質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)(1)

1、第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)基 本 要 求一、理解質(zhì)點(diǎn)模型和參照系、坐標(biāo)系等概念。二、掌握位置矢量、位移、速度、加速度等物理量的概念及其關(guān)系。三、掌握直線運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)及拋體運(yùn)動(dòng)中運(yùn)動(dòng)方程及速度、加速度等物理量的計(jì)算。四、理解運(yùn)動(dòng)疊加原理及其應(yīng)用。內(nèi) 容 提 要一、參照系、坐標(biāo)系和質(zhì)點(diǎn)參照系 用來描述物體運(yùn)動(dòng)而選作參考的物體或物體系。運(yùn)動(dòng)的相對性決定描述物體運(yùn)動(dòng)必須選取參照系。運(yùn)動(dòng)學(xué)中參照系可任選，不同參照系中物體的運(yùn)動(dòng)形式（如軌跡、速度等）可以不同。坐標(biāo)系 固定在參照系上的一組有刻度的射線、曲線或角度。坐標(biāo)系為參照系的數(shù)學(xué)抽象。參照系選定后，坐標(biāo)系還可以任選。在同一參照系中用不同的坐標(biāo)系描述同一運(yùn)動(dòng)，

2、物體的運(yùn)動(dòng)形式相同，但其運(yùn)動(dòng)形式的數(shù)學(xué)表述卻可以不同。常用坐標(biāo)系有直角坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系等。質(zhì)點(diǎn) 如果物體的線度和形狀在所研究的現(xiàn)象中不起作用，或所起的作用可以忽略不計(jì)，我們就可以近似地把物體看作是一個(gè)沒有大小和形狀的理想物體，稱為質(zhì)點(diǎn)。二、質(zhì)點(diǎn)的位置矢量和運(yùn)動(dòng)方程位置矢量（位矢、矢徑） 用來確定某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位置（用矢端表示）的矢量。位置矢量的大?。何恢檬噶康姆较蛴嘞遥哼\(yùn)動(dòng)方程 質(zhì)點(diǎn)位置矢量坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系稱為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程?；?，三、位移和路程位移（矢量） 質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間（）內(nèi)位置的改變（）叫作它在這段時(shí)間內(nèi)的位移。路程（標(biāo)量） 質(zhì)點(diǎn)實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡的長度。注意：t0時(shí)，位移大小等于路

3、程，即四、速度和加速度速度 位置矢量對時(shí)間的變化率。平均速度：（瞬時(shí)）速度：速度方向：沿軌跡上質(zhì)點(diǎn)所在點(diǎn)的切線，并指向質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)的方向。速度大?。ㄋ俾剩杭铀俣?速度對時(shí)間的變化率。平均加速度：（瞬時(shí)）加速度： 加速度的方向：速度增量的極限方向。加速度的大?。何濉⒅本€運(yùn)動(dòng)直線運(yùn)動(dòng)中，、在同一條直線上，只用一維描述，可當(dāng)作標(biāo)量去處理。； ； 勻速直線運(yùn)動(dòng) 位置:勻加速直線運(yùn)動(dòng) 位置：；速度：六、圓周運(yùn)動(dòng)1.加速度切向加速度 引起速度大小改變的加速度。法向加速度（向心加速度） 引起速度方向改變的加速度。加速度 2.圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述角位移 角速度 角加速度 當(dāng)為常數(shù)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)有運(yùn)動(dòng)學(xué)

4、關(guān)系3.角量與線量的關(guān)系， ， 七、運(yùn)動(dòng)疊加原理物體同時(shí)參與幾種運(yùn)動(dòng)時(shí)，該運(yùn)動(dòng)可以看作幾個(gè)各自獨(dú)立進(jìn)行的運(yùn)動(dòng)疊加而成。豎直上拋運(yùn)動(dòng) 豎直向上的勻速直線運(yùn)動(dòng)+自由落體豎直下拋運(yùn)動(dòng) 豎直向下的勻速直線運(yùn)動(dòng)+自由落體平拋運(yùn)動(dòng) 水平方向上的勻速直線運(yùn)動(dòng)+自由落體解題方法與例題分析一、已知運(yùn)動(dòng)方程（位置矢量），計(jì)算位移、速度和加速度。計(jì)算（瞬時(shí)）速度和加速度一般用求導(dǎo)的方法：位置矢量（運(yùn)動(dòng)方程）對時(shí)間求導(dǎo)即為速度，速度對時(shí)間求導(dǎo)就是加速度。計(jì)算位移、平均速度、平均加速度可先由始末時(shí)刻確定始末位置，再由定義計(jì)算。例1 一質(zhì)點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)，已知質(zhì)點(diǎn)位置矢量的表達(dá)式為一、已知運(yùn)動(dòng)方程求r及通過求導(dǎo)求v、a，并

5、判斷物體作何種運(yùn)動(dòng)。 （其中a、b為常量），則該質(zhì)點(diǎn)作何種形式的運(yùn)動(dòng)？解 由質(zhì)點(diǎn)的位置矢量 得運(yùn)動(dòng)方程 軌道方程 ， 質(zhì)點(diǎn)的速度 質(zhì)點(diǎn)的加速度 質(zhì)點(diǎn)的加速度為非零恒量，故該質(zhì)點(diǎn)在xy平面內(nèi)作勻變速直線運(yùn)動(dòng)，其軌道方程為。例2 某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為 x =2t7t3+3（SI），則該質(zhì)點(diǎn)作何種形式的運(yùn)動(dòng)？并確定加速度的方向。解 由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程 x =2t7t3+3得質(zhì)點(diǎn)的速度 質(zhì)點(diǎn)的加速度 質(zhì)點(diǎn)的加速度為時(shí)間的函數(shù)，故該質(zhì)點(diǎn)作變加速直線運(yùn)動(dòng)；加速度為負(fù)，說明加速度方向沿x軸負(fù)方向。例3 一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作直線運(yùn)動(dòng)，t時(shí)刻的坐標(biāo)為x =5t2 3t3 (SI)。試求：（1）在第2秒內(nèi)的平均速度；（2）

6、第2秒末的瞬時(shí)速度；（3）第2秒末的加速度。解 （1）由平均速度的定義：（2）由定義 時(shí)，有 （3）由定義 時(shí)，有 例4 在離船高度為h的岸邊，絞車以恒定的速率v0收繩（繩原長l0），使船靠岸，如圖11所示，試描述船的運(yùn)動(dòng)。圖11解 建立如圖坐標(biāo)系，顯然船在x軸上作直線運(yùn)動(dòng)。t時(shí)刻繩長為船的運(yùn)動(dòng)方程為 速度為 方向沿x軸負(fù)向。加速度為 方向沿x軸負(fù)向。可見，船作加速直線運(yùn)動(dòng)，離岸越近，x越小，a越大。例5 已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程x=2t，y=4t2（SI）。試求任一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度、切向加速度、法向加速度、總加速度的大小。解 由運(yùn)動(dòng)方程可求得質(zhì)點(diǎn)速度的x、y分量, 速度大小為 同理：， m/s2所以

7、加速度大小為 m/s2切向加速度： 法向加速度：二、已知加速度及初始條件，計(jì)算速度和運(yùn)動(dòng)方程。此類問題是前一類問題的逆過程，加速度對時(shí)間的積分即為速度，速度對時(shí)間的積分就是運(yùn)動(dòng)方程。解決此類問題時(shí)應(yīng)注意由初始條件確定積分上下限。例6 一質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)，其加速度a與位置坐標(biāo)的關(guān)系為 a=3+6x2（SI）。如果質(zhì)點(diǎn)在原點(diǎn)處的速度為零，試求其在任意位置處的速度。解 設(shè)質(zhì)點(diǎn)在任意位置x處的速度為v，則 分離變量，兩邊積分：得 例7 一艘正在行駛的汽船，當(dāng)關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，沿一直線運(yùn)動(dòng)，加速度與船速的平方成正比且反向，即，其中常量k>0。若關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)時(shí)汽船的速度為v0，求：（1）關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后t時(shí)刻的

8、汽船速度；（2）關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后的t時(shí)間內(nèi)，汽船行駛的距離。解 以汽船為研究對象，由于它做減速直線運(yùn)動(dòng)，所以取汽船運(yùn)動(dòng)方向?yàn)樽鴺?biāo)軸x的正方向，坐標(biāo)原點(diǎn)選擇在剛關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)的位置處。（1）按直線運(yùn)動(dòng)的加速度公式有 由題意，代入上式，有 分離變量 已知t=0時(shí)，并設(shè)t時(shí)刻的速度為v，對上式取定積分 （2）由 有 分離變量，兩邊取定積分，有 由此得汽船的運(yùn)動(dòng)方程為 汽船在t時(shí)間內(nèi)行駛的距離 例8 一質(zhì)點(diǎn)從靜止出發(fā)沿半徑為R=3m的圓周運(yùn)動(dòng)，切向加速度為。求：（1）經(jīng)過多少時(shí)間它的總加速度恰好與半徑成45º角？（2）在上述時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過的路程和角位移各為多少？解 已知，即 由初始條件: t =

9、0時(shí)，得質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速率質(zhì)點(diǎn)的法向加速度的大小為 這樣總加速度為： 其中為沿半徑指向圓心的單位矢量，為切向單位矢量。（1）設(shè)總加速度與半徑夾角為，則有： ， 當(dāng)=45º時(shí)，有，即要求3t2 =3，t =1s（另一負(fù)根舍去）所以t =1s時(shí)，總加速度與半徑成45º角。（2）由 和初始條件：t =0時(shí)，s0=0 ，得：將t =1s 代入，求出這段時(shí)間內(nèi)的路程：由角位移與路程的關(guān)系 當(dāng)t =1s時(shí), 三、利用角量與線量的關(guān)系解題。例9 質(zhì)點(diǎn)P在水平面內(nèi)沿一半徑為R =1m的圓軌道轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度w與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為w =kt2（k為常量）。已知t =2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)P的速率為16m/

10、s，試求t =1s 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)P的速度與加速度的大小。解 首先確定k值：所以有 ， 時(shí)，習(xí) 題一、選擇題1、一質(zhì)點(diǎn)在xy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為，式中a、b、c均為常數(shù)。當(dāng)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向與x軸成45º角時(shí)，它的速率為 。Aa； B； C2c； D。 y a c b d O x圖122、一質(zhì)點(diǎn)以勻速率在xy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，如圖12所示。則經(jīng)軌道上的a、b、c、d四點(diǎn)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的加速度最大的點(diǎn)是 。Aa BbCc Dd3、設(shè)木塊沿光滑斜面從下端開始往上滑動(dòng)，然后下滑，則表示木塊速度與時(shí)間關(guān)系的曲線是 。v v t t A Bv v t t C D圖134、對斜拋運(yùn)動(dòng)，正確的說法是 。A在最高

11、點(diǎn)，物體的切向加速度為零；B在最高點(diǎn)，物體的速度為零；C在起拋點(diǎn)，物體的速度最大，因此在該點(diǎn)物體的法向加速度也最大；D如起拋點(diǎn)和落地點(diǎn)在同一水平面上，則拋射角為（）和（）時(shí)，射程相同。二、填空題1、一質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為（SI）。質(zhì)點(diǎn)的初速度為 ，第4秒末的速度為 ，第4秒末的加速度為 。 v C B A 0 t1 t2 t 圖142、一質(zhì)點(diǎn)以m/s的勻速率作半徑為5m的圓周運(yùn)動(dòng)。該質(zhì)點(diǎn)在5s內(nèi)的平均速度的大小為 ，平均加速度的大小為 。3、 質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其速度與時(shí)間的關(guān)系曲線如圖14所示。圖中過A點(diǎn)的一切線AC的斜率表示 ，割線AB的斜率表示 ，曲線下的面積表示 。4、一質(zhì)點(diǎn)沿半

12、徑為0.1m的圓周運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為（SI）。質(zhì)點(diǎn)在第一秒末的速度為 ，切向加速度為 。三、計(jì)算題1、一質(zhì)點(diǎn)沿y軸作直線運(yùn)動(dòng)，它在t時(shí)刻的坐標(biāo)為（SI）。試求：（1）12秒，11.5秒，11.1秒，11.01秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移和平均速度；（2）1秒末和2秒末的瞬時(shí)速度；（3）第2秒內(nèi)所通過的路程；（4）第2秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均加速度以及1秒末和2秒末的瞬時(shí)加速度；（5）說明該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況和速率變化情況（13秒內(nèi)）。2、已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為，（SI）。試求：（1）計(jì)算軌道方程并圖示質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道；（2）第1秒和第2秒末質(zhì)點(diǎn)的位置矢量及第2秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速度；（3）第2秒末質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。3、已知重力加速度為，忽略空氣阻力，試分析當(dāng)質(zhì)點(diǎn)以初速度，方向與水平線成角方向拋出時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。（提示：已知加速度和初始條件，用積分法求運(yùn)動(dòng)方程。）4、簡要敘述直線運(yùn)動(dòng)中怎樣用正負(fù)號表示位移、速度、加速度等物理量的方向。5、一升降機(jī)高2米，以10米/秒的