參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

1、第16煉 含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 在高考導(dǎo)數(shù)的綜合題中，所給函數(shù)往往是一個(gè)含參數(shù)的函數(shù)，且導(dǎo)函數(shù)含有參數(shù)，在分析函數(shù)單調(diào)性時(shí)面臨的分類討論。本節(jié)通過一些例題總結(jié)參數(shù)討論的方法與技巧，便于更加快速準(zhǔn)確的分析含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、導(dǎo)數(shù)解單調(diào)區(qū)間的步驟：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，大致步驟可應(yīng)用到解含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。即確定定義域求出導(dǎo)函數(shù)令解不等式得到遞增區(qū)間后取定義域的補(bǔ)集（減區(qū)間）單調(diào)性列出表格2、求含參函數(shù)單調(diào)區(qū)間的實(shí)質(zhì)解含參不等式，而定義域?qū)Φ南拗朴袝r(shí)會(huì)簡化含參不等式的求解3、求單調(diào)區(qū)間首先確定定義域，并根據(jù)定義域?qū)?dǎo)數(shù)不等式中恒正恒負(fù)的項(xiàng)處理掉，以簡化討論的不等式4、關(guān)

2、于分類討論的時(shí)機(jī)與分界點(diǎn)的確定（1）分類時(shí)機(jī)：并不是所有含參問題均需要分類討論，例如解不等式：，其解集為，中間并沒有進(jìn)行分類討論。思考：為什么？因?yàn)闊o論參數(shù)為何值，均是將移到不等號(hào)右側(cè)出結(jié)果。所以不需要分類討論，再例如解不等式，第一步移項(xiàng)得：（同樣無論為何值，均是這樣變形），但是第二步不等式兩邊開方時(shí)發(fā)現(xiàn)的不同取值會(huì)導(dǎo)致不同結(jié)果，顯然是負(fù)數(shù)時(shí)，不等式恒成立，而是正數(shù)時(shí)，需要開方進(jìn)一步求解集，分類討論由此開始。體會(huì)：什么時(shí)候開始分類討論？簡而言之，當(dāng)參數(shù)的不同取值對(duì)下一步的影響不相同時(shí)，就是分類討論開始的時(shí)機(jī)。所以一道題是否進(jìn)行分類討論不是一開始就決定的，而是在做的過程中遇到不同值導(dǎo)致不同步驟和

3、結(jié)果，就自然的進(jìn)行分類討論。（2）分界點(diǎn)的確定：分類討論一定是按參數(shù)的符號(hào)分類么？不一定。要想找好分界點(diǎn)，首先要明確參數(shù)在問題中所扮演的角色。例如上面的不等式，所扮演的角色是被開方數(shù)，故能否開方是進(jìn)行下一步的關(guān)鍵，那自然想到按的符號(hào)進(jìn)行分類討論。（3）當(dāng)參數(shù)取值為一個(gè)特定值時(shí)，可將其代入條件進(jìn)行求解（4）當(dāng)參數(shù)扮演多個(gè)角色時(shí)，則以其中一個(gè)為目標(biāo)進(jìn)行分類，在每一大類下再考慮其他角色的情況以及是否要進(jìn)行進(jìn)一步的分類。 例如：解不等式：，可得：此時(shí)扮演兩個(gè)角色，一個(gè)是的系數(shù)，將決定解集是小大根之外還是小大根之間，另一個(gè)角色是決定的大小，進(jìn)而要和來角逐大小根。那么在處理時(shí)可先以其中一個(gè)為主要目標(biāo)，例如

4、以系數(shù)的正負(fù)，進(jìn)行分類。當(dāng)時(shí)，此時(shí)不等式的解集為小大根之間，而由于，以此為前提，故小大根不存在問題，解集為當(dāng)時(shí)，不等式變?yōu)楫?dāng)時(shí)，不等式解集為小大根之外，而，的大小由的取值決定，所以自然考慮再結(jié)合小大根進(jìn)行進(jìn)一步討論了。（重視的對(duì)比）時(shí)，不等式解集為時(shí)，不等式化為時(shí)，不等式解集為希望通過此例能夠體會(huì)分類討論的時(shí)機(jī)與分界，若能領(lǐng)悟，其分類討論不再是一個(gè)難點(diǎn)，而是有線索可循了。二、典型例題：例1：已知函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間解：定義域令，所解不等式為當(dāng)時(shí)，即解不等式的單調(diào)區(qū)間為：當(dāng)時(shí)， 恒成立為增函數(shù):例2：已知函數(shù)（1）若的圖像在處的切線與直線垂直，求實(shí)數(shù)的值（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解：（1）由切線與垂直

5、可得：（2）思路：導(dǎo)函數(shù)，令解單調(diào)增區(qū)間，得到含參不等式。分類討論時(shí)注意扮演兩個(gè)角色：一個(gè)是影響最高次項(xiàng)的符號(hào)，一個(gè)是影響方程的根解： 令即 （將的范圍分類后，要善于把每一類的范圍作為已知條使用件，在本題中使用的條件使得大小能夠確定下來，避免了進(jìn)一步的分類）的單調(diào)區(qū)間為： 的單調(diào)區(qū)間為：例3：已知函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間解：定義域：，令，可得：即當(dāng)時(shí)，的單調(diào)區(qū)間為：當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)當(dāng)時(shí)，恒成立 為增函數(shù)例4：討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解： 令即 （注意定義域?yàn)?，所以?dǎo)函數(shù)分母恒正，去掉后簡化所解不等式） 時(shí) （求解需要除以后開方，進(jìn)而兩個(gè)地方均需要分類討論，先從的符號(hào)入手） 恒成立，在單調(diào)遞增 函數(shù) 為增函數(shù)

6、 時(shí) （下一步為開方出解集，按的符號(hào)進(jìn)行再分類）當(dāng)即時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞減當(dāng)即時(shí)，解得：的單調(diào)區(qū)間為：小煉有話說：本題定義域?yàn)椋蕦?duì)單調(diào)區(qū)間既有促進(jìn)作用又有制約作用：促進(jìn)作用體現(xiàn)在對(duì)所解不等式的簡化，請大家養(yǎng)成一個(gè)良好習(xí)慣，當(dāng)已知變量范圍時(shí)，一邊關(guān)注范圍一邊解不等式。制約作用體現(xiàn)在單調(diào)區(qū)間應(yīng)該是定義域的子集，所以在時(shí)，表格中自變量的區(qū)間是從處開始分析的例5：已知函數(shù)，討論的單調(diào)性解：定義域?yàn)?令即考慮 （左邊無法直接因式分解，考慮二次函數(shù)是否與軸有交點(diǎn)） 時(shí) 恒成立，故在單調(diào)遞增 時(shí) 的解 的解集為的單調(diào)區(qū)間為： 時(shí) 在單調(diào)遞增小煉有話說：本題亮點(diǎn)在于的討論，判斷極值點(diǎn)是否在定義域中。進(jìn)而確定

7、單調(diào)性。除了解出根來判斷符號(hào)之外，本題還可以利用韋達(dá)定理進(jìn)行判斷。，說明兩根同號(hào)，而，說明的符號(hào)決定的正負(fù)，從而在的情況下進(jìn)行再次分類討論例6：已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間解：（1） 切線方程為：，即（2），令，即解不等式： 當(dāng)時(shí)，解得：，故的單調(diào)區(qū)間為： 當(dāng)時(shí) ，所以解得：故的單調(diào)區(qū)間為： ，則，常值函數(shù)不具備單調(diào)性 時(shí)，解得：或 故的單調(diào)區(qū)間為：例7：已知函數(shù).求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解： 令，即， （參數(shù)角色： 的大小， 是否在定義域內(nèi)，以為目標(biāo)分類） 即 （此時(shí)一定在定義域中，故不再分類）不等式的解集為或 的單調(diào)區(qū)間為： 在單調(diào)遞增 ，要根據(jù)是否在進(jìn)

8、行進(jìn)一步分類當(dāng)時(shí)， 不等式的解集為或 的單調(diào)區(qū)間為：當(dāng)時(shí)，則，不等式的解集為 ，的單調(diào)區(qū)間為：小煉有話說：（1）在求單調(diào)區(qū)間時(shí)面臨一個(gè)的根是否在定義域中的問題，由此也可體會(huì)到定義域?qū)握{(diào)區(qū)間“雙刃劍”的作用，一方面縮小自變量的范圍從而有利于不等式的化簡，另一方面也圈住了單調(diào)區(qū)間，極值點(diǎn)所在的范圍。（2）體會(huì)參數(shù)起到多重作用時(shí)，是如何進(jìn)行分類討論的，以及在某個(gè)大前提下，參數(shù)討論也可進(jìn)行些簡化。例8：已知函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間解：定義域令，即解不等式（1）當(dāng)時(shí)，可得，則不等式的解為的單調(diào)區(qū)間為：（2）當(dāng)時(shí)， 時(shí)，即，解得或的單調(diào)區(qū)間為： ，代入到恒成立 為增函數(shù) ，解得：或的單調(diào)區(qū)間為：例9：設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；解：，令即（1） 則恒成立 在上單調(diào)遞增（2）或 當(dāng)時(shí)，解得 ，