圓錐曲線與向量綜合題

1、圓錐曲線與平面向量考綱透析考試大綱：橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，平面向量的概念，向量的坐標(biāo)運(yùn)算. 高考熱點(diǎn)：圓錐曲線與平面向量的綜合. 新題型分類例析1.已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為（2，0），右頂點(diǎn)為 （1）求雙曲線C的方程； （2）若直線與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且（其中O為原點(diǎn)）. 求k的取值范圍.解：（）設(shè)雙曲線方程為 由已知得故雙曲線C的方程為（）將 由直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得即 設(shè)，則而于是 由、得 故k的取值范圍為2.已知橢圓C：1（ab0）的左右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為e. 直線l：yexa與x軸y軸分別交

2、于點(diǎn)A、B，M是直線l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)，P是點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，設(shè). （）證明：1e2； （）確定的值，使得PF1F2是等腰三角形.（）證法一：因?yàn)锳、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是. 所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是（）. 由即 證法二：因?yàn)锳、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是設(shè)M的坐標(biāo)是所以 因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以 即解得 （）解法一：因?yàn)镻F1l，所以PF1F2=90°+BAF1為鈍角，要使PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 設(shè)點(diǎn)F1到l的距離為d，由 得 所以 即當(dāng)PF1F2為等腰三角形.解法二：因?yàn)镻F1

3、l，所以PF1F2=90°+BAF1為鈍角，要使PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是，則，由|PF1|=|F1F2|得兩邊同時(shí)除以4a2，化簡得 從而于是 即當(dāng)時(shí)，PF1F2為等腰三角形.3.設(shè)，為直角坐標(biāo)平面內(nèi)軸、軸正方向上的單位向量，若，且.（）求點(diǎn)的軌跡C的方程；（）若A、B為軌跡C上的兩點(diǎn)，滿足，其中M（0，），求線段AB的長.啟思4.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，與共線.（）求橢圓的離心率；（）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值.解：本小題主要考查直線方程、平面向量及橢圓的幾何性質(zhì)

4、等基本知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題及推理的能力. 滿分12分.（1）解：設(shè)橢圓方程為則直線AB的方程為，代入，化簡得.令A(yù)（），B），則由與共線，得又，即，所以，故離心率（II）證明：（1）知，所以橢圓可化為設(shè)，由已知得 在橢圓上，即由（1）知變式新題型3 拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)A(1，0)，過點(diǎn)A的直線與拋物線相交于P、Q兩點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）若=0，求直線PQ的方程；（3）設(shè)=（>1），點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為M，證明：=-.6.已知在平面直角坐標(biāo)系中，向量，且 .（I）設(shè)的取值范圍；（II）設(shè)以原點(diǎn)O為中心，對稱軸在坐標(biāo)軸上，以F為右

5、焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)M，且取最小值時(shí)，求橢圓的方程.7.已知，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸的正半軸，點(diǎn)在直線上，且滿足，.（）當(dāng)點(diǎn)在軸上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（）過的直線與軌跡交于、兩點(diǎn)，又過、作軌跡的切線、，當(dāng)，求直線的方程.8. 已知點(diǎn)C為圓的圓心，點(diǎn)A（1，0），P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在圓的半徑CP上，且 （）當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程； （）若直線與（）中所求點(diǎn)Q的軌跡交于不同兩點(diǎn)F，H，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求FOH的面積已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過、三點(diǎn)（）求橢圓的方程；（）若直線：（）與橢圓交于、兩點(diǎn)，證明直線與直線的交點(diǎn)在直線上10如圖,過拋物線x2=4y的對稱軸上

6、任一點(diǎn)P(0,m)(m>0)作直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)。 ()設(shè)點(diǎn)P分有向線段所成的比為，證明()設(shè)直線AB的方程是x2y+12=0,過A、B兩點(diǎn)的圓C與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切線，求圓C的方程。10. 已知平面上一定點(diǎn)和一定直線為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作垂足為，.(1) 問點(diǎn)在什么曲線上？并求出該曲線方程；(2) 點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩點(diǎn)在點(diǎn)的軌跡上，若求的取值范圍11. 如圖，已知E、F為平面上的兩個(gè)定點(diǎn) ，且，·，（G為動(dòng)點(diǎn)，P是HP和GF的交點(diǎn)）（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系求出點(diǎn)的軌跡方程；（2）若點(diǎn)的軌跡上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)、，且線段的中垂線與GFP

7、HE（或的延長線）相交于一點(diǎn)，則（為的中點(diǎn)）12已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線相切.(1) 求動(dòng)圓的圓心軌跡的方程；(2) 是否存在直線，使過點(diǎn)（0，1），并與軌跡交于兩點(diǎn)，且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.13已知若動(dòng)點(diǎn)P滿足 （1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方C的方程； （2）設(shè)Q是曲線C上任意一點(diǎn)，求Q到直線的距離的最小值.19如圖，直角梯形ABCD中，ADBC，AB=2，AD=，BC=CBDA橢圓F以A、B為焦點(diǎn)且過點(diǎn)D， （）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求橢圓的方程；（）若點(diǎn)E滿足,是否存在斜率兩點(diǎn)，且，若存在，求K的取值范圍；若不存在，說明理由。解（1）已知雙曲線實(shí)半軸a1=4，虛半軸b

8、1=2，半焦距c1=，橢圓的長半軸a2=c1=6，橢圓的半焦距c2=a1=4，橢圓的短半軸=，所求的橢圓方程為 （2）由已知,，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則由已知得則，解之得， 由于y>0，所以只能取，于是，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為9分（3）直線，設(shè)點(diǎn)M是，則點(diǎn)M到直線AP的距離是，于是， 又點(diǎn)M在橢圓的長軸上，即 當(dāng)時(shí)，橢圓上的點(diǎn)到的距離又 當(dāng)時(shí)，d取最小值 2解：（1）由，得3分 夾角的取值范圍是（）6分（2）8分10分當(dāng)且僅當(dāng)或 12分橢圓長軸或故所求橢圓方程為.或 14分解： （）·0，則x1x2y1y20， 1分又P、Q在拋物線上，y122px1，y222px2， y1y20， y1y

9、24p2， |y1y2|4p2， 3分又|y1y2|4，4p24，p=1 4分（）設(shè)E(a,0），直線PQ方程為xmya ,聯(lián)立方程組 , 5分消去x得y22pmy2pa0, 6分 y1y22pa , 7分 設(shè)F(b,0)，R(x3,y3)，同理可知：y1y32pb , 8分由、可得 , 9分 若 3，設(shè)T(c,0)，則有(x3c,y30)3(x2c,y20),y33y2 即3, 10分將代入，得b3a 11分又由（）知，·0, y1y24p2，代入，得2pa4 p2a2p, 13分 b6p,故，在x軸上，存在異于E的一點(diǎn)F(6p,0)，使得 314分注：若設(shè)直線PQ的方程為ykxb

10、，不影響解答結(jié)果（）解：設(shè)則.2分由得，.4分又即，6分由得.8分（）設(shè)， 因?yàn)?，故兩切線的斜率分別為、10分由方程組得 .12當(dāng)時(shí)，所以 所以，直線的方程是解：()軸，,由橢圓的定義得：，-2分，-4分又得 ，-6分所求橢圓C的方程為-7分()由（）知點(diǎn)A(2,0)，點(diǎn)B為（0，1），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為則，,由4得，點(diǎn)P的軌跡方程為-9分設(shè)點(diǎn)B關(guān)于P的軌跡的對稱點(diǎn)為，則由軸對稱的性質(zhì)可得：，解得：，-11分點(diǎn)在橢圓上， ，整理得解得或 點(diǎn)P的軌跡方程為或，-13分經(jīng)檢驗(yàn)和都符合題設(shè)，滿足條件的點(diǎn)P的軌跡方程為或-解()依題意,可設(shè)直線AB的方程為,代入拋物線方程得 設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（x

11、1,y1）、(x2,y2),則x1、x2是方程的兩根。所以由點(diǎn)P（0，m）分有向線段所成的比為， 得， 即又點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的以稱點(diǎn)，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（0，-m）,從而 = = = = =0， 所以 () 由得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（6，9）、（-4，4）。 由得， 所以拋物線在點(diǎn)A處切線的斜率為。 設(shè)圓C的方程是， 則 解之得 所以圓C的方程是，解:(1)由,得: ,（2分）設(shè),則,化簡得: ,（4分）點(diǎn)P在橢圓上,其方程為.（6分）(2)設(shè)、，由得：，所以，、B 、C三點(diǎn)共線.且,得:,即: （8分）因?yàn)?所以 （9分）又因?yàn)?所以 （10分）由-得: ,化簡得: ,（12分）因?yàn)?所以.解

12、得: 所以的取值范圍為.解：（1）如圖1，以所在的直線為軸，的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系。-1分 由題設(shè)，而-3分點(diǎn)是以、為焦點(diǎn)、長軸長為10的橢圓，故點(diǎn)的軌跡方程是：-4分（2）如圖2 ，設(shè)，PBGEAHFOC圖2，且，-6分即又、在軌跡上，即，-8分代入整理得：，-10分， ，即-1（）以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)O，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖 則A（-1,0） B(1,0) D(-1,) (1分) 設(shè)橢圓F的方程為 （2分） 得 （4分） 得 所求橢圓F方程 （6分）（）由 顯然 代入 （7分）與橢圓F有兩不同公共點(diǎn)的充要條件是 (8分)即設(shè) (9分) （10分） （11分）得 得

13、 （12分）代入 （13分） 又 （14分）解法2， 設(shè) 得 得 設(shè) 得 （9分） 得 得 （11分） 由、得 且P（x0,y0）在橢圓F內(nèi)部 得 （13分）又 （14分）例1已知常數(shù)m > 0 ，向量a = (0, 1)，向量b = (m, 0)，經(jīng)過點(diǎn)A(m, 0)，以a+b為方向向量的直線與經(jīng)過點(diǎn)B(- m, 0)，以b- 4a為方向向量的直線交于點(diǎn)P，其中R(1) 求點(diǎn)P的軌跡E；(2) 若，F(xiàn)(4, 0)，問是否存在實(shí)數(shù)k使得以Q(k, 0)為圓心，|QF|為半徑的圓與軌跡E交于M、N兩點(diǎn)，并且|MF| + |NF| =若存在求出k的值；若不存在，試說明理由解(1) a+b =

14、 ( m,)， 直線AP方程為；又b - 4a =(m, - 4), 直線NP方程為；由、消去得 ，即 故當(dāng)m = 2時(shí)，軌跡E是以(0, 0)為圓心，以2為半徑的圓：x2 + y2 = 4；當(dāng)m > 2時(shí)，軌跡E是以原點(diǎn)為中心，以為焦點(diǎn)的橢圓：當(dāng)0 < m <2時(shí)，軌跡E是以中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)為的橢圓(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)k滿足要求，此時(shí)有圓Q：(x- k)2 + y2 = (4- k)2 ;橢圓E：；其右焦點(diǎn)為F(4 , 0 )，且由圓Q與橢圓E的方程聯(lián)立得2 x 2- 5kx + 20k- 30 = 0, 設(shè)M(x1, y1), N(x2, y2), 則有， =25k2- 4

15、×2(20k- 30)，又 |MF| =, |NF| =, 而； +,由此可得，由、得k = 1，且此時(shí)0故存在實(shí)數(shù)k = 1滿足要求點(diǎn)評(píng) 本題是一向量與解析幾何的綜合題，且直線是由含參數(shù)的兩個(gè)復(fù)合向量為方向向量所確定直線 (直線的點(diǎn)斜式方程)，顯示出向量法的特征，深刻地揭示出向量與解析幾何的內(nèi)在聯(lián)系與共同本質(zhì)用代數(shù)的方法研究和解決幾何問題另外，本題的(2)問以存在性問題呈現(xiàn)，強(qiáng)化了求解過程中的探究性，對抽象思維能力有很高的要求例2 在平面直角坐標(biāo)系中，已知OFP的面積為，又設(shè)向量 j = (0, 1)，且j，(1) 設(shè)，求向量的夾角的取值范圍；(2) 設(shè)以原點(diǎn)O為中心，對稱軸在坐標(biāo)

16、軸上，F(xiàn)為右焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)M，且，|OF| = c，當(dāng) |OP| 取最小值時(shí)，求橢圓的方程解 (1) 由題意得,cos=, 從而有 cos= ， cot=, 又 ，則有 (2) 設(shè)P(x0, y0)，且x0 > 0 , y0 > 0 , 由，得 (c, 0 )·(x0- c, y0) = t ,即 c(x0- c) = t , 由 SPFO =，得 ，于是 |OP| =, 當(dāng)且僅當(dāng)c = 2時(shí)取等號(hào)由此可得 點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (,又由j，得 (0, 1) = (2, 3)，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為 (2, 3)于是，由 |MF1| + |MF2| = 2a，得 ，即 a = 4, 從而 b2 = 12(或直接將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入橢圓方程中求得)故 所求橢圓的方程為 當(dāng)y0 &