第四章 矩陣的特征值和特征向量

1、第四章 矩陣的特征值和特征向量例1 求下列矩陣的特征值與特征向量，并判斷它能否相似對角化。若能，求可逆陣，使（對角陣）。例2 已知三階方陣的三個特征值為，則的特征值為，的特征值為， 的特征值為，的特征值為例3 設矩陣 有三個線性無關的特征向量，則應滿足條件例5 已知矩陣與相似，則例6 設階方陣滿足，求的特征值例7 已知向量是矩陣的逆矩陣的特征向量，求常數(shù)例8 設A為非零方陣，且 (m為某自然數(shù))，證明：A不能與對角陣相似例9 設階方陣A滿足，求證：A相似于一個對角矩陣 結 論 總結 1 階方陣A有個特征值，它們的和等于A的主對角線元素之和(即A的逆)，它們的乘積等于A的行列式2 如果是方陣A的

2、特征值，是與之對應的特征向量，如互不相等時，線性無關3 如果階方陣與相似，則與有相同的特征多項式，從而有相同的特征值4 如果階方陣與對角陣相似，則的主對角線元素就是的個特征值 5 階方陣與對角陣相似，即可相似對角化的充要條件是有個線性無關的特征向量 6 如果階方陣的個特征值互不相等，則與對角陣相似，即可相似對角化 7 實對稱矩陣的特征值全為實數(shù)8 實對稱矩陣的不同特征值對應的特征向量相互正交9 對實對稱矩陣，必存在正交矩陣，使，其中是以的個特征值為主對角線元素的對角陣10 方陣可逆的充要條件是的特征值全不為零 習 題一、單項選擇題1. 設,則的特征值是( )。(a) -1,1,1 (b) 0,

3、1,1 (c) -1,1,2 (d) 1,1,22. 設,則的特征值是( )。(a) 0,1,1 (b) 1,1,2 (c) -1,1,2 (d) -1,1,13. 設為階方陣, ,則( )。(a) (b) 的特征根都是1 (c) (d) 一定是對稱陣4. 若分別是方陣的兩個不同的特征值對應的特征向量,則也是的特征向量的充分條件是( )。(a) (b) (c) (d) 5. 設為階可逆矩陣, 是的特征值,則的特征根之一是( )。(a) (b) (c) (d) 6. 設2是非奇異陣的一個特征值,則至少有一個特征值等于( )。(a) 4/3 (b) 3/4 (c) 1/2 (d) 1/47. 設階

4、方陣的每一行元素之和均為,則有一特征值為( )。(a)a (b)2a (c)2a+1 (d) +18. 矩陣A的屬于不同特征值的特征向量（ ）。(a)線性相關 (b)線性無關 (c)兩兩相交 (d)其和仍是特征向量9. 下列說法不妥的是 （ ）(a)因為特征向量是非零向量，所以它所對應的特征向量非零(b)屬于一個特征值的向量也許只有一個 (c)一個特征向量只能屬于一個特征值 (d)特征值為零的矩陣未必是零矩陣10 設矩陣 的特征值為，則( )A） B) C) D) 11 已知矩陣有一特征向量，則A) B) C) D) 12 已知矩陣的各列元素之和為3，則( )A) 有一個特征值為3，并對應一個

5、特征向量B) 有一個特征值為3，并不一定對應有特征向量C) 3不一定是的特征值 D) 是否有特征值不能確定13 設A是三階矩陣,有特征值,則下列矩陣中可逆的是( )A) B) C) D) 二 填空題 1 設為3階矩陣，其特征值為，則=_ 的特征值為_，的特征值為_ 2 如果二階矩陣 相似，則 3 若階可逆陣的每行元素之和是，則數(shù)_一定是的特征值4 設三階矩陣有3個屬于特征值的線性無關的特征向量，則5 若，則的特征值為_6 設階方陣的個特征值為，則7 設 ，則8 則 三 解答題1. 設三階矩陣A的特征值為 ，對應的特征向量依次為：，又向量1) 將 用線性表示 2) 求 (為自然數(shù))2 已知 有3

6、個線性無關的特征向量，求3. 設 求A的特征值與對應的特征向量，A是否對角陣相似。若相似，寫出使的矩陣及對角陣，并計算，4. 設，已知，A的伴隨矩陣的特征值對應的特征向量，求和的值四、證明題1設為維非零列向量，證明：1） (為某常數(shù)) 2) 是的一個特征向量。 3) 相似于對角陣。2 設階方陣有個對應于特征值的線性無關的特征向量，則。3 設階方陣的每行元素之和都為常數(shù)，求證： 1) 為的一個特征值； 2) 對于任意自然數(shù)，的每行元素之和都為4 設三階方陣的三個特征值 互異，分別對應于特征向量 證明： 都不是的特征向量。 5 設，為階方陣，證明：都有相同的特征值。 6 設是的兩個不同的特征值， 是對應于的特征向量，證明： 不是的特征向量（即一個特征向量不能屬于兩個不同的特征值）。 答 案一1.a 2.c 3.c 4.d 5.b 6.b 7.b 8.d 9.b 10B 11B 12 A 13 D二、1 的特征值為： ；的特征值為：； 2. ； 3. ； 4. 5. 6. 7. 0 8. 0三1 ， 2 3 4 四、提示 1 略 2 略3 略 4 略 5 若有特征