-1=1817.33(元)(4)按照借貸公司的條件

4、(i)每半個(gè)月付款一次，但付款額不增加，即一次付款額是原付給銀行還款額的12，付款的時(shí)間縮短，但是前17年的付款總額不變。幫忙提前三年還清需要資金數(shù)：A204=200000×(1+0.006)204-1574.70×1+0.006204-10.006=50847.64(元)。對(duì)于條件(ii)傭金數(shù)：A0×10%=20000(元)分析：因?yàn)轭A(yù)付傭金20000元，按照銀行存款利率0.6%/月，17年的存款本息為20000×1+0.006×204=44480元<50847.64(元)即在第17年需要給付借貸公司的錢(qián)少于給付銀行的錢(qián)。所以建議請(qǐng)這

5、家借貸公司幫助還款。2.冷卻定律與破案按照Newton冷卻定律，溫度為T(mén)的物體在溫度為T(mén)0(T0<T)的環(huán)境中冷卻的速度與溫差T-T0成正比。用此定律建立相應(yīng)的微分方程模型。凌晨某地發(fā)生一起兇殺案，警方于晨6時(shí)到達(dá)案發(fā)現(xiàn)場(chǎng)，測(cè)得尸溫26，室溫10，晨8時(shí)又測(cè)得尸溫18。若近似認(rèn)為室溫不變，估計(jì)兇殺案的發(fā)生時(shí)間。解答：根據(jù)Newton冷卻定律，可知溫度T的微分方程為：dTdt=kT-T0此方程為一階線性微分方程，其通解為：T=Cekt+T0根據(jù)題目已知：T0=10，t=6時(shí)，T=26；t=8，T=18；帶入通解中得：26=Ce6k+1018=Ce8k+10解得：k=-0.3466，C=12

6、8.027?？芍猅=128.027e-0.3466t+10人體正常體溫為37，令T=37，得t=4.49，可估計(jì)兇殺發(fā)生時(shí)間為3:29。3.鍛煉想象力、洞察力和判斷力的問(wèn)題(只簡(jiǎn)單回答出理由即可)(1)某人早8時(shí)從山下旅店出發(fā)沿一條山路上山，下午5時(shí)到達(dá)山頂并留宿，次日8時(shí)沿同一路徑下山，下午5時(shí)回到旅店。該人必在兩天中的同一時(shí)刻經(jīng)過(guò)路徑中的同一地點(diǎn)，為什么？(2)甲乙兩站之間有汽車(chē)相通，每隔10分鐘甲乙兩站相互發(fā)一趟車(chē)，但發(fā)車(chē)時(shí)刻不一定相同。甲乙兩站之間有一中間站丙，某人每天在隨機(jī)時(shí)刻到達(dá)丙站，并搭乘最先經(jīng)過(guò)丙站的那趟車(chē)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)100天中約有90天到達(dá)甲站，大約10天到達(dá)乙站。問(wèn)開(kāi)往甲乙兩

7、站的汽車(chē)經(jīng)過(guò)兩站的時(shí)刻表是如何安排的？(3)張先生家住在A市，在B市工作，每天下班后他乘城際火車(chē)于18:00抵達(dá)A市火車(chē)站，他妻子駕車(chē)至火車(chē)站接他回家。一日他提前下班，乘早一班火車(chē)于17:30抵達(dá)A市火車(chē)站，隨即步行回家，他妻子像往常一樣駕車(chē)前來(lái)，在半路相遇將他接回家。到家時(shí)張先生發(fā)現(xiàn)比往常提前了10分鐘，問(wèn)張先生步行了多長(zhǎng)時(shí)間？(4)一男孩和一女孩分別在距家2公里和1公里，方向相反的兩所學(xué)校上學(xué)，每天同時(shí)放學(xué)后分別以每小時(shí)4公里和每小時(shí)2公里的速度步行回家.一小狗以每小時(shí)6公里的速度由男孩處奔向女孩，又從女孩處奔向男孩，如此往返直至回到家中.問(wèn)小狗奔波了多少路程.如果男孩和女孩上學(xué)時(shí)，小狗也

8、往返奔波在他們中間，問(wèn)當(dāng)他們到達(dá)學(xué)校時(shí)小狗在何處?解答(1)因?yàn)榇巳嗽趦商斓纳舷律降倪^(guò)程中所走過(guò)路程相同，所用時(shí)間相同，所以?xún)商斓倪^(guò)程如果發(fā)生在同一天，此人一定會(huì)在某一時(shí)間碰到另一個(gè)自己。也就是說(shuō)如果是兩個(gè)人，兩人一定會(huì)在某一時(shí)間相遇，也即題目所說(shuō)同一時(shí)刻經(jīng)過(guò)路徑中的同一地點(diǎn)。(2)設(shè)從甲站出發(fā)的車(chē)為甲車(chē)，乙站出發(fā)的車(chē)為乙車(chē)。因?yàn)槊扛羰昼娂滓覂烧揪突グl(fā)一趟車(chē)，此人在丙站點(diǎn)等車(chē)，有0.9的概率等到的是甲車(chē)，0.1的概率等到的是乙車(chē)。即可知甲車(chē)與乙車(chē)到達(dá)中間站丙的時(shí)間間隔為一分鐘或者九分鐘，即過(guò)九分鐘甲車(chē)通過(guò)，過(guò)一分鐘乙車(chē)通過(guò)，再過(guò)九分鐘甲車(chē)通過(guò)，依次類(lèi)推。假設(shè)甲乙車(chē)從車(chē)站到達(dá)中間站丙的時(shí)間相同

9、，那么甲車(chē)發(fā)車(chē)一分鐘后乙車(chē)發(fā)車(chē)，即可達(dá)到題目要求。(3)張先生步行了25分鐘。假設(shè)從家開(kāi)車(chē)到車(chē)站所用時(shí)間為t，即可知其妻子從家出發(fā)時(shí)間為18:00-t，經(jīng)過(guò)時(shí)間t到車(chē)站，接張先生再經(jīng)過(guò)時(shí)間t到家，即到家時(shí)間為18:00+t。張先生提前下班，17:30到達(dá)車(chē)站，設(shè)張先生步行時(shí)間為x，妻子從家出發(fā)時(shí)間為18:00-t，半路相遇后接回家比往常提前10分鐘，可知妻子所用時(shí)間為2t-10，單程時(shí)間為t-5?？闪械仁剑?7:30+x+t-5=18:00+t-10解得x=25分鐘。(4)兩人回家所用時(shí)間相同，為0.5小時(shí)，小狗速度為每小時(shí)6公里，往返總路程為6×0.5=3公里。如果男孩和女孩上學(xué)時(shí)

10、，他們到達(dá)學(xué)校時(shí)小狗與男孩同時(shí)到達(dá)男孩的學(xué)校。分析：如果男孩和女孩上學(xué)時(shí)，小狗往返的路程仍為3公里。此過(guò)程與放學(xué)過(guò)程為相反的兩個(gè)過(guò)程，放學(xué)時(shí)，小狗從男孩處奔向女孩，最后男孩、女孩和小狗同時(shí)到家，逆過(guò)程為同時(shí)出發(fā)，最終小狗和男孩一起到達(dá)學(xué)校。4考試作弊情況調(diào)查一位教授要估算他班上的大三和大四高年級(jí)學(xué)生在大學(xué)期間的考試中從未作弊的概率，為了從學(xué)生那里得出真實(shí)的答案，他要求每個(gè)學(xué)生自己投擲一枚硬幣，如果正面朝上，回答問(wèn)題1：“你是即將畢業(yè)的大四學(xué)生嗎？”；如果是正面朝下，回答問(wèn)題2：“你曾經(jīng)在考試中做過(guò)弊嗎？”。每個(gè)學(xué)生在一張紙上回答“是”或“否”，然后回收這張紙，由教授來(lái)統(tǒng)計(jì)。答案是保密的，因?yàn)橹挥袑W(xué)生自己知道他回答的是哪一個(gè)問(wèn)題。在參與這項(xiàng)試驗(yàn)的35名學(xué)生中，有20名大四學(xué)生，試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，有18名學(xué)生回答“是”，17名學(xué)生回答“否”利用這些信息估計(jì)該班的任何一名學(xué)生在過(guò)去的考試中從未作弊的概率。解答：此問(wèn)題為不相關(guān)問(wèn)題，根據(jù)不相關(guān)問(wèn)題模型可知：=p+(1-p)B其中，=回答“是”的概率