高等數(shù)學(xué)6.2一階微分方程ppt課件

1、 6.2 6.2 一階微分方程一階微分方程一、可分別變量微分方程一、可分別變量微分方程 假設(shè)一階微分方程可以化為以下方式：假設(shè)一階微分方程可以化為以下方式：xxfyygd)(d)(那么稱原方程為變量可分別的方程。那么稱原方程為變量可分別的方程。假設(shè)一階微分方程可以化為以下方式：假設(shè)一階微分方程可以化為以下方式：xxfyygd)(d)(那么稱原方程為變量可分別的方程。那么稱原方程為變量可分別的方程。運(yùn)用積分方法即可求得變量可分別方程的通解：運(yùn)用積分方法即可求得變量可分別方程的通解：xxfyygd)(d)(其中其中C 為積分后出現(xiàn)的恣意常數(shù)。為積分后出現(xiàn)的恣意常數(shù)。 ),( 。就就是是原原方方程程

2、的的通通解解積積分分的的結(jié)結(jié)果果Cxyy 將一個(gè)方程化為變量分別方程并求出其通解的過(guò)程，將一個(gè)方程化為變量分別方程并求出其通解的過(guò)程，稱為分別變量法。稱為分別變量法。 例例1 1解解 ),( 11 002的的特特解解。的的通通解解，并并指指出出過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)求求方方程程yxxy原方程即原方程即 ,1dd2xxy對(duì)上式兩邊積分，得原方程的通解對(duì)上式兩邊積分，得原方程的通解Cxy arctan )(。x，故故時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)00 yyxx arctan00，xyC的特解為的特解為從而，過(guò)點(diǎn)從而，過(guò)點(diǎn) ),( 00yx arctanarctan00。xxyy例例2. 解初值問(wèn)題解初值問(wèn)題0d)1(d2yxxyx

3、解解: 分別變量得分別變量得xxxyyd1d2兩邊積分得兩邊積分得Cxyln11lnln2即即Cxy12由初始條件得由初始條件得 C = 1,112xy( C 為恣意常數(shù)為恣意常數(shù) )故所求特解為故所求特解為 1)0(y例例3. 求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令令 , 1yxu那么那么yu1故有故有uu2sin1即即xuuddsec2Cxutan解得解得Cxyx) 1tan( C 為恣意常數(shù)為恣意常數(shù) )所求通解所求通解: 例例4 4解解 tandd 的的通通解解。求求方方程程xyxyxy dddd ，則則令令xuxuxyxyu于是，原方程化為于是，原

4、方程化為 dtand，xxuu兩邊積分，得兩邊積分，得 dtand，xxuu |ln |ln |sin|ln，Cxu即即 sin，Cxu sin 。故故原原方方程程的的通通解解為為Cxxyxuuxyddduxuxxyddddxxxxsincoscottan1形如形如)(ddxyxy的方程叫做齊次方程的方程叫做齊次方程 .令令,xyu ,xuy 則代入原方程得代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d兩邊積分兩邊積分, 得得xxuuud)(d積分后再用積分后再用xy替代替代 u, 便得原方程的通解便得原方程的通解.解法解法:分別變量分別變量: 例例5. 解微分方程解微

5、分方程.0dd)2(22yxxyxy解解: :,2dd2xyxyxy方程變形為,xyu 令那么那么有有22uuuxu分別變量分別變量xxuuudd2積分得積分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原變量得通解代回原變量得通解即即Cuux )1(yCxyx)(闡明闡明: 顯然顯然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解也是原方程的解, 但在但在(C 為恣意常數(shù)為恣意常數(shù))求解過(guò)程中喪失了求解過(guò)程中喪失了. 二、一階線性微分方程二、一階線性微分方程形如形如)()(xqyxpy的方程稱為一階線性微分方程。的方程稱為一階線性微分方程。 0)( 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)xq方程稱為

6、一階齊線性方程。方程稱為一階齊線性方程。方程稱為一階非齊線性方程。方程稱為一階非齊線性方程。 0)( 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)xq習(xí)慣上，稱習(xí)慣上，稱0)(yxpy為方程為方程)()(xqyxpy所對(duì)應(yīng)的齊方程。所對(duì)應(yīng)的齊方程。時(shí)時(shí)，方方程程有有唯唯一一解解。、一一般般說(shuō)說(shuō)來(lái)來(lái)，當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù) )()( Cxqxp 0)( 。是一個(gè)變量可分離方程方程yxpy運(yùn)用分別變量法，得運(yùn)用分別變量法，得 d)(d，xxpyy )0(，y兩邊積分，得兩邊積分，得 d)( |ln1，Cxxpy故故 d)(1。xxpCeey 1的通解為，得一階齊線性方程記CeC d)(。xxpCey 0 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于y 0。C表示一個(gè)表示

7、一個(gè)原函數(shù)原函數(shù) 例例6 6解解 02 的通解。的通解。求求xyy ) ,()( 2)(，Cxpxxp故該一階齊線性方程的通解為故該一階齊線性方程的通解為 2d)2(d)(。xxxxxpCeCeCey 例例7 7解解 2 0sin 2。，求求解解初初值值問(wèn)問(wèn)題題：xyxyy先求此一階齊線性方程的通解：先求此一階齊線性方程的通解： ) ,(sin)(，Cxxp cosdsin。xxxCeCey 2 2代入通解中，得代入通解中，得將將xy) 2 (2cosCe因因?yàn)闉?2，C故該初值問(wèn)題的解為故該初值問(wèn)題的解為 2cos。xey 一階非齊線性方程的解一階非齊線性方程的解比較兩個(gè)方程：比較兩個(gè)方程：

8、 )()(。xqyxpy 0)(，yxpy我想：它們的解的方式應(yīng)該差不多。但差了我想：它們的解的方式應(yīng)該差不多。但差了一點(diǎn)一點(diǎn) 什么東西呢？什么東西呢？xxpCeyd)(xxpexCyd)()()()(xqyxpy )( )( d)(可可微微，則則，且且待待定定函函數(shù)數(shù)令令xCexCyxxp )()()()(d)(d)(d)(，xxpxxpxxpexCxpexCexCy怎樣辦？怎樣辦？ 得得的表達(dá)式代入方程中，的表達(dá)式代入方程中，及及將將yy )()()()()()(d)(d)(d)(，xqxpexCexCxpexCxxpxxpxxp故故 )()(d)(，xqexCxxp即即 )()(d)(，

9、xxpexqxC上式兩邊積分，求出待定函數(shù)上式兩邊積分，求出待定函數(shù)CxexqxCxxpd)()(d)( ) (。為任意常數(shù)C )( d)(方程的通解為中，得一階非齊線性代入xxpexCy ) d)( (d)(d)(。Cxexqeyxxpxxp 以上的推導(dǎo)過(guò)程稱為以上的推導(dǎo)過(guò)程稱為“常數(shù)變易法。這種方法常數(shù)變易法。這種方法經(jīng)常用來(lái)由齊次問(wèn)題推出相應(yīng)的非齊次問(wèn)題、由線經(jīng)常用來(lái)由齊次問(wèn)題推出相應(yīng)的非齊次問(wèn)題、由線性問(wèn)題推出相應(yīng)的非線性問(wèn)題。性問(wèn)題推出相應(yīng)的非線性問(wèn)題。 例例7 7解解 cos2 2的的通通解解。求求方方程程xexyyx cos)( 2)( 2，因?yàn)橐驗(yàn)閤exqxxpx所以，方程的通解為所以，方程的通解為) dcos (d)2(d)2(2Cxxeeeyxxxxx) Cd cos (222xexeexxx) Cdcos (2xxex ) sin (2。Cxex 例例8 8解解 dd 3的通解。的通解。求方程求方程yxyx