（精選）因式分解最牛最全的方法Word版

1、因式分解一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、運(yùn)用公式法.在整式的乘、除中，我們學(xué)過若干個乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b) = a2-b2 a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再補(bǔ)充兩個常用的公式：(5)a2+

2、b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.已知是的三邊，且，則的形狀是（ ）A.直角三角形 B等腰三角形 C 等邊三角形 D等腰直角三角形解： 三、分組分解法.（一）分組后能直接提公因式例1、分解因式：分析：從“整體”看，這個多項(xiàng)式的各項(xiàng)既沒有公因式可提，也不能運(yùn)用公式分解，但從“局部”看，這個多項(xiàng)式前兩項(xiàng)都含有a，后兩項(xiàng)都含有b，因此可以考慮將前兩項(xiàng)分為一組，后兩項(xiàng)分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯(lián)系。解：原式= = 每組之間還有公因式！ = 例2、分解因式：解法一：第一、二項(xiàng)為一組；

3、 解法二：第一、四項(xiàng)為一組；第三、四項(xiàng)為一組。 第二、三項(xiàng)為一組。解：原式= 原式= = = = =（二）分組后能直接運(yùn)用公式例3、分解因式：分析：若將第一、三項(xiàng)分為一組，第二、四項(xiàng)分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就能繼續(xù)分解，所以只能另外分組。 解：原式= = =例4: 分解因式： 解：原式= = =四、十字相乘法.（一）二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式直接利用公式進(jìn)行分解。特點(diǎn)：（1）二次項(xiàng)系數(shù)是1； （2）常數(shù)項(xiàng)是兩個數(shù)的乘積；（3）一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩因數(shù)的和。思考：十字相乘有什么基本規(guī)律？例.已知05，且為整數(shù)，若能用十字相乘法分解因式，求符合條件的.解析：凡是能十字相乘的二次三項(xiàng)

4、式ax2+bx+c，都要求 >0而且是一個完全平方數(shù)。于是為完全平方數(shù)，例5、分解因式：分析：將6分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要等于5。 由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，從中可以發(fā)現(xiàn)只有2×3的分解適合，即2+3=5。 1 2解：= 1 3 = 1×2+1×3=5用此方法進(jìn)行分解的關(guān)鍵：將常數(shù)項(xiàng)分解成兩個因數(shù)的積，且這兩個因數(shù)的代數(shù)和要等于一次項(xiàng)的系數(shù)。例6、分解因式：解：原式= 1 -1 = 1 -6 （-1）+（-6）= -7（二）二次項(xiàng)系數(shù)不為1的二次三項(xiàng)式條件：（1） （2）

5、（3） 分解結(jié)果：=例7、分解因式： 分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：=（三）二次項(xiàng)系數(shù)為1的齊次多項(xiàng)式例8、分解因式：分析：將看成常數(shù)，把原多項(xiàng)式看成關(guān)于的二次三項(xiàng)式，利用十字相乘法進(jìn)行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：= =（四）二次項(xiàng)系數(shù)不為1的齊次多項(xiàng)式 1 -2y 把看作一個整體 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=五、換元法例13、分解因式（1） （2）解：（1）設(shè)2005=，則原式= = =（2）型如的多項(xiàng)式，分解因式時可以把四個因式兩兩分組

6、相乘。 原式=設(shè)，則原式= =觀察：此多項(xiàng)式的特點(diǎn)是關(guān)于的降冪排列，每一項(xiàng)的次數(shù)依次少1，并且系數(shù)成“軸對稱”。這種多項(xiàng)式屬于“等距離多項(xiàng)式”。方法：提中間項(xiàng)的字母和它的次數(shù)，保留系數(shù)，然后再用換元法。解：原式=設(shè)，則原式= = = =（2）解：原式= 設(shè)，則 原式= =六、添項(xiàng)、拆項(xiàng)、配方法例15、分解因式（1） 解法1拆項(xiàng) 解法2添項(xiàng)原式= 原式= = = = = = =（2）解：原式=七、待定系數(shù)法。例16、分解因式分析：原式的前3項(xiàng)可以分為，則原多項(xiàng)式必定可分為解：設(shè)=對比左右兩邊相同項(xiàng)的系數(shù)可得，解得原式=例17、（1）當(dāng)為何值時，多項(xiàng)式能分解因式，并分解此多項(xiàng)式。 （2）如果有兩個

7、因式為和，求的值。（1）分析：前兩項(xiàng)可以分解為，故此多項(xiàng)式分解的形式必為解：設(shè)= 則=比較對應(yīng)的系數(shù)可得：，解得：或當(dāng)時，原多項(xiàng)式可以分解；當(dāng)時，原式=；當(dāng)時，原式=（2）分析：是一個三次式，所以它應(yīng)該分成三個一次式相乘，因此第三個因式必為形如的一次二項(xiàng)式。解：設(shè)= 則= 解得，=21 1. 通過基本思路達(dá)到分解多項(xiàng)式的目的 例1. 分解因式 分析：這是一個六項(xiàng)式，很顯然要先進(jìn)行分組，此題可把分別看成一組，此時六項(xiàng)式變成二項(xiàng)式，提取公因式后，再進(jìn)一步分解；也可把，分別看成一組，此時的六項(xiàng)式變成三項(xiàng)式，提取公因式后再進(jìn)行分解。 解一：原式 解二：原式= 2. 通過變形達(dá)到分解的目的 例1. 分解

8、因式 解一：將拆成，則有 解二：將常數(shù)拆成，則有 3. 在證明題中的應(yīng)用 例：求證：多項(xiàng)式的值一定是非負(fù)數(shù) 分析：現(xiàn)階段我們學(xué)習(xí)了兩個非負(fù)數(shù)，它們是完全平方數(shù)、絕對值。本題要證明這個多項(xiàng)式是非負(fù)數(shù)，需要變形成完全平方數(shù)。 證明： 設(shè)，則 4. 因式分解中的轉(zhuǎn)化思想 例：分解因式： 分析：本題若直接用公式法分解，過程很復(fù)雜，觀察a+b，b+c與a+2b+c的關(guān)系，努力尋找一種代換的方法。 解：設(shè)a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B 在分解因式時，靈活運(yùn)用公式，對原式進(jìn)行“代換”是很重要的。 例1.在中，三邊a,b,c滿足 求證： 證明： 說明：此題是代數(shù)、幾何的綜合題，難度不大，學(xué)生應(yīng)掌握這類題不能丟分。 例2. 已知：_ 解： 說明：利用等式化繁為易。題型展示 1. 若x為任意整數(shù)，求證：的值不大于100。 解：