相似原理與量綱分析

1、 流體力學(xué)與流體機(jī)械浙江工業(yè)大學(xué)2022-2-5第五章第五章 相似原理與量綱分析相似原理與量綱分析5.1 相似原理5.2 量綱分析及其應(yīng)用2概述本章主要介紹流體力學(xué)中的本章主要介紹流體力學(xué)中的相似原理相似原理，模型實(shí)模型實(shí)驗(yàn)方法驗(yàn)方法以及以及量綱分析法量綱分析法。 解決流體解決流體力學(xué)問題力學(xué)問題的方法的方法數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 實(shí)驗(yàn)研究實(shí)驗(yàn)研究 模型實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?shí)驗(yàn)解決流體解決流體力學(xué)問題力學(xué)問題的方法的方法數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 實(shí)驗(yàn)研究實(shí)驗(yàn)研究 模型實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?shí)驗(yàn)解決流體解決流體力學(xué)問題力學(xué)問題的方法的方法數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 實(shí)驗(yàn)研究實(shí)驗(yàn)研究 模型實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?shí)驗(yàn)3相似理論相似理論和和量綱分析法量綱分析法是指

2、導(dǎo)流體力學(xué)實(shí)驗(yàn)的理是指導(dǎo)流體力學(xué)實(shí)驗(yàn)的理論基礎(chǔ)（包括科學(xué)地設(shè)計組織實(shí)驗(yàn)及整理實(shí)驗(yàn)結(jié)論基礎(chǔ)（包括科學(xué)地設(shè)計組織實(shí)驗(yàn)及整理實(shí)驗(yàn)結(jié)果）果） 。n 工程流體力學(xué)實(shí)驗(yàn)的兩種類型：1. 工程性的模型實(shí)驗(yàn)預(yù)測即將建造的大型機(jī)械或水工結(jié)構(gòu)上的流體流動情況。2. 探索性的觀察實(shí)驗(yàn)尋找未知的流動規(guī)律。n 指導(dǎo)第一類實(shí)驗(yàn)的理論基礎(chǔ)是相似原理，后者則要借助于量綱分析法。概述4概述5一、力學(xué)相似的基本概念一、力學(xué)相似的基本概念力學(xué)相似力學(xué)相似 實(shí)物流動實(shí)物流動與與模型流動模型流動在對應(yīng)點(diǎn)上的在對應(yīng)點(diǎn)上的 對應(yīng)（同名）物理量都應(yīng)該具有固對應(yīng)（同名）物理量都應(yīng)該具有固 定的比例關(guān)系。定的比例關(guān)系。 幾何相似幾何相似 力學(xué)相

3、似力學(xué)相似 運(yùn)動相似運(yùn)動相似 動力相似動力相似5.1 相似原理（應(yīng)用于模型實(shí)驗(yàn)）65.1 相似原理（應(yīng)用于模型實(shí)驗(yàn)）7按性按性質(zhì)分質(zhì)分應(yīng)應(yīng)滿滿足足的的條條件件1、幾何相似、幾何相似 模型流動與實(shí)物流動有相似模型流動與實(shí)物流動有相似 的邊界形狀，且一切對應(yīng)的的邊界形狀，且一切對應(yīng)的 線性尺度成比例。線性尺度成比例。5.1 相似原理（應(yīng)用于模型實(shí)驗(yàn)）8則 : 線性比例尺 (基本比例尺之一)(幾何相似常數(shù))lll 222lAllAA 333lVllVV 面積比例尺：體積比例尺：5.1 相似原理（應(yīng)用于模型實(shí)驗(yàn)）92、運(yùn)動相似 兩個流動對應(yīng)點(diǎn)、對應(yīng)時刻 的流動速度方向都一致，大 小都成同一比例。則 :

4、 速度比例尺 ( 基本比例尺之二 ) : 時間比例尺： 加速度比例尺：（速度比例常數(shù)）vvv vltvlvltt lvtvatvtvaa 2 10 流量比例尺：運(yùn)動粘度比例尺：vltlqtltlqq 2333 vltltl 225.1 相似原理（應(yīng)用于模型實(shí)驗(yàn)）113、動力相似 兩個流動在對應(yīng)點(diǎn)上，對應(yīng)瞬 時，質(zhì)點(diǎn)受到同種性質(zhì)的外力 作用，且對應(yīng)的同名力方向相 同，大小成同一比例。 其他動力學(xué)比例尺均可按照物理量的定義或量綱由上述三個基本比例尺（ l ，v ， ）確定 。則 : 密度比例尺 ( 基本比例尺之三 ) : （密度比例常數(shù)）12如：質(zhì)量比例尺： 力比例尺：上式中各同名力分別為壓力P、

5、粘性力F、重力G、慣性力 I。對于慣性力根據(jù)牛頓定律有：I m a故：壓強(qiáng)比例尺：3lmVVmm IIGGFFPPF 2223vllvlamFammaII 2vAFpAPAP 13動力粘度比例尺：注意：無量綱系數(shù)的比例尺: c 1 單位質(zhì)量重力的比例尺： g 1vl 5.1 相似原理（應(yīng)用于模型實(shí)驗(yàn)）14二、相似準(zhǔn)則 兩流動 力學(xué)相似，則必須滿足動力相似。而動力相似又可以用相似準(zhǔn)則（力學(xué)相似準(zhǔn)則，力學(xué)相似判據(jù)，相似準(zhǔn)數(shù)）的形式來表示。 即：同名相似準(zhǔn)數(shù)相等。1、重力相似判據(jù)（佛勞德準(zhǔn)則） 流體所受重力為 G mg Vg 即： l2 v2 l3 g GGIIF 5.1 相似原理（應(yīng)用于模型實(shí)驗(yàn)）

6、15佛勞德準(zhǔn)則（重力相似判據(jù)）佛勞德相似準(zhǔn)數(shù)（佛勞德準(zhǔn)數(shù)）lgvglv 22整理得： 或：定義：則：12 lgv Frglv2rFFrdydvAF FFIIF lvlvl 222 2、粘性力相似判據(jù)（雷諾判據(jù)） 作用于流體上的粘性力 即 ：16雷諾相似準(zhǔn)數(shù) (雷諾數(shù))11 lvlv lvvlRevl 定義：整理得：或：則： Re Re雷諾準(zhǔn)則 (粘性力相似判據(jù))即： l2 v2 p l2PPIIF 3、壓力相似判據(jù)（歐拉準(zhǔn)則） 作用在流體上的壓力 P p A17整理得：定義：則：Eu Eu 歐拉準(zhǔn)則(壓力相似判椐) 歐拉相似準(zhǔn)數(shù)(歐拉數(shù)) 以上三個準(zhǔn)則稱為實(shí)際(粘性)不可壓縮流體定常流動的力學(xué)

7、相似準(zhǔn)則。2221vpvpvp 或：Euvp25.1 相似原理（應(yīng)用于模型實(shí)驗(yàn)）18三、近似準(zhǔn)則（近似相似） 完全相似必須保持下列三個相互制約關(guān)系： v2 g l v l p v2 這是相當(dāng)困難甚至不可能的。例如：由式得 ： v l 1/2 （g 1） 由式得 ： l 1/2 l l 3/2 上述關(guān)系很難滿足。19又如：若兩流動使用同一種介質(zhì)， 溫度相同時： 1 由佛勞德準(zhǔn)則有 ： v l1/2 二者矛盾，不可能同時滿足。由雷諾準(zhǔn)則有：lv15.1 相似原理（應(yīng)用于模型實(shí)驗(yàn)）20近似準(zhǔn)則法：(見課本145頁表8.1） 根據(jù)具體問題，抓住支配流動的主要矛盾，忽略次要因素，選擇決定性相似準(zhǔn)則（主要

8、相似準(zhǔn)則 ），設(shè)計模型實(shí)驗(yàn)（流動）。1、佛勞德準(zhǔn)則作為決定性相似準(zhǔn)則。 用于水利工程及明渠等無壓流動中。 此類流動都是以水位落差形式表現(xiàn)的重力為主要矛盾，支配流動。2、雷諾準(zhǔn)則作為主要相似準(zhǔn)則 用于有壓管流和大氣中物體的運(yùn)動等情況。 流體克服粘性摩擦而流動，粘性力決定流動的性質(zhì)。21四、模型流動的設(shè)計與數(shù)據(jù)換算（舉例）例：在設(shè)計高h(yuǎn) = 1.5 m，最大速度為 v= 200km/h的轎車時，需要確定其在公路上以此速度行駛時的正面空氣阻力。擬在風(fēng)洞中進(jìn)行模型實(shí)驗(yàn)，并假定風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)氣流的溫度與公路上行駛時的溫度相同。若風(fēng)洞中模型流動的氣流速度設(shè)計為v =83m/s，求模型實(shí)驗(yàn)中的轎車高度h；在的條件

9、下和所求車身高度，若測得模型實(shí)驗(yàn)正面空氣阻力F =1000N，求實(shí)物汽車在公路上以最大速度 200 km/h 行駛時，所受空氣阻力 F 為多少？22解：(1) 影響汽車所受阻力的因素主要是粘性力，應(yīng)以雷諾準(zhǔn)則作為決定性相似準(zhǔn)則。即應(yīng)使eRRe或 lvvl因兩流動是同種介質(zhì)，且同溫度，應(yīng)有：1將 v = 200 km/h ， l = h = 1.5 m ，v = 83 m/s 代入雷諾準(zhǔn)則式23則模型實(shí)驗(yàn)中轎車的設(shè)計高度應(yīng)為：mvvllh 18336005 . 1102003 (2)FFF22vlF模型設(shè)計時已知：1（同溫度下的同種介質(zhì)）5 . 115 . 1hhl67. 08336001020

10、03vvv24則：167. 05 . 1122F可得實(shí)物汽車上的正面阻力為：NFFF 100025n 量綱分析的目的是找出影響某一流動現(xiàn)象（過程）的各個變量（因素），把它們加以合理的組合，寫成無量綱數(shù)的形式，從而把物理過程中各變量間的關(guān)系，概括地表示在由這些無量綱數(shù)組成的函數(shù)關(guān)系式中，同時指明實(shí)驗(yàn)方法，并使得實(shí)驗(yàn)中所需測量和處理的變量數(shù)減少。 n 定理是廣泛應(yīng)用于量綱分析的一種方法。5.2 定理和量綱分析的應(yīng)用26一、量綱和諧性原理n一個物理現(xiàn)象（或物理過程）用能正確反映其客觀規(guī)律的物理方程表示時，方程中的每一項的量綱應(yīng)該是和諧的、一致的。n若將物理方程中的各項的量綱均用基本量綱的冪次式表示，

11、則各項的基本量綱必須齊次。稱為物理方程的量綱齊次性原理。n此原理是量綱分析法的理論依據(jù)。5.2 定理和量綱分析的應(yīng)用27二、 定理n設(shè)影響某一個物理過程或某一物理現(xiàn)象 N 的 k 個因素 (物理量、變量) 為 n1，n2， ，ni， ，nk，則此物理現(xiàn)象可用函數(shù)式表示為：n若從這（k+1）個物理量中確定出三個物理量 n1，n2，n3 作為基本物理量，則這個物理現(xiàn)象可以用由（k+1）個物理量構(gòu)成的（k+13）個無量綱參數(shù) i 表達(dá)的函數(shù)關(guān)系式來描述。u即： f ( 4，5 ，i ，k )kinnnnfN,.,.,2128n 三個基本物理量必須滿足的要求：基本物理量的量綱應(yīng)該是各自獨(dú)立的，且包含基

12、本量綱 M、L、T。其余（k+13）個物理量的量綱都可以由這 三個基本物理量的量綱表示（導(dǎo)出）。n 應(yīng)用 定理進(jìn)行量綱分析的步驟： 找出影響流動(物理)現(xiàn)象(規(guī)律)N 的全部 k 個物理量，將物理現(xiàn)象寫成一般函數(shù)關(guān)系 式： kinnnnfN,.,.,2129 從 k 個物理量中選出 3 個符合要求（包含不同基本量綱）的物理量作為基本物理量（一般選 l、v、 ，分別包含長度、時間和質(zhì)量）。 用這三個基本物理量的組合（通常是這三個變量指數(shù)乘積的形式）依次與其余的（k+13）個物理量中的任一個一起組成（k+13）個無量綱的 項。即： zyxnnnN321iiizyxiinnnn321 ；式中：n1、

13、n2、n3 為基本物理量。i 4, 5, , k30 確定無量綱的 項中的各指數(shù)寫出各變量的量綱，列出量綱關(guān)系式，依據(jù)量綱和諧性原理，比較各關(guān)系式等式兩邊基本量綱的因次（指數(shù)），列出代數(shù)方程式，解出各變量的指數(shù)xi、yi、zi ，代入上述（k+13）個無量綱 項。 將（k+1）個物理量之間的待求函數(shù)關(guān)系式改寫成（k+13）個無量綱 項之間的待求函數(shù)關(guān)系式： f ( 4，5，i ，k )31 應(yīng)用量綱分析法，除可得到反映流動現(xiàn)象的具體函數(shù)關(guān)系式外，還可將獨(dú)立變量的個數(shù)減少 3 個，從而大大地簡化實(shí)驗(yàn)過程（因使所需測量和處理數(shù)據(jù)的變量數(shù)減少）。5.2 定理和量綱分析的應(yīng)用32三、量綱分析法的應(yīng)用（

14、舉例）例：試用量綱分析（ 定理）法推出管中流動 的沿程水頭損失的表達(dá)形式。l 經(jīng)實(shí)際觀察和初步分析知道，流體在水平等徑直圓管中的流動，由于沿程粘性摩擦而造成的兩點(diǎn)間的壓強(qiáng)降（壓強(qiáng)差） p 與下列因素有關(guān)：管徑 d ，兩點(diǎn)間的管長 l ，管壁粗糙度 ，管內(nèi)流體的密度 ，流體的動力粘度 ，以及管流的斷面平均流速 v ，求 p 及 hf表達(dá)式。解： 各變量（因素）與 p 的函數(shù)關(guān)系可以 下式表示： p = f（ d，v，l，）33 上式中 k = 6，從中選出三個基本物理量 d，v，按 定理，這（k+1）個有量綱物理量之間的待求函數(shù)關(guān)系式就可轉(zhuǎn)換成（k+13）個無量綱參數(shù)之間的待求函數(shù)關(guān)系式： f

15、( 4，5，6 ) 選用 M，L，T 為基本量綱。除三個基本物理量外，其余（k+13）= 4 個變量（導(dǎo)出物理量） p， ，l， 均可由三個基本物理量的指數(shù)乘積形式來表示 6666zyxvdzyxvdp4444zyxvd5555zyxvdl34 以上各式中 xi ，yi ，zi 為待定指數(shù)。寫出每個物理量的量綱： p=ML1T2 d =L v =LT1 =ML3 =ML1T1 =L l =L將各含有無量綱參數(shù)的方程寫成量綱關(guān)系式： 0003121TLMMLLTLTMLzyx 00031114444TLMMLLTLTMLzyx 000315555TLMMLLTLLzyx 000316666TLM

16、MLLTLLzyx 35依據(jù)量綱和諧性原理,由上述第一式可得: M: 1 z = 0 L: x + y 3z +1= 0 T: y 2 = 0解此代數(shù)方程組得: x = 0, y = 2, z = 1則:2vp 又由上述第二式可得: M: 1 z4 = 0 L: x4 + y4 3z4 + 1 = 0 T: y4 1 = 036解此代數(shù)方程組得: x4 =1 , y4 = 1 , z4 = 1所以：Re14dvvd用同樣的方法可解得：dl 5 d 6 將各 值代入，前述無量綱參數(shù)之間的待求函 數(shù)關(guān)系式變?yōu)椋篸dlfvp,Re237所以：2222vdld,Refvdlp 最后寫出沿程水頭損失的函數(shù)關(guān)系式：gvdlgphf22 達(dá)西公式 d,Ref 式中：沿程阻力系數(shù)38l 本章主要介紹了相似原理和量綱分析。l 在設(shè)計模型流動實(shí)驗(yàn)時，需要使模型流動與實(shí)物流動具有一定的對應(yīng)關(guān)系，這就要求兩個流動滿足幾何、運(yùn)動、動力這三個層次上的相似（力學(xué)相似），其中動力相似是流動相似的主導(dǎo)因素。l 動力相似要求兩個流動各個同名力的比值都相等，由此提出了不同的相似準(zhǔn)則，并定義了不同相似準(zhǔn)數(shù)。從理論上說，只有當(dāng)兩個流動的各同名相似準(zhǔn)數(shù)都相等時，流動才嚴(yán)格地滿足動力相似。但在大多數(shù)情況下，并