矩陣分析課件_第三章34-37

1、23.4.,.1:n nACAAA 定定對(duì)對(duì)如如果果則則稱稱 是是 義義冪冪等等矩矩陣陣 3.4 冪冪等等矩矩陣陣 正正交交投投影影一一、冪冪等等矩矩陣陣 投投影影變變換換,0.00rn nEAC(n-r) r 例 設(shè)MC則是冪等矩陣1 ,0 .003.4.1 rEP APn nn 秩為r的n階矩陣A是冪等矩陣的充要條件是存在PC使得定理121121 =(,.,) , .,.(1,2,. ),10.00riiirAPJPAAirJordanE22Jdiag J JJP AP = JJ = JJ= JJP AP = 充分性顯然。 必要性.設(shè)A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為，于是存在可逆矩陣P,滿足即由得

2、從而因此 必須是階塊，所以證明2,.0:, 00111, ,0:rrrPPrankPtrPErankPrrEtrPtrrrankP 個(gè)個(gè)如如果果則則證證 設(shè)設(shè)的的跡跡為為 而而相相似似矩矩陣陣有有相相同同的的跡跡 故故由由定定理理推推知知 論論,( );( )(-)(-)0;( )( )(-);( )( )3.4.1:;( )( )( ) .THTHnPaPPEPEPEPbP E PE P PcN PR E PdPxxxR PeCR PN P 如如果果 是是冪冪等等矩矩陣陣 則則 、都都是是冪冪等等矩矩陣陣 當(dāng)當(dāng)且且 僅僅當(dāng)當(dāng) 定定理理: ( ) ( ) ;ab證證、顯顯然然(

3、 ):( ),0;(-)-,(-)( )(-);cxN PPxE P xEx PxExxxR E PN PR E P 設(shè)設(shè) 則則又又 2:(-), (-) , (-)(-)0,( )(-).nxR E PyCxE P yPxP E P yP PyN PR E P 反反之之 設(shè)設(shè) 則則存存在在 使使即即2 ( ):,( ); ( ), ,().ndPxxxR PxR PyCPyxPxP PyP yPyx 若若那那么么, , 反反之之, ,即即存存在在使使2 ( ): ;( ); -0. ( ), ( )( );( )( ).nnexCPxR Pyx PxPyPx P xPxPxyN PxPxyR

4、 PN PCR PN P 設(shè)設(shè)則則令令則則所所以以，( )( ), ( )( ),( )( ). nnnR PN PCR PN PCCR PN P 又又與與都都是是的的子子空空間間也也是是的的子子空空間間 從從而而2: ( )( ) ( ). , . . ( ), 0()P 0, .xR PN PxR Py s tPyxxN PPxxPyP yP Pyx 下下面面來來證證這這個(gè)個(gè)和和是是直直和和設(shè)設(shè)則則又又故故這這個(gè)個(gè)和和是是直直和和()二二 投投影影變變換換及及性性質(zhì)質(zhì) .,;3.4.:.2nnnnSTCCSTCxyxS yTxTSySTxCTS 設(shè)設(shè) 、 是是的的子子空空間間, ,且且 這

5、這里里則則稱稱 是是 沿沿 到到 的的投投影影是是 沿沿 到到 的的投投影影又又稱稱映映射射為為沿沿 到到 的的 定定義義投投影影變變換換 21);(2);(3).S 可可以以證證明明, ,( (是是線線性性變變換換是是 上上的的恒恒等等變變換換,( ),( ),( )(3.4.3):.nnCTSSRTNCRN 是是的的沿沿 到到 的的投投影影變變換換 那那么么即即 定定理理 ( ), ;, , .: .nRCxyxS yTxSxSRSSR 反反之之，則則存存在在， 使使令令其其中中則則即即故故 , 0, , 0.( ), ( )( ), ( ), ( ) .nCSTSSTRRSR 則則又又而

6、而 證證明明 ; 0, 0, , 0, .TSTNTN , , , 0, 0, .NxyxS yTxxyTNTTN 反反之之，設(shè)設(shè)其其中中而而，故故2 3.4.4:,.nnCC 設(shè)設(shè) 是是的的線線性性變變換換 則則 是是的的投投影影變變換換當(dāng)當(dāng) 定定理理且且僅僅當(dāng)當(dāng) 22, , , , . , , . nnCSTCxyxSyTxxx 設(shè)設(shè)且且 明明那那么么 ，證證 222, ; ,0, , ;nCRyyyNyRN ，令令則則 , ; :nnCRNCRNRN 又又設(shè)設(shè) , , ,.nnCRNCxyxRyN 故故，。 2, , 0, 0nRCN 存存在在使使又又 02,nooonxyxyxxRxC

7、xxxxxCNR 又又對(duì)對(duì)存存在在使使，故故 是是的的沿沿到到的的投投影影變變換換. .3.4. :.5nCA 的的投投影影變變換換 的的矩矩陣陣表表示示是是冪冪 定定理理等等矩矩陣陣 121212221212122212122, , ,nnnnnnnnnCAAAAAAA 證證明明. .設(shè)設(shè)是是的的一一組組基基且且那那么么，故故 。2,:,.nnnCCAC 如如果果 是是上上的的線線性性變變換換且且 在在的的某某組組基基下下 還還可可以以證證明明的的矩矩陣陣表表示示 是是冪冪等等矩矩陣陣 則則即即 是是的的投投影影變變換換 :,(),0,;,4 3.3nnnnS TCRxS yTx ySTST

8、CSTSTTSTSCST 設(shè)設(shè)是是或或的的子子空空間間 如如果果對(duì)對(duì)任任意意有有則則稱稱 與與 正正交交 記記為為 如如果果且且則則稱稱 為為 的的正正交交補(bǔ)補(bǔ) 記記為為這這時(shí)時(shí)又又記記 定定義義,二二、正正交交補(bǔ)補(bǔ) 正正交交投投影影(),nnCR 為為了了把把幾幾何何學(xué)學(xué)中中垂垂直直投投影影的的概概念念推推廣廣到到或或首首先先要要引引入入子子空空間間的的正正交交與與正正交交補(bǔ)補(bǔ)的的概概念念。12341234, 設(shè)是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基，則S=span 例與V=span是正交的。:性性質(zhì)質(zhì) (1)(),0di3mdimd6:im4nnCRSTaSTbSTST 設(shè)設(shè)或或的的子子空空間間 與與 正正交交

9、 那那么么定定理理證證明明. .顯顯然然. . 若若子子空空間間S S, ,T T是是正正交交的的，則則S S+ +T T稱稱為為S S與與T T的的正正交交和和， 定定義義3 3. .4 4. .并并記記為為S S4 4T T. . (2)(),.4(7 ;3)m nm nHnnHnmACRaN AR ACRbR AN ACR 設(shè)設(shè)或或則則或或或或定定理理 : 0,0,.HHnHHHHHxN AyR AAxyA z zCx yy xA zxzAxNRaAA 對(duì)對(duì)、，有有 證證明明 dimdimdim,.HHHnHN AR AN AR AnrankArankAnCN AR A 又又故故 :b類

10、類似似地地證證. ., ( ) |( ,)0,.3.4.5 T nST = CSTTSTnnn 設(shè)C (或R )子空間S,T滿足， 或 ST=R則稱 為 的正交補(bǔ)，記為，或定義STTS顯然，若 為 的正交補(bǔ)，則 亦為 的正交補(bǔ)。:代代數(shù)數(shù)補(bǔ)補(bǔ)注注不不唯唯一一. .121212:,.nTS SCTSTSSS 證證 設(shè)設(shè) 有有兩兩個(gè)個(gè)正正交交補(bǔ)補(bǔ)即即可可推推出出 3 4 (3),8:.nmTCRT 設(shè)設(shè) 是是或或的的子子空空間間 那那么么的的正正理理交交補(bǔ)補(bǔ)是是唯唯一一的的定定1212 (1,0,1,1)3.4.,2 ,T T T 已已知知= =( (0 0, ,1 1, ,1 1, ,2 2)

11、) , ,T T= =s sp pa an n , ,求求T T的的例例正正交交補(bǔ)補(bǔ). .1122121011,01120,.HHHA xTspan H HT T1 1T T2 2 取取A A= =( () ), ,則則A A求求線線性性方方程程組組的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系（- -1 1，- -1 1，1 1，0 0）（- -1 1，- -2 2，解解0 0，1 1）nCST 由由于于正正交交和和是是直直和和, ,所所以以正正交交投投影影是是特特殊殊的的投投影影變變換換; ;又又因因?yàn)闉檎唤坏降?的的正正交交投投影影就就不不必必指指出出是是補(bǔ)補(bǔ)是是唯唯一一的的, ,沿沿故故的的正正交交投投影影

12、. .()二二 正正交交投投影影及及性性質(zhì)質(zhì) ,3 4 6:,:,.nnnnmSTCRCxy xs yTxCRS 設(shè)設(shè)或或則則稱稱 是是由由或或到到 的的 定定義義正正交交投投影影 1212111111(1),3 4 9,:,nrnrrnn rrrrHnCSu uuSu uu uuCGuuCuuuG G 設(shè)設(shè) 是是到到 的的正正交交投投影影是是 的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基是是的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基 令令那那么么 在在基基之之下下的的矩矩陣陣表表示示為為定定理理。:性性質(zhì)質(zhì) 2121211211222,.nn rrrnn rHHHHHGuuuCGG GnGEGGG GG GG GG 令令 那那么

13、么是是 階階酉酉矩矩陣陣 證證明明 1:1:,nrnrnxCuuuxx 設(shè)設(shè)1122HHEG GG G， 1:11111:(),HHHrrrnrnxG Gu uu uuuuxx 而而 1:1:111,0,0 ,.rrnrrrxuuxxx ux uSspan uu 1221111,HHHrrnnrrnnxG Guuu uuu uux 1:11:1110,0,.rnrnrrnnrnxuuxxxux uspan uuS 11HG G 。nCS又因?yàn)?是到 的正交投影，所以 11111:1,1,0,0.00HiiiirnrHiruG GuurinuuuuEAG G 于于是是 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 當(dāng)當(dāng) + +時(shí)時(shí)

14、故故在在基基之之下下的的矩矩陣陣表表示示= =1212,.,3.4.7 . , .rrn rrU 11若為n維標(biāo)準(zhǔn)正交列向量組，則稱n r矩陣U =()為，記為 定義次U酉矩陣23 4 11:(2).Hn rHrnUUUUrankAr 階階方方陣陣當(dāng)當(dāng)且且僅僅次次酉酉矩矩陣陣當(dāng)當(dāng)存存在在( () )滿滿足足這這里里定定理理 1111:,;,;,.n rrnrnrrankArArrschmidtrnrUUUAUeeee 證證有有 個(gè)個(gè)列列線線性性無無關(guān)關(guān)將將這這 個(gè)個(gè)列列向向量量用用方方法法化化為為正正交交的的單單位位向向量量 以以這這 個(gè)個(gè)向向量量為為列列構(gòu)構(gòu)成成的的矩矩陣陣記記為為那那么么

15、設(shè)設(shè)那那么么被被線線性性表表示示 設(shè)設(shè) 11 1212122211122,:,nnnrrrrnHHHc ccc ccAeeUCc ccCUAAAAA AAA 下面來證下面來證 0.0,0,HHHHHrHHHHHUCUCUCCU U CC E CC CUCCrUCZrrank UCUCCU即即 個(gè)個(gè)未未知知量量的的齊齊次次線線性性方方程程組組有有 個(gè)個(gè)線線性性無無關(guān)關(guān)的的解解向向量量故故 2():HHHHHHHHHHrHAUUAUUUUAAUUUUU U U UUE UUUA 對(duì)對(duì)稱稱與與反反對(duì)對(duì)稱稱變變換換$ $3 3. .5 5定定義義 3 3. .5 5. .1 1AVV 設(shè)設(shè)/ / 是是

16、歐歐氏氏空空間間 的的一一個(gè)個(gè)線線性性變變換換，如如果果對(duì)對(duì)任任意意的的 ，都都有有AA （/ /（ ）， ）= =（ ，/ /（ ） 設(shè)設(shè)W W是是歐歐氏氏空空間間V V的的一一個(gè)個(gè)子子空空間間，那那么么V V在在W W上上的的正正交交投投影影變變換換 就就是是一一個(gè)個(gè)對(duì)對(duì)稱稱變變換換. .例例 3 3. .5 5. .1 1 那那么么稱稱/ /A A為為V V的的一一個(gè)個(gè)。對(duì)對(duì)稱稱變變換換12121212WWWW 任任取取 ，V V，設(shè)設(shè) = =， = =， 證證明明 11112111211121112111 由由正正交交投投影影的的定定義義可可知知（ ）= =，（ ）= = ，那那么么

17、（ ）， ）= =（ ，+ + ）= = （ ， ）+ +（ ， ）= =（ ， ） （ ，（ ）= =（+ +， ）= = （ ， ）+ +（， ）= =（ ， ） 于于是是有有（ ）， ）= =（ ，（ ）. .定定理理 3.5.1 3.5.1氏氏設(shè)設(shè)/A/A是是歐歐空空間間V V上的上的一一個(gè)個(gè)對(duì)對(duì)稱稱變變換換，如如果果WW是是A A的的不不變變子子空空間間，那那么么WW 也也是是/ /A A的的不不變變子子空空間間。定定理理 3.5.2 3.5.2氏歐歐空空間間V V上上的的線線性性變變換換/ /A A是是對(duì)對(duì)稱稱變變換換的的充充要要條條件件是是/ /A A在在V V的的任任意意一一個(gè)

18、個(gè)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基下下的的矩矩陣陣是是對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣。 明明 必必要要性性證證1 1n ni ij jn n n n任任取取V V的的一一個(gè)個(gè)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基, , , ，/ /A A在在該該基基下下對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的矩矩陣陣為為A A = =（a a ） , ,那那么么有有i i1 1i i1 12 2i i2 2n ni in ni ij jj ji ij j1 1j j1 12 2j j2 2n nj jn nj ji ii ij j / /A A( () ) = = a a + + a a + + + a a ，（/ /A A（），） = = a a/ /A A( () ) = =

19、 a a + + a a + + + a a ，（/ /A A（），） = = a aj ji ii ij ji ij jj ji ii ij j由由于于/ /A A為為對(duì)對(duì)稱稱變變換換，所所以以 a a = = ( (/ /A A( () ), ,) ) = = ( (, ,/ /A A( () ) ) = = ( (/ /A A( () ), ,) ) = = a a這這表表明明A A為為對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣。充充分分性性設(shè)設(shè)線線性性變變換換/ /A A在在V V中中的的一一個(gè)個(gè)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基1 1n n, , , 下下的的矩矩陣陣A A為為對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣，為為V V中中任任意意兩兩個(gè)

20、個(gè)1 1n n1 1n n1 1n n向向量量，且且在在, , ,下下的的坐坐標(biāo)標(biāo)分分別別為為X X, ,Y Y, ,即即 = = , , , X X, ,= = , , , Y YllA1 1n n1 1n n于于是是有有 A A（） = = , , , A AX X, , （） = = , , , A AY Y那那么么T TT TT TT T（/ /A A（），） = =（A AX X）Y Y = = X X A A Y Y = = X X A AY Y = = ( (, ,/ /A A( () ) )這這表表明明/ /A A為為V V的的對(duì)對(duì)稱稱變變換換。定定理理 3 3. .5 5.

21、.3 3歐歐式式空空間間的的對(duì)對(duì)稱稱變變換換是是可可對(duì)對(duì)角角化化的的線線性性變變換換。變變換換，如如果果對(duì)對(duì)任任意意的的，V V都都有有定定義義 3 3. .5 5. .2 2設(shè)設(shè)/ /A A是是歐歐氏氏空空間間V V上上的的一一個(gè)個(gè)線線性性（/ /A A（），） = = - -（，/ /A A（）那那么么稱稱/A/A為為V V的的一一個(gè)個(gè)。反反對(duì)對(duì)稱稱變變換換由由于于實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣一一定定正正交交相相似似于于一一個(gè)個(gè)對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣, ,于于是是有有: :定理 3.5.4定理 3.5.4設(shè)設(shè)/ /A A是是歐歐式式空空間間V V上上的的一一個(gè)個(gè)反反對(duì)對(duì)稱稱變變換換，如果W是/A的，如果

22、W是/A的不不變變子空子空間間，那，那么W 也是/A的么W 也是/A的不不變變子空子空間間。定定理理 3 3. .5 5. .5 5歐歐式式空空間間V V上上的的線線性性變變換換/ /A A是是反反對(duì)對(duì)稱稱變變換換，當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)/ /A A在在V V的的任任意意一一個(gè)個(gè)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基下下的的矩矩陣陣是是反反對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣。法3 3例例 3.5.2 3.5.2 在R 中在R 中，設(shè)設(shè)u u為為過過直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系原系原點(diǎn)的平點(diǎn)的平面面的的單單位位矢矢量.量.變變換換/A/A是是3 3/A(/A() =-2(u,)u, ) =-2(u,)u, R R正正交交變變換換, ,對(duì)對(duì)稱稱變變

23、換換, ,我我們們稱稱容容易易驗(yàn)驗(yàn)其其為為鏡鏡證證此此變變換換為為面面反反射射. .,: , , ,:uv 3 3更更進(jìn)進(jìn)一一步步 將將u u擴(kuò)擴(kuò)充充為為R R 的的一一組組標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)基基則則有有/( ),/( ),/( )A uuAA vv :A于于是是/ / 在在這這組組標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)基基下下的的矩矩陣陣表表示示為為100010001A 11:,:.()()n nn nn nn nHTCRUUEUAUUAUBUAUU AUBAB 對(duì)對(duì)或或如如果果存存在在或或使使得得酉酉相相似似 或或正正則則說說 酉酉相相似似 或或正正或或交交相相似似交交于于相相似似&3.6 Schur正正規(guī)規(guī)矩矩陣陣引引

24、理理, Schur一一引引理理():.SchurnA任何一個(gè) 階復(fù)矩陣 酉相似于任何一個(gè) 階復(fù)矩陣 酉相似于一個(gè)上 下一個(gè)上 下理理三角矩陣三角矩陣引引():,1,;Ann 對(duì)對(duì) 的的階階數(shù)數(shù) 用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法 當(dāng)當(dāng)結(jié)結(jié)論論成成立立證證 11111111111211211,:,*,0KKK KKKKKnknkACUUUAUAAAAA 假假設(shè)設(shè)時(shí)時(shí)結(jié)結(jié)論論成成立立 那那么么當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)設(shè)設(shè)是是 的的屬屬于于特特征征值值 的的單單位位特特征征向向量量將將擴(kuò)擴(kuò)充充成成的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基且且令令則則且且有有111121;:11.HK KAKAKWWA WRUUW 其其中中是是階階方方陣陣 而

25、而對(duì)對(duì) 由由歸歸納納假假設(shè)設(shè)存存在在階階酉酉矩矩陣陣使使是是上上三三角角形形 令令，則則 1121122211*,0.*0HHHUUAUUUUAR 這這是是上上三三角角形形矩矩陣陣1163 6 1(,.).該該引引理理的的證證明明給給出出了了一一個(gè)個(gè) 已已知知求求酉酉矩矩陣陣使使為為上上三三角角形形 的的一一個(gè)個(gè)方方見見教教材材例例法法HAUUAUP 12221,1,:.n nijnnniijii jSchuACAara 設(shè)設(shè)為為 的的則則等等特特征征值值不不式式 ,:.n nHHHHHHHHHHHHSchurUUUAURUA URRRUAUUA UUAAUtr RRtr AA 由由引引理理知

26、知存存在在 使使為為上上三三角角形形，從從而而為為下下證證三三角角形形，從從而而 22,1,122222,111221,1,.:.nnijijijn ni ji jnnnijiiijiiji jiijiijnniijii jRrrarrrra 設(shè)設(shè)那那么么又又故故 1110,ijnnnrijrRr 等等號(hào)號(hào)成成立立當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)即即是是對(duì)對(duì)角角形形. .:二二、正正規(guī)規(guī)矩矩陣陣及及性性質(zhì)質(zhì)3 6 2,;,:.n nHHn nTTACAAA AAARAAA AA 設(shè)設(shè)如如果果則則稱稱 是是正正規(guī)規(guī)矩矩陣陣如如果果則則稱稱 是是定定實(shí)實(shí)正正規(guī)規(guī)矩矩陣陣義義(1):.1,:ABAB若若 是是正正規(guī)

27、規(guī)矩矩引引理理陣陣酉酉相相似似于于則則 也也是是正正3 3. .6 6. .性性規(guī)規(guī)矩矩陣陣質(zhì)質(zhì) ,:,HHHHTHHHHHHHHHHHHHHHHHHBUAUBBUAUUA UUAU UA UUAA UBBUAUUAUUA U UAUUAAUAAAABBBB 又又故故證證 (2),2:.AA若若 是是三三角角形形引引理理正正規(guī)規(guī)矩矩陣陣則則 一一定定是是對(duì)對(duì)3 3. . . .角角矩矩陣陣6 6 1112111222122212:0000,0 0,:1,2,nnHnnnnnnHHa aaaaaaaAAaaaaA AAAiiin 設(shè)設(shè)比比較較等等式式中中第第 行行 列列元元素素得得證證等等式式組

28、組111211111121112222222222nnnnnnnnnnnna aa aa aa aa aa aa aa aa a 0ijaij 故故 1211121112322232221110002,000(3, )00niniininiinnnnnna aa aa aaina aa aa aainaaa 1,2,;1,2.,;:n nHnSchurUUUAUBBBdiag 由由引引理理知知存存在在使使是是上上三三角角形形 由由引引理理3 3. .6 6. . 引引理理3 3. .6 6. . 知知 是是對(duì)對(duì)角角形形即即證證1111:1nnnnA 反反之之故故由由引引理理 知知 是是正正規(guī)規(guī)

29、矩矩陣陣. . 1,2,1,3 6 3:(3),.n nn nHnnACAUUUAUdiagA 設(shè)設(shè)則則 是是正正規(guī)規(guī)矩矩陣陣當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)存存在在使使這這里里是是 的的理理特特征征值值定定(4)1:iHAAxAx 正正規(guī)規(guī)矩矩陣陣, , 是是 的的特特征征值值, ,對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量是是 , ,則則 是是的的特特征征值值, ,其其對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特設(shè)設(shè)征征推推論論3 3. .6 6. .向向量量是是是是. .12(,:)HnUAUdiagU 對(duì)對(duì)兩兩邊邊取取復(fù)復(fù)共共軛軛轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置 再再將將 的的第第列列當(dāng)當(dāng)做做一一個(gè)個(gè)向向提提示示量量進(jìn)進(jìn)行行分分塊塊. .:(5).正正規(guī)規(guī)矩矩陣陣的

30、的屬屬于于不不同同特特征征值值的的特特征征子子空空間間是是彼彼推推論論.3此此正正交交的的(4).:n正正規(guī)規(guī)矩矩陣陣有有 個(gè)個(gè)線線性性無無關(guān)關(guān)的的推推論論特特3 3. .6 6 2 2征征向向量量. .:3 6 3.UnAn 證證 由由定定理理知知 的的 個(gè)個(gè)列列向向量量即即是是 的的 個(gè)個(gè)線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量 1212121122111112121111122121,sssnnnHssnnssnnnsssnUAUdiagUuuuuuuVspan uuVspan uuVspan uu 設(shè)設(shè):證證 1,1 2,jUnVVij i jS 由由于于 的的 個(gè)個(gè)列列是

31、是標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交向向量量組組 (3 6 4:6),();0;()1.HHHHAAAHermiteAAAHermiteAA AAAEAabc 設(shè)設(shè) 是是正正規(guī)規(guī)矩矩陣陣 則則當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng) 的的特特征征值值是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)( (反反) )當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng) 的的特特征征值值的的實(shí)實(shí)部部為為酉酉矩矩陣陣 當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng) 的的特特征征值值的的模模為為定定理理 13 5 3:,.9:.11 )由由定定理理知知因因此此給給出出了了一一個(gè)個(gè)求求使使得得為為對(duì)對(duì)角角形形的的方方注注法法（nHAUUdiagUUAUP 1113.6.3,HnHHHnnU AUdiagAU diagUAU diagU 由由定定理

32、理知知即即，證證： 211111HiiiiHiiicAAEAAE ：如如果果，可可以以推推出出，即即，即即；反反之之：如如果果;HHiiiiaAAAA ：如如果果反反之之：如如果果；-;0-HiiiHiibAAAA ：如如果果反反之之：如如果果 的的實(shí)實(shí)部部為為 ，則則； H He er rm mi it te e變變換換、正正規(guī)規(guī)變變換換$ $ 3 3. . 7 7設(shè)設(shè)V V是是一一個(gè)個(gè)酉酉空空間間，/ /A A為為V V上上的的一一個(gè)個(gè)線線性性變變換換，如如果果對(duì)對(duì)任任意意的的，V V都都有有（/A（），） =（，/A（），（/A（），） =（，/A（），那那么么稱稱/A/A為為V V的的

33、一一個(gè)個(gè)，或，或者者. .HermiteHermite變變換換自自伴伴變變換換定理 3.7.1定理 3.7.1酉酉空空間間V V上上的的線線性性變變換換/ /A A是是H He er rm mi it te eH H變變換換的的充充分分必必要要條條件件l lA A在在V V的的任任意意一一個(gè)個(gè)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基下下的的矩矩陣陣A A滿滿足足A A= = A A 即即A A為為H He er rm mi it te e矩矩陣陣定理 3.7.2定理 3.7.2酉酉空空間間V V上上的的H He er rm mi it te e變變換換l lA A的的特特征征值值為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù). .定定義義 3.7

34、.2 3.7.2設(shè)設(shè)V V是是一一個(gè)個(gè)酉酉空空間間，/ /A A為為V V上上的的一一個(gè)個(gè)線線性性變變換換，如如果果對(duì)對(duì)任任意意的的，V V都都有有（/ /A A（），） = = - -（，/ /A A( () )）那那么么稱稱/ /A A為為V V的的一一個(gè)個(gè)反反H He er rm mi it te e變變換換. .酉酉空空間間V V上上的的線線性性變變換換l lA A是是反反H He er rm mi it te e變變換換當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)/ /A A在在V V的的任任意意一一個(gè)個(gè)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基下下的的矩矩陣陣/ /A A滿滿足足H HA A= = - -A A即即A A為為反反H

35、 He er rm mi it te e矩矩陣陣. .定定義義 3.7.3 3.7.3設(shè)設(shè)V V是是一一個(gè)個(gè)（歐歐氏氏）酉酉空空間間，/ /A A為為V VH H上上的的一一個(gè)個(gè)線線性性變變換換，如如果果存存在在V V上上的的一一個(gè)個(gè)線線性性變變換換/ /A A , ,使使得得：H H那那么么稱稱l lA A有有一一個(gè)個(gè)伴伴隨隨變變換換/ /A A . .理定定 3 3. .7 7. .4 41 1n n設(shè)設(shè)V V是是一一個(gè)個(gè)（歐歐氏氏）酉酉空空間間，, , ,是是V V的的一一個(gè)個(gè)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基，/ /A A是是V V上上的的一一個(gè)個(gè)線線性性變變換換，分別為則有H H1n1nH H且/A,/A 在基且/A,/A 在基,下,下對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的矩矩陣陣A,BA,B: B = A: B = A(/A ,)( , /),HAV 例例 3.7.1 3.7.1設(shè)設(shè)/ /A A為為歐歐氏氏空空間間的的一一個(gè)個(gè)對(duì)對(duì)稱稱變變換換，那那么么H H/ /A A= = / /A A . .例例 3.7.2 3.7.2 設(shè)設(shè)/ /A A為為酉酉空空間間V V的的一一個(gè)個(gè)H He er rm mi it te e對(duì)對(duì)稱稱變變換換，那那么么H H/A= /A ./A= /A .H He er rm mi it te e變變換換也也經(jīng)經(jīng)常常被被