第三章_應變分析

1、第三章 應變分析 在第二章我們研究了應力張量本身和體力、面力之間的關系式，即平衡規(guī)律。本章將討論變形體研究的另一個基本關系：變形與位移之間的關系。當然要以小變形假設為基礎，位移和形變相對于變形體幾何尺寸是微小的。第1節(jié) 位移和（工程）應變1.1 位移x2x1x3PuPo 變形體任意點P的位移矢量，有三個分量。1.2 (工程)應變 工程應變是通常工程中描述物體局部幾何變化，分為正應變和剪應變。， g（角變形）兩微元線段夾角的改變量。（工程）正應變：e11、e22、e33 ， （工程）剪應變：g12=gxy、g23=gyz、g31=gzx 工程應變共有六個分量：三個正應變和三個剪應變，正應變以伸長

2、為正，剪應變以使直角變小為正。x1x1x2x2x3x3PPdx1dx2dx3e22dx2g23第2節(jié) 應變張量和轉(zhuǎn)動張量 應變張量和轉(zhuǎn)動張量是描述一點變形和剛體轉(zhuǎn)動的兩個非常重要的物理量，本節(jié)將討論一下它們與位移之間關系，在討論之前，先介紹一下相對位移矢量和張量.2.1 相對位移矢量和相對位移張量x2x1x3PuPQQQou+du 相對位移矢量 （ a） 而 (b) 將（b）式代入（a）式，得 根據(jù)商法則 則 為一個二階張量相對位移張量2.2 應變張量和轉(zhuǎn)動張量 相對位移張量ui,j包含了變形和剛體轉(zhuǎn)動，為了將兩者分開，對ui,j進行整理，張量分成對稱和反對稱張量之和。 或 其中 顯然 eij

3、= eji（對稱張量），wij= -wji （反對稱張量） 而eij 表示變形體的形變，wij 表示了剛體轉(zhuǎn)動。 以在平面x1 x2的兩個垂直線段PQ、PR的相對位移來說明并直觀看一下eij，wij二階張量表示了形變和剛體轉(zhuǎn)動。u1 ,1PRQRQu1、u2x1x2dx1=1dx2=1u1 ,2u2 ,1u2 ,2ab ，相對位移e12=(u1 ,2 +u2 ,1 ) /2e22=u2 ,2e11=u1 ,1e21= (u2 ,1 +u1 ,2 )/ 2(a+b)/2+w12= (u1 ,2 -u2 ,1 ) /2w21=(u2 ,1 -u1 ,2 ) /2 e11，e12= e21，e22

4、純變形 w12= -w21 純轉(zhuǎn)動2.3 轉(zhuǎn)動張量的對偶矢量 由純剛體轉(zhuǎn)動可見，w12= -w21，正好相當于一個沿x3軸方向的轉(zhuǎn)動矢量，方向為，其大小 w3 ： 類似可得，其它兩個坐標平面，轉(zhuǎn)動矢量 、 綜合三個坐標面的轉(zhuǎn)動矢量 ： 為轉(zhuǎn)動張量的對偶矢量。 *比較工程應變定義和應變張量，可得： 第3節(jié) 應變張量和轉(zhuǎn)動張量的坐標變換式 在xk坐標系中，已知變形體內(nèi)任一點應變張量 ekl和轉(zhuǎn)動張量wkl，則在新笛卡爾坐標系xi中此點應變張量eij和wij均可以通過二階張量的坐標轉(zhuǎn)換式求出它們。 即： 第4節(jié) 主應變、應變方向應變張量的三個不變量 確定一點的主應變和應變主方向方法與求主應力和應力主

5、方向的方法完全一致，求主應變的方程解出e1、e2、e3（實根），、分別為應變張量的三個不變量： 體積應變 當e1 e2 e3時（三個主應變不相等），三個主方向相互垂直。第5節(jié) 變形協(xié)調(diào)條件（相容條件） 在本章第二節(jié)中我們討論了一點的應變張量，它包含了一點的變形信息，應變張量與位移微分關系稱為幾何方程（共六個）。如果已知變形體的位移狀態(tài)，則由這六個方程直接求出應變張量，但反之由六個獨立的任意 eij求ui不行。 因為 eij僅包含形變，由其求出位移時，剛體位移是無法確定的，因此，位移無法確定。 eij 分量之間必須滿足一定的條件（方程），才能由幾何方程積分求出單值連續(xù)的位移場ui、eij的分量必

6、須滿足的方程稱為變形協(xié)調(diào)方程或相容方程。 變形協(xié)調(diào)方程共有六個，可由幾何方程直接導出。即： ， , 用指標符號表示： 或 用張量表示： *結論：應變張量eij滿足變形協(xié)調(diào)方程是保證單連域的位移單值連續(xù)解存在的必要和充分條件。對于復連域還需附加補充條件位移單值條件。abu+u-*單連域：變形體內(nèi)的任何一條封閉線當縮小時均能變?yōu)橐稽c，當不滿足時為多連域。對于多連域附加補充條件辦法為：假想通過適當截斷，使域為單連域，在截斷面ab兩側(cè)u+i = u -i 即為補充條件。 作業(yè)：1 給定位移分量 u1=cx1(x2+x3)2, u2=cx2(x1+x3)2, u3=cx3(x1+x2)2 此處c為一個很小的常數(shù)，求應變張量 eij和轉(zhuǎn)動張量 wij。2. 將直角坐標系繞x3軸轉(zhuǎn)動f角，求新坐標系應變分量的轉(zhuǎn)換關系。3 假定體積不可壓縮，位移u1(x1,x2)與u2(x1,x2)很小， u3=0。在一定區(qū)域內(nèi)已知u1=c(1-x22)(a+bx1+cx12) ,其中a、b、c為常數(shù)，且e12=0，求u2(x1,x2)。4 試分析以下工程應變狀態(tài)能否存在 （1）e11=k(x12+x22) x3 , e22=kx22x3 , e33=0, g12=2kx1x2x3, g23= g13=0 (2) e11=k(x12+x22) , e22=kx22 , e33=0, g12=