高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文函數(shù)高考題的變式訓(xùn)練

1、函數(shù)高考題的變式訓(xùn)練改編陳題是高考數(shù)學(xué)命題的途徑之一，近幾年的高考幾乎每年都有改編自課本習(xí)題、歷年高考題、競(jìng)賽試題的題目。平常教學(xué)中，進(jìn)行有效的變式教學(xué)和變式訓(xùn)練，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性都起著積極的作用。函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)最重要的內(nèi)容之一，其試題靈活性大，綜合性強(qiáng)，出題方式多種多樣，成為歷年高考命題的重中之重。本文對(duì)近兩年的部分函數(shù)高考題，進(jìn)行變式訓(xùn)練。高考真題1(2010年高考湖南理科卷第8題)用表示兩數(shù)中的最小值.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的值為（ ）A-2 B2 C-1 D1【參考答案】由右圖可以看出，要使的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則.故選【D】.變式訓(xùn)練1：用表示兩數(shù)中的最小值.若函數(shù)

2、的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，求的值.【解析】函數(shù)和的零點(diǎn)分別是和，結(jié)合原題的解答圖象，由對(duì)稱性得，即.變式訓(xùn)練2：用表示兩數(shù)中的最小值.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，若方程恰有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.【解析】由原題知，分別作出函數(shù)和的圖象，數(shù)形結(jié)合得或.變式訓(xùn)練3：用表示兩數(shù)中的最小值.給定函數(shù)，若不等式恒成立，求的取值范圍.【解析】分別作出函數(shù)和的圖象，數(shù)形結(jié)合得，即.【小結(jié)】原題通過(guò)新定義考查學(xué)生的創(chuàng)新能力，考查函數(shù)的圖象，考查考生數(shù)形結(jié)合的能力.變式題通過(guò)使條件一般化，并結(jié)合方程、不等式的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行訓(xùn)練，依然重視考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力。高考真題2(2009年高考全國(guó)理科卷第11題)函數(shù)的

3、定義域?yàn)?，若與都是奇函數(shù)，則( ) sA.是偶函數(shù) B.是奇函數(shù) C. D.是奇函數(shù)【參考答案】由函數(shù)是奇函數(shù)知 由函數(shù)是奇函數(shù)知 由知，由知所以，即所以函數(shù)是以4為周期的函數(shù).由知，即所以函數(shù)是奇函數(shù).故選【D】.變式訓(xùn)練1：對(duì)任意的函數(shù)，在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與函數(shù)的圖象恒（ ）A.關(guān)于軸對(duì)稱 B.關(guān)于直線對(duì)稱C.關(guān)于直線對(duì)稱 D.關(guān)于軸對(duì)稱【解析】函數(shù)和的圖象關(guān)于直線（即軸）對(duì)稱，由函數(shù)圖象平移變換理論得，函數(shù)與（即）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故選【B】.變式訓(xùn)練2：函數(shù)在上是增函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)，試確定的大小關(guān)系.【解析】由函數(shù)為偶函數(shù)得：，故函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，且開(kāi)口向下，畫(huà)出函數(shù)的簡(jiǎn)

4、圖，由簡(jiǎn)圖顯然有.變式訓(xùn)練3：函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意的都有，求的值.【解析】由題，兩式相加得即所以因此是周期為6的周期函數(shù).又函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以所以【小結(jié)】原題考查奇函數(shù)的概念及對(duì)抽象復(fù)合函數(shù)的奇偶性的理解。抽象函數(shù)無(wú)具體解析式，理解、研究起來(lái)困難很大，它是高中數(shù)學(xué)函數(shù)部分的難點(diǎn)，也是高中與大學(xué)函數(shù)部分的一個(gè)銜接點(diǎn)。變式題對(duì)抽象復(fù)合函數(shù)的部分題型進(jìn)行了訓(xùn)練。高考真題3(2009年高考遼寧理科卷第9題文科卷第12題)已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)增加，則滿足的取值范圍是( )A.（，） B.，） C.（，） D.，）【參考答案】由于是偶函數(shù),故 原不等式變?yōu)?又在區(qū)間單調(diào)增加得 , 解

5、得.故選【A】.變式訓(xùn)練1：已知奇函數(shù)對(duì)于任意，都有,求滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】由知在是增函數(shù)，又為奇函數(shù)所以，即，即，所以.變式訓(xùn)練2：已知奇函數(shù)對(duì)于任意，都有，若恒成立，求的取值范圍.【解析】由知在上是減函數(shù)，又為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以在上是減函數(shù).由恒成立，得即恒成立，而，所以.變式訓(xùn)練3：已知是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，.若對(duì)所有恒成立.求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】任取，由為奇函數(shù)得： 由已知 即在上為增函數(shù)又，故對(duì)，恒有要使對(duì)所有恒成立，即要成立，故記，對(duì)，只需 即，解得：.【小結(jié)】原題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及抽象函數(shù)不等式的解法。抽象函數(shù)與不等式的綜合命題是近年高

6、考的熱點(diǎn)，變式題嘗試改變條件的呈現(xiàn)形式，并對(duì)不等式的探討進(jìn)行拓深、拓廣。高考真題4(2010年高考湖南理科卷第20題)已知函數(shù)對(duì)任意的，恒有.（）證明：當(dāng)時(shí)，；（）若對(duì)滿足題設(shè)條件的任意，不等式恒成立，求的最小值.【參考答案】（）易知，由題設(shè)，對(duì)任意的，即恒成立，所以，從而.于是，且，因此，故當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)，有（）由（）易知，當(dāng)，有，令，則，而函數(shù)的值域是.因此，當(dāng)時(shí)，的取值集合為.當(dāng)時(shí)，由（）易知，此時(shí)，從而恒成立.綜上所述，的最小值為.變式訓(xùn)練1:設(shè)二次函數(shù)滿足，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有，并且當(dāng)時(shí)，有.（）求的值；（）求證：；（）當(dāng)時(shí)，函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（）對(duì)于任意，都

7、有,且當(dāng)時(shí),有. 令 ，即. （）由，可得，則.又對(duì)任意，即， .，即.（）,，.,當(dāng)時(shí)，函數(shù)是單調(diào)函數(shù). ,解得或.變式訓(xùn)練2:設(shè)二次函數(shù)滿足條件：當(dāng)時(shí)，且；當(dāng)時(shí)，；在上的最小值為0.求最大的，使得存在,只要，就有.【解析】由，可知二次函數(shù)的對(duì)稱軸為又由知二次函數(shù)的開(kāi)口向上，即，故可設(shè)由知，由知，所以，故，所以.因?yàn)榈膱D象開(kāi)口向上，而的圖象是由的圖象平移個(gè)單位得到.要在區(qū)間上，使得的圖象在的圖象的下方，且最大，則1和是關(guān)于的方程 （）的兩個(gè)根.把代人方程（）得或當(dāng)時(shí)，方程（）的解為，這與矛盾當(dāng)時(shí)，方程（）的解為，所以又當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，恒有，即.所以，的最大值為9.【小結(jié)】原題考查二次函數(shù)與一次

8、函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，函數(shù)的值域，不等式的證明，考查考生轉(zhuǎn)化與化歸能力.二次函數(shù)是重要的初等函數(shù)之一，幾乎每年高考都有涉及，客觀題往往是利用它的性質(zhì)去解決相關(guān)問(wèn)題，解答題主要與最值、不等式等知識(shí)綜合考查，一般為難題。二次方程、二次不等式與二次函數(shù)密切相關(guān)，變式題對(duì)“三個(gè)二次”的內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行訓(xùn)練。高考真題5(2010年高考全國(guó)新課標(biāo)理科卷第21題)設(shè)函數(shù).（）若，求的單調(diào)區(qū)間；（）若當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.【參考答案】（）時(shí)，當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，.故的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（）由（）知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故，從而當(dāng)，即時(shí)，而，于是當(dāng)時(shí)，.由可得.從而當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，而，于是當(dāng)時(shí)，.綜合得的取值范圍

9、為.變式訓(xùn)練1：已知函數(shù)，（為常數(shù)）函數(shù)定義為：對(duì)每個(gè)給定的實(shí)數(shù)，（）如果，證明：；（）若當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.【解析】本變式僅僅改變?cè)}的背景，讓條件以新定義的方式表達(dá)，內(nèi)涵不變，解答與原題基本一致.（）時(shí),記函數(shù)，由原題解答知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，因此，即，所以.（）由題意及知等價(jià)于的原題條件，解答與原題基本相同.變式訓(xùn)練2：設(shè)，函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）. （）判斷的單調(diào)性；（）若在上恒成立，求的取值范圍.【解析】（）由已知 令當(dāng)時(shí)， 在上為減函數(shù).當(dāng)時(shí)，的判別式，在上為減函數(shù). 當(dāng)時(shí)，由得或由 得在上為增函數(shù)；在上為減函數(shù). （）當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù).，由得 .當(dāng)時(shí)， 在上不恒成立.的取值范圍是 【小結(jié)】原題主要考查利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)、函數(shù)知識(shí)、不等式知識(shí)求解綜合問(wèn)題的能力，考查分類思想的運(yùn)用能力。導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)、方程與不等式的較綜合問(wèn)題是高考命題的熱點(diǎn)。變式題對(duì)導(dǎo)數(shù)