求導法則、高階導數(shù)ppt課件

1、二、反函數(shù)的求導法則二、反函數(shù)的求導法則 三、復合函數(shù)求導法則三、復合函數(shù)求導法則 四、初等函數(shù)的求導問題四、初等函數(shù)的求導問題 一、四則運算求導法則一、四則運算求導法則 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 函數(shù)的求導法則 xxfxxfxfx)()(lim)(0( 構造性定義 )求導法則求導法則其它基本初等其它基本初等函數(shù)求導公式函數(shù)求導公式0 xcosx1 )(C )sin(x )ln(x證明中利用了兩個重要極限初等函數(shù)求導問題初等函數(shù)求導問題本節(jié)內容機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 定理定理1.具有導數(shù)都在及函數(shù)xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、 差、 積、 商 (除分母為

2、0的點外) 都在點 x 可導, 且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu下面分三部分加以證明,并同時給出相應的推論和例題 .)0)(xv機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 此法則可推廣到任意有限項的情形.設, 那么vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故結論成立.wvuwvu)( ,例如機動 目錄

3、 上頁 下頁 返回 完畢 例如,vuvuvu )(證證: 設設, )()()(xvxuxf則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故結論成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推論推論: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu )log()3xaaxlnlnaxln1機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ( C為常數(shù) )解解:xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23( xx)1

4、xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 )()( lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu2vvuvuvu證證: 設設)(xf則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故結論成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推論推論:2vvCvC機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ( C為常數(shù) ) )(csc

5、xxsin1x2sin)(sinxx2sin,sec)(tan2xx證證: .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc類似可證:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 )( xf定理定理2. y 的某鄰域內單調可導, 證證: 在 x 處給增量由反函數(shù)的單調性知且由反函數(shù)的連續(xù)性知 因而,)()(1的反函數(shù)為設yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx

6、時必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf11 )(1yf11機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 1解解: 1) 設設,arcsin xy 那么,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x類似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccos利用0cosy, 那么機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 , )1,0(aaayx那么),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe)e( )arcsin(x211x )ar

7、ccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211xaaaxxln)(xxe)e(特別當ea時,小結小結:機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 在點 x 可導, lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd定理定理3.)(xgu )(ufy 在點)(xgu 可導復合函數(shù) fy )(xg且)()(ddxgufxy在點 x 可導,證證:)(ufy 在點 u 可導, 故)(lim0ufuyuuuufy)(（當 時 )0u0故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()(

8、)(xvufyuvxuyddvuddxvdd關鍵: 搞清復合函數(shù)結構, 由外向內逐層求導.機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 , )cos(lnxey 求.ddxy解解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee考慮考慮: 假設假設)(uf 存在 , 如何求)cos(lnxef的導數(shù)?xfdd)cos(ln(xef ) )cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf這兩個記號含義不同機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 , )1(ln2xxy.y求解解: y112xx11212xx2112x機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 1. 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù) (P94) )(C0

9、 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctanx211x )cot(arcx211x機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C為常數(shù) )0( v3. 復合函數(shù)求導法則)(, )(xuufyxydd)()(xuf4. 初等函數(shù)在定義區(qū)間內可導初等函數(shù)在定義區(qū)

10、間內可導, )(C0 )(sin xxcos )(ln xx1由定義證 ,說明說明: 最基本的公式最基本的公式uyddxudd其它公式用求導法則推出.且導數(shù)仍為初等函數(shù)且導數(shù)仍為初等函數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 求導公式及求導法則注意注意: 1),)(vuuvvuvu2) 搞清復合函數(shù)結構 , 由外向內逐層求導 .41143x1.xx1431x思考與練習思考與練習對嗎?2114341xx機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 解解: (1)1bxaby2xa1bbxba(2) y)(x.)2(,) 1 (xbbayxayxbabalnxabbaln或xabyababxln機動 目錄 上頁

11、 下頁 返回 完畢 ),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求解解: 方法方法1 利用導數(shù)定義利用導數(shù)定義.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求導公式利用求導公式.)(xf)(xx )99()2)(1(xxx)99()2)(1(xxx!99)0(f機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 yxxxx2sec12csc41232,2tan2cotxxy解：解：2csc2xx2sec2x2121)121(23x求.y機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 高階導數(shù))(tss 速度即sv加速度,dd

12、tsv tvadd)dd(ddtst即)( sa引例：變速直線運動引例：變速直線運動機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 若函數(shù))(xfy 的導數(shù))(xfy可導,或,dd22xy即)( yy或)dd(dddd22xyxxy類似地 , 二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù) ,1n階導數(shù)的導數(shù)稱為 n 階導數(shù) ,y ,)4(y)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的二階導數(shù) , 記作y )(xf 的導數(shù)為依次類推 ,分別記作則稱機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 設,2210nnxaxaxaay求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212 ayxa3232) 1(nnxann依次類推 ,nnany!)(233xa考慮考慮: 設設, )(為任意常數(shù)xy ?)(nynnxnx) 1()2)(1()()(問可得機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 nx)1 ( ,3xaeay 求解解:特別有:解解:! ) 1( n規(guī)定 0 ! = 1考慮考慮:,xaey .)(ny,xaeay ,2xaeay xanneay)(xnxee)()(例例3. 設設, )1(lnxy求.)(ny,11xy,)1 (12xy ,)1 (21) 1(32xy