向量及運(yùn)算用空間向量解決線面位置關(guān)系

1、高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)題組法教學(xué)案編寫體例§10.7 空間向量及運(yùn)算、用空間向量解決線面位置關(guān)系新課標(biāo)要求經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過(guò)程；了解空間向量的概念；掌握空間向量的加、減、數(shù)乘、及數(shù)量積的運(yùn)算；了解空間向量共面概念及條件；理解空間向量的基本定理。掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示，掌握空間向量線性運(yùn)算、數(shù)量積及其坐標(biāo)表示；能運(yùn)用向量數(shù)量積判斷向量的共線與垂直；能用向量語(yǔ)言表述線線、線面、面面的垂直與平行關(guān)系重點(diǎn)難點(diǎn)聚焦重點(diǎn)：掌握空間向量的加、減、數(shù)乘、及數(shù)量積的運(yùn)算；理解空間向量的基本定理；掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算。難點(diǎn)：靈活選擇運(yùn)用向量方法與綜合方法，從不同角度解決立體幾何問(wèn)

2、題高考分析及預(yù)策向量由于具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，使它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)，成為聯(lián)系多項(xiàng)內(nèi)容的媒介?？臻g向量是處理空間問(wèn)題的重要方法，通過(guò)將空間元素間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，將過(guò)去的形式邏輯證明轉(zhuǎn)化為數(shù)值計(jì)算，化繁難為簡(jiǎn)易，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，是一種重要的解決問(wèn)題的手段和方法。在空間向量部分的基本要求是根據(jù)題目特點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)向量計(jì)算解決問(wèn)題，即求有向線段的長(zhǎng)度，求兩條有向線段的夾角（或其余弦），證明直線和直線垂直等。預(yù)測(cè)今年的立體幾何大題是：一題多問(wèn)(證明位置關(guān)系、求角與距離或體積)、一題多解(可用空間向量做，也可不用空間向量做)，一般情況下，應(yīng)

3、優(yōu)先考慮用空間向量的方法。利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題，主要有兩種策略，一是建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決問(wèn)題；二是不建立坐標(biāo)系，直接利用空間向量的基本定理，即將有關(guān)向量用空間的一組基底表示出來(lái)，然后通過(guò)向量的有關(guān)運(yùn)算求解。題組設(shè)計(jì)再現(xiàn)型題組 1.ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量 （ ） A.B. C. D. 2.若a=（2x，1，3），b=（1，2y，9），如果a與b為共線向量，則A .x=1，y=1 B.x=，y= C.x=，y= D.x=，y=3.(2007四川·文)如圖，ABCD-A1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是(A）BD平面CB1D1 (B)AC1BD(

4、C)AC1平面CB1D1 (D)異面直線AD與CB所成的角為60°4.已知非零向量與滿足(+)·=0且·= , 則ABC為( )A.三邊均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等邊三角形 D.等邊三角形鞏固型題組5. 如果平面a 和這個(gè)平面外的一條直線l同時(shí)垂直于直線m，求證：l/a.6.如圖，m, n是平面內(nèi)的兩條相交直線。如果求證：。mnglC1A1B1BCA7. 如下圖，直棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，CA=CB=1，BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn).（1）求BN的長(zhǎng)；（2）求異面直線BA與1CB1的余弦值

5、；（3）求證：A1BC1M.8如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)，作交PB于點(diǎn)F. （1）證明 平面； （2）證明平面EFD； （3）求二面角的大小提高型題組DCBA9.如右圖，在四邊形ABCD中，則的值為（ ） A、2B、C、4D、10.ABDC如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為，為中點(diǎn)（）求證：平面；（）求二面角的大小課堂小結(jié)運(yùn)用向量基本定理或建立空間坐標(biāo)系坐標(biāo)法求解，立體幾何中的平行與垂直的問(wèn)題,利用向量解決,書寫較長(zhǎng),但思維力度不大，充分顯示出代數(shù)化方法研究幾何圖形的優(yōu)越性.兩個(gè)向量共線、垂直的充要條件，直線方向向量與平面的法向量，考題形式往往是客觀題，

6、而通過(guò)坐標(biāo)法計(jì)算數(shù)量積去證平行、垂直，求夾角、距離，往往是高考的解答題。一般情況下求法向量用待定系數(shù)法.由于法向量沒(méi)規(guī)定長(zhǎng)度，僅規(guī)定了方向，所以有一個(gè)自由度，可把n的某個(gè)坐標(biāo)設(shè)為1，再求另兩個(gè)坐標(biāo).平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量反饋型題組11. 若l 的方向向量為（2，1，m），平面的法向量為（1，1/2，2），若l，則m= 12.已知向量a=（1，1，0），b=（1，0，2），且kab與2ab互相垂直，則k值是A.1 B.C.D. 13.已知點(diǎn)A（1，2，1）、B（1，3，4）、D（1，1，1），若，則| |的值是_.14.如果四面體的兩組對(duì)棱互相垂直，求證第三組

7、對(duì)棱也互相垂直15.已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的單位法向量.16. 如下圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn).（1）證明ADD1F；（2）求AE與D1F所成的角；（3）證明面AED面A1D1F.§10.7 空間向量及運(yùn)算、用空間向量解決線面位置關(guān)系再現(xiàn)型題組 【提示或答案】A.【基礎(chǔ)知識(shí)聚焦】考查相反向量概念與向量運(yùn)算 【提示或答案】C 【基礎(chǔ)知識(shí)聚焦】考查用坐標(biāo)表示共線向量的條件.3. 【提示或答案】D 【基礎(chǔ)知識(shí)聚焦】空間坐標(biāo)系的建立，用向量處理平行、垂直與夾角問(wèn)題.4. 【提示或答案】D 【基礎(chǔ)知識(shí)聚焦】考查單位向量以

8、及向量的加法、數(shù)量積運(yùn)算.鞏固型題組 5.【證法一】：設(shè)mIa=A, 過(guò)A和直線l作平面b，a A albm設(shè)bIa=a,ma, mal和a的位置關(guān)系有相交和平行兩種情況，若l和a相交，ma，ml，則mb又ma, 且a和b同過(guò)點(diǎn)A，a和b重合lÌb，lÌa，與已知lËa矛盾l/a，又lËa，aÌa，l/anbP la am注：由ma，ml，不能直接推出l/a，盡管l和a同在平面b內(nèi)，但m不一定在b內(nèi)“兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線平行”，此結(jié)論只有當(dāng)這三條直線都在同一平面內(nèi)時(shí)才成立【證法二】：在直線l上任取一點(diǎn)P，過(guò)P作直線n/mm

9、a, ml, na, nl過(guò)l和n作平面b，設(shè)bIa=a，na,na,又nl,且l、a、n都在平面b內(nèi)l/a, 又lËa, aÌa, l/a注：此證法中，先將直線m平移到與直線l相交，然后再過(guò)兩條相交直線作平面b，這樣所得交線a、直線l以及直線n都在同一平面b內(nèi)，且l和a都與直線n垂直，便可得l/a將兩條異面直線中的一條平移，得到兩條相交直線，是對(duì)異面直線的常見處理方式，請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合此例仔細(xì)體會(huì)證法二的妙處【證法三】：設(shè)a，b是平面a內(nèi)的一組基底，l、m分別是l、m上的一個(gè)非零向量，ma，m×a=m×b=0，又ml，m×l=0以a、b、m為空間

10、基底，則存在實(shí)數(shù)x，y，z，使得l=xa+yb+zmm×l=m×(xa+yb+zm)=xm×a+ym×b+zm2=0+0+zm2=0m2¹0，z=0，則l=xa+yb，l與a、b共面又已知直線l不在平面a內(nèi)，l/a【點(diǎn)評(píng)】靈活選擇運(yùn)用向量方法與綜合方法，從不同角度解決線面平行、垂直問(wèn)題。要證明線面平行，只要證明直線與平面的法向量垂直，即證兩個(gè)向量數(shù)量積為零。ABCC1D1A1B1DO【變式與拓展】如圖,在平行六面體中,是的中點(diǎn).求證:面.分析:要證明面,只需證明面,進(jìn)一步只需證明與面中的一組基向量共面.證明:設(shè)因?yàn)闉槠叫兴倪呅?又O是的中點(diǎn),若

11、存在實(shí)數(shù)使成立,則因?yàn)椴还簿€,.所以是共面向量,因?yàn)椴辉谒_定的平面內(nèi),面,又面,面.6證明：在內(nèi)作任一直線，分別在上取非零向量。ngl因?yàn)閙與n相交，所以向量不平行。由向量共面的充要條件知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）,使m將上式兩邊與向量作數(shù)量積，得 ，因?yàn)?所以 所以 即 。這就證明了直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，所以【點(diǎn)評(píng)】本題是課本唯一用向量法證明線面平行、垂直定理的題目。本題用綜合法構(gòu)造三角形全等和線段中垂線性質(zhì)證很麻煩，充分顯示了向量解決垂直運(yùn)算的優(yōu)越性.7. 【解法】：ACBC,CC1面ABC，可以建立如圖所示的坐標(biāo)系（1）依題意得B（0， 1，0），N（1，0，1），=.

12、（2）A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），=(1,-1,2)，=（0，1，2），·=3，=，=.cos，=.所以，異面直線BA與1CB1的余弦值為（3）證明：C1（0，0，2），M（，2），=(-1,1,-2)，=（，0），·=0，A1BC1M.【點(diǎn)評(píng)】底面有直角的直棱柱適合建立坐標(biāo)系的條件，可以用兩點(diǎn)間的距離公式，數(shù)量積的夾角公式，用坐標(biāo)法求點(diǎn)點(diǎn)距、向量夾角。特別注意異面直線角的范圍(0,而向量角的范圍為0,。SBCA【變式與拓展】在三棱錐SABC中，SAB=SAC=ACB=90°，AC=2，BC=，SB=.（1）求證：S

13、CBC；（2）求SC與AB所成角的余弦值.【解法一】：如下圖，取A為原點(diǎn)，AB、AS分別為y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有AC=2，BC=，SB=，得B（0，0）、S（0，0，2）、C（2，0）， =（2，2），=（2，0）.（1）·=0，SCBC.（2）設(shè)SC與AB所成的角為，=（0，0），·=4，| |=4，cos=，即為所求.【解法二】：（1）SA面ABC，ACBC，AC是斜線SC在平面ABC內(nèi)的射影，SCBC.SDc、BCA（2）如下圖，過(guò)點(diǎn)C作CDAB，過(guò)點(diǎn)A作ADBC交CD于點(diǎn)D，連結(jié)SD、SC，則SCD為異面直線SC與AB所成的角.四邊形ABCD是平行四邊形，

14、CD=，SA=2，SD=5，在SDC中，由余弦定理得cosSCD=，即為所求.8.【解法】：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn).設(shè)證明：連結(jié)AC，AC交BD于G.連結(jié)EG.依題意得底面ABCD是正方形， 是此正方形的中心，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為且. 這表明.而平面EDB且平面EDB，平面EDB。證明：依題意得。又故 , 由已知，且所以平面EFD.(3)解：設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為則從而所以由條件知，即 解得 點(diǎn)F的坐標(biāo)為 且,即，故是二面角的平面角.且 ,所以，二面角CPCD的大小為【點(diǎn)評(píng)】考查空間向量數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，運(yùn)用向量數(shù)量積判斷向量的共線與垂直，用向量證明線線、線面、面面的垂直與平行關(guān)系?！咀?/p>

15、式與拓展】如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點(diǎn) （1）求證：EF平面PAD； （2）求證：EFCD； （3）若ÐPDA45°，求EF與平面ABCD所成的角 證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)AB2a，BC2b，PA2c，則：A(0, 0, 0)，B(2a, 0, 0)，C(2a, 2b, 0)，D(0, 2b, 0)，P(0, 0, 2c) E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC的中點(diǎn) E (a, 0, 0)，F(xiàn) (a, b, c)(1)(0, b, c)，(0, 0, 2c)，(0, 2b, 0)() 與、共面又 E Ï

16、; 平面PAD EF平面PAD(2) (-2a, 0, 0 ) ·(-2a, 0, 0)·(0, b, c)0 CDEF(3)若ÐPDA45°，則有2b2c，即 bc， (0, b, b)，(0, 0, 2b) cos á，ñ á，ñ 45° 平面AC， 是平面AC的法向量 EF與平面AC所成的角為：90°á，ñ 45°DCBA提高型題組9.【解法】如右圖，在四邊形ABCD中，又 =4ABCDOzxy【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的模、夾角的概念，向量的加法、數(shù)量積運(yùn)算及其運(yùn)

17、算法則10.解法：（）取中點(diǎn)，連結(jié)為正三角形，在正三棱柱中， 平面平面，平面取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，平面（）設(shè)平面的法向量為，且令得為平面的一個(gè)法向量由（）知平面，為平面的法向量二面角的大小為【點(diǎn)評(píng)】解立體幾何題最常用的思想方法是化歸與轉(zhuǎn)化，主要體現(xiàn)在：（1）線線、線面、面面的位置轉(zhuǎn)化，如本例第（1）問(wèn)；（2）空間角向平面角轉(zhuǎn)化，如本例第（2）問(wèn)。反饋型題組DCOBAabc11.12.D13. 14.已知：四面體ABCD中，ABCD，ADBC；求證：ACBD；證明：設(shè)=a，=b，=c，則=b-a，=c-a，=c-b，ABCD，ADBC，a ×(c-b)=0，c×(b-a)=0，則a×c=a×b，a×c=c×ba×b=c×b，即a×b-c×b=0，從而有b×(c-a)=0，故15.解：設(shè)面ABC的法向量n=（x，y，1），則n且n，即n·=0，且n·=0，即2x+2y+1=0，即n =（，1，1），單位法向量（，）.4x+5y+3=016.解：取D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1為x