正方形和旋轉(zhuǎn)

1、利用旋轉(zhuǎn)證明正方形和等腰直角三角形問題 2009東營市和2011雞西市綏化市對比分析2009年東營市中招數(shù)學(xué)試題和2011年雞西市中招數(shù)學(xué)試題其實(shí)是一個(gè)類型的試題，應(yīng)該說2011年雞西市的這道中招試題源于2009年東營市的中招試題，該試題體現(xiàn)了圖形在不同的位置仍然還具備內(nèi)在的關(guān)系，只要在解題中抓住問題的本質(zhì)與核心可以用同樣的方法來解決不同位置時(shí)的問題?，F(xiàn)在將兩道試題化歸為一道試題的不同的情況，主要利用旋轉(zhuǎn)的思想加以對比研究。（2009東營）已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點(diǎn)，過E點(diǎn)作EFBD交BC于F，連接DF，G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG（1）求證：EG=CG；（2）將圖中BEF繞B

2、點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45，如圖所示，取DF中點(diǎn)G，連接EG，CG問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由 （3）將圖中BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論？（均不要求證明）（2011綏化市、雞西市）在正方形的邊上任取一點(diǎn)，作交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，如圖（1），易證且（1）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖（2），則線段和有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請直接寫出你的猜想（2）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖（3），則線段和又有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明【1】（2009東營）（2011雞西市、綏化市）

3、已知正方形ABCD，BEF是等腰直角三角形，BEF=90， G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)F在BC邊上時(shí)，判斷線段 的關(guān)系，證明你的結(jié)論；（2）將圖中BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)F在對角線BD上，如圖所示，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由 （3）將圖中BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E在CB的延長線上，如圖所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由。（4）將圖中BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E在AB的延長線上，如圖所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，

4、請說明理由。（5）將圖中BEF繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)任意的角度，使點(diǎn)E、F在正方形ABCD的外部，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由。（6）將圖中BEF繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)任意的角度，使點(diǎn)E在正方形ABCD的外部，點(diǎn)F在正方形ABCD的內(nèi)部，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由。（7）將圖中BEF繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)任意的角度，使點(diǎn)E、F都在正方形ABCD的外部，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由。（8）將圖中BEF繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)任意的角度，使點(diǎn)E在正方形ABCD的內(nèi)部，點(diǎn)F在正方形A

5、BCD的外部，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由。 （1）證明：如圖，在RtFCD中，G為DF的中點(diǎn)，CGFD在RtDEF中，G為DF的中點(diǎn)，EGFDEGCG（2）方法一證明：如圖2-1所示，延長EF和CD交于點(diǎn)H，連接GH方法二：連接AG，過點(diǎn)G作MNAD于M，與EF的延長線交于點(diǎn)N，如圖2-2在DAG與DCG中ADCD，ADGCDG45，DGDGDAGDCG，AGCG在DMG與FNG中DGMFGN，F(xiàn)GDG，MDGNFG45DMGFNG，MGNG在矩形AENM中，AMEN在RtAMG 與RtENG中，AMEN，MGNGAMGENG，AGEGMAG=GEN

6、=DCGEGCGMNCD，DCG=NGC=GEF方法三：延長CG至M，使MGCG，連接ME，MF，EC，如圖2-3在FMG與DCG中，F(xiàn)GDG，MGFCGD，MGCGFMGDCGMFCDCB，F(xiàn)MGDCGMFCDABEFMF在RtMFE與RtCBE中，MFCB，EFEBMFECBE，MEFCEBMECMEF +FECCEB +FEC90MEC為等腰直角三角形MGCG，EGMC方法四：將EBC繞點(diǎn)C順時(shí)針現(xiàn)在90得HDC,連接GH由旋轉(zhuǎn)可知，點(diǎn)E、G、H共線，點(diǎn)評：證明方法三和四都用到了旋轉(zhuǎn)的思想，但是在輔助線的作法上可以有不同的描述；這樣的兩種方法都是用EGC構(gòu)造等腰直角ECH.(3)證明方法

7、一：過F作FHCD于點(diǎn)H，連接GH、GB、是等腰直角三角形證明方法二延長EG和CD相交于點(diǎn)H，證明方法三延長CG和EF相交于點(diǎn)H，點(diǎn)評：這種情況因?yàn)辄c(diǎn)E、B、C共線，其本質(zhì)還是相當(dāng)于把EBC繞點(diǎn)C或者點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)90(4)、證明方法一：延長FE和DC相交于點(diǎn)M，連接GM證明方法二：作FHEF延長CG和FH相交于點(diǎn)H，連接EH證明方法三：將RtCBE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得RtCDH，連接GH由旋轉(zhuǎn)可知由點(diǎn)評：輔助線的作法一樣，但是描述不一樣，這樣出現(xiàn)了不同的證明方法。 (5)證明方法一：如圖5-1，過D作DMEF交EG的延長線于點(diǎn)M，連接CM，EB和DM相交于點(diǎn)H，HM交BC于點(diǎn)K證明方法二如圖5-

8、2將EBC繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得EFM連接MG，直線MF，CB相交于K，EC，MK相交于H,由旋轉(zhuǎn)可知點(diǎn)評：兩種不同的方法都是利用ECG構(gòu)造出一個(gè)等腰直角三角形，利用等腰直角三角斜邊的中線和斜邊上的高重合證明結(jié)論?！鞍岩粋€(gè)圖形旋轉(zhuǎn)后，對應(yīng)邊所在的直線的夾角和旋轉(zhuǎn)角相等（互補(bǔ)）”是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式（結(jié)論），但是在試題中我證明了該結(jié)論，利用的基本的方法是：如圖1所示，CAE和EBC的兩邊分別垂直，則這兩個(gè)角相等，不過還有另外的一種情況，如圖2所示，A+B=180，這兩個(gè)角互補(bǔ)。(6)證明方法一如圖6-1作DMEF交直線BE于K，延長EG交DM于點(diǎn)M，連接CM證明方法二如圖6-2，把BEC繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋

9、轉(zhuǎn)90得EFM，連接GM，F(xiàn)M交BC于K，交EC于H。由旋轉(zhuǎn)可知在HKC和HEM中，HCK=EMH,EHM=KHCHKC=HEM=90MFBC MFCDMFG=CDGFG=DG，CD=BC=MFMFGCDG(SAS)MG=CG,MGF=CGDCGD+FGC=180MGF+FGC=180點(diǎn)M、G、C共線在MEC中，EM=EC,MEC=90,MG=CG證明方法三如圖6-3，設(shè)對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，BF的中點(diǎn)是M連接EM，MG，OG，在FBD中 (7)證明方法一四邊形ABCD是正方形CB=CD,CBCD連接CE,將CBE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到CDH，連接GH，直線BE和直線DH相交于點(diǎn)P，由

10、旋轉(zhuǎn)可知：CH=CE,CHCE，DH=BE=EF證明方法二如圖7-1-1，延長EG到H，使GH=GE，連接CH，DH，ECDH和BE相交于點(diǎn)P，和AB相交于點(diǎn)K，證明方法三如圖7-2將EBC繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得EFH，連接GH，直線CB和HF相交于點(diǎn)P.由旋轉(zhuǎn)可知(8)證明方法一如圖8-1，將BEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得DHC，連接GH，直線DH和直線BE相交于點(diǎn)R，BE和CD相交于點(diǎn)K，由旋轉(zhuǎn)可知證明方法二如圖8-2所示將BEC繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得FEH，連接GH，F(xiàn)H和CE、BC分別相交于點(diǎn)K、Y類似于方法一可以證明從而得到等腰直角HEC，EG是斜邊CH的中線證明省略總結(jié)：當(dāng)?shù)妊苯荁EC旋轉(zhuǎn)到不同的位置的時(shí)候，題目中的結(jié)論還成立；主要的證明思路是將EGC構(gòu)造在一個(gè)等腰直角三角形中，利用等腰三角形的“三線合一”證明結(jié)論；不管是何種情況，利用旋轉(zhuǎn)BEC都可以得到證明思路，并且每種情況都有兩種不同的旋轉(zhuǎn)方法，這說明