向量法求空間距離和角

1、用向量方法求空間角和距離在高考的立體幾何試題中,求角與距離是?？疾榈膯栴},其傳統(tǒng)的“三步曲”解法:“作圖、證明、解三角形”,作輔助線多、技巧性強(qiáng),是教學(xué)和學(xué)習(xí)的難點(diǎn)向量進(jìn)入高中教材,為立體幾何增添了活力,新思想、新方法與時(shí)俱進(jìn),本專題將運(yùn)用向量方法簡(jiǎn)捷地解決這些問題1 求空間角問題空間的角主要有：異面直線所成的角；直線和平面所成的角；二面角（）求異面直線所成的角設(shè)、分別為異面直線a、b的方向向量,則兩異面直線所成的角=（）求線面角設(shè)是斜線l的方向向量，是平面的法向量，則斜線l與平面所成的角=（）求二面角法一、在內(nèi)，在內(nèi)，其方向如圖，則二面角的平面角=法二、設(shè)是二面角的兩個(gè)半平面的法向量，其方向

2、一個(gè)指向內(nèi)側(cè)，另一個(gè)指向外側(cè)，則二面角的平面角=2 求空間距離問題構(gòu)成空間的點(diǎn)、線、面之間有七種距離，這里著重介紹點(diǎn)面距離的求法，象異面直線間的距離、線面距離；面面距離都可化為點(diǎn)面距離來求（）求點(diǎn)面距離法一、設(shè)是平面的法向量，在內(nèi)取一點(diǎn)B, 則 A到的距離法二、設(shè)于O,利用和點(diǎn)O在內(nèi)的向量表示，可確定點(diǎn)O的位置，從而求出（）求異面直線的距離法一、找平面使且，則異面直線a、b的距離就轉(zhuǎn)化為直線a到平面的距離，又轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A到平面的距離法二、在a上取一點(diǎn)A, 在b上取一點(diǎn)B, 設(shè)、分別為異面直線a、b的方向向量,求（，），則異面直線a、b的距離（此方法移植于點(diǎn)面距離的求法）例如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中

3、，E、F分別是棱的中點(diǎn) （）求異面直線所成的角；（II）求和面EFBD所成的角；（III）求到面EFBD的距離解：（）記異面直線所成的角為，則等于向量的夾角或其補(bǔ)角，（II）如圖建立空間坐標(biāo)系，則，設(shè)面的法向量為由得又記和面EFBD所成的角為則 和面EFBD所成的角為（III）點(diǎn)到面EFBD的距離等于向量在面EFBD的法向量上的投影的絕對(duì)值，設(shè)計(jì)說明：作為本專題的例，首先選擇以一個(gè)容易建立空間直角坐標(biāo)系的多面體正方體為載體，來說明空間角和距離的向量求法易于學(xué)生理解解決(1)后，可讓學(xué)生進(jìn)一步求這兩條異面直線的距離，并讓學(xué)生體會(huì)一下：如果用傳統(tǒng)方法恐怕很難（不必多講，高考對(duì)公垂線的作法不作要求）

4、完成這道小題后，總結(jié)：對(duì)于易建立空間直角坐標(biāo)系的立幾題，無論求角、距離還是證明平行、垂直（是前者的特殊情況），都可用向量方法來解決，向量方法可以人人學(xué)會(huì)，它程序化，不需技巧例2如圖，三棱柱中，已知A BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，四邊形是矩形，（）若，求直線AB到面的距離（II） 試問：當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為多少時(shí)，二面角的大小為 解：（）如圖建立空間坐標(biāo)系，則設(shè)面的法向量為則得直線AB到面的距離就等于點(diǎn)到面的距離，也等于向量在面的法向量上的投影的絕對(duì)值，（II）易得面的法向量向量的夾角為由 得 當(dāng)時(shí)，二面角的大小為 設(shè)計(jì)說明：通過（），復(fù)習(xí)線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離再轉(zhuǎn)化為一向量在一向量（法向量）投影的絕對(duì)值的

5、解題思路與方法通過（II），復(fù)習(xí)面面角轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角或其補(bǔ)角的方法，也可借此機(jī)會(huì)說明為什么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，就沒有其他情況例正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為，是側(cè)棱上任意一點(diǎn)（）求證： 直線不可能與平面垂直；（II）當(dāng)時(shí)，求二面角的大小 證明：（）如圖建立空間坐標(biāo)系，設(shè)則的坐標(biāo)分別為，不垂直直線不可能與平面垂直（II），由，得即又是面的法向量設(shè)面的法向量為，由得,設(shè)二面角的大小為則二面角的大小為設(shè)計(jì)說明：前面選擇的兩個(gè)題，可有現(xiàn)成的坐標(biāo)軸，但本題、軸需要自己添加（也可不這樣建立）第（）小題是證明題，同樣可用向量方法解答，是特殊情況；本小題也可證明這條直線與這個(gè)面的法向量不平行通過上面的例子，我們看

6、到向量方法（更確切地講，是用公式： ）解決空間角和距離的作用，當(dāng)然，以上所舉例子，用傳統(tǒng)方法去做，也是可行的，甚至有的（例）還較為簡(jiǎn)單，用向量法的好處在于克服傳統(tǒng)立幾以純幾何解決問題帶來的高度的技巧性和隨機(jī)性向量法可操作性強(qiáng)運(yùn)算過程公式化、程序化，有效地突破了立體幾何教學(xué)和學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，是解決立體幾何問題的重要工具充分體現(xiàn)出新教材新思想、新方法的優(yōu)越性這是繼解析幾何后用又一次用代數(shù)的方法研究幾何形體的一塊好內(nèi)容，數(shù)形結(jié)合，在這里得到淋漓盡致地體現(xiàn)練習(xí)：在正四面體中，棱長(zhǎng)為，E,分別為SA和BC的中點(diǎn)，求異面直線BE和SF所成的角（）在邊長(zhǎng)為的菱形ABCD中，將菱形沿對(duì)角線AC折起，使 折起后BD，求二面角的余弦值（）在四棱錐中，底面為矩形，底面，且，問平面與平面能否垂直？試說明理由（不垂直）在直三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，且（） 求到面的距離；（）（） 求到面的距離（）ACDBEF .如圖，在幾何體AB