微分方程總結(jié)

1、第十章：微分方程總結(jié)姓名：劉橋 學號：40905237 班級：工商49班小組：第八小組 組長：劉洪材一、 微分方程的基本概念1. 微分方程及其階的定義微分方程：凡含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程叫微分方程.分類1：常微分方程（未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程） 偏微分方程（未知函數(shù)為多元函數(shù)，從而出現(xiàn)偏導數(shù)的微分方程）l 微分方程的階.：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)導數(shù)或微分的最高階數(shù).分類2：一階微分方程 高階(n)微分方程分類3：線性與非線性微分方程.分類4：單個微分方程與微分方程組.2. 微風方程的解微分方程的解：代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù).微分方程解的分類：通解（微分方程的解中含有任意

2、常數(shù),且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.） 特解（ 確定了通解中任意常數(shù)以后的解.）初始條件：用來確定任意常數(shù)的條件.初值問題: 求微分方程滿足初始條件的解的問題.積分曲線：微分方程的任一特解的圖形都是一條曲線,稱為微分方程的積分曲線二、 一階微分方程1. 可分離變量的方程可分離變量的微分方程：形如： 的一階微分方程.例題回味：求方程的通解分離變量得，兩邊同時積分得， 于是得到通解為，2. 齊次方程如果一階微分方程可化為的方程，那么久稱之為齊次方程.解法：作變量代換 兩邊分求微分得， 代入原式得， 則對上式分離變量得，. 兩邊分別積分得， 求出積分后，將代入，就求得了原微分方程的通解.例題

3、回味：求解微分方程 解， 微分方程的解為3. 一階線性微分方程形如的方程稱為一階線性微分方程稱方程式為非齊次線性微分方程稱方程為齊次線性微分方程解法：1. 線性齊次方程（分離變量法） 2. 線性非齊次方程例題回味： 解 4. 伯努利方程形如（n為常數(shù)）的方程稱為伯努利方程.三、 高階微分方程1. n階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)n階線性微分方程的一般形式：稱方程式為非齊次線性方程，稱方程式為齊次線性方程。定義：對于定義在區(qū)間（a,b）上的函數(shù)組，如果存在不全為0的常數(shù)，使得等式在區(qū)間（a,b）上恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間（a,b）上線性相關(guān)，否則，則稱線性無關(guān). 定理：.如果函數(shù)都是其次線性方程式的解，則

4、他們的線性組合也是齊次線性方程式的解，其中是n個任意常數(shù)。. 如果是n階齊次線性方程式的兩個線性無關(guān)的特解, 則方程式的通解為.其中是n個任意常數(shù)，而且方程式的任意解都可以表示成這個形式。. 設是n階非齊次線性方程的一個特解, 是對應的齊次方程式的通解, 則非齊次線性微分方程的通解為. 設非齊次方程(2)的右端 是幾個函數(shù)之和, 如而與分別是方程，的特解, 那么 就是原方程的特解.2. 二階常系數(shù)線性方程n階常系數(shù)線性微分方程的標準形式：二階常系數(shù)齊次線性方程的標準形式：二階常系數(shù)非齊次線性方程的標準形式：特征根情況：(1)特征方程有兩個不相等的實根 特征根為 兩個線性無關(guān)的特解 得齊次方程的通解為 (2)特征方程有兩個相等的實根特征根為一特解為 得齊次方程的通解為3)特征方程有一對共軛復根特征根為 重新組合 得齊次方程的通解為特征方程法步驟：(1) 寫出所給方程的特征方程； (2) 求出特征根； (3) 根據(jù)特征根的三種不同情況，寫出對應的特解，并寫出其通解.例題回味： 特征方程為