第七講-多元函數(shù)積分學(xué)(一)(共7頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第七講 多元函數(shù)積分學(xué)（一）知識點分析：一、二重積分1、二重積分的概念：設(shè)二元函數(shù)定義在有界閉區(qū)域上，則二重積分精確定義求極限問題：先提出，在湊出，可以看出是0到1上的，是0到1上的，是0到1上的注：二重積分的存在性，也稱二元函數(shù)的可積性，設(shè)平面有界閉區(qū)域由一條或幾條逐段光滑閉曲線圍成，當(dāng)在上連續(xù)時，或者在上有界，且在除了有限個點和有限條光滑曲線外都是連續(xù)的，則在上可積。極限存在與的分割方式無關(guān)。幾何意義曲頂柱體的體積；物理意義的質(zhì)量。2、二重積分的性質(zhì)（1）區(qū)域面積，其中為區(qū)域的面積。（2）可積函數(shù)必有界：當(dāng)在閉區(qū)域上可積時，則在上必有界（3）線性性質(zhì)：為常數(shù)。（4

2、）可加性：，。（5）保號性：若在上，則；特殊的有。（6）估值定理：設(shè)，的面積為,則有（7）二重積分中值定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，的面積為，則至少存在一點使得。3、二重積分的計算（1）直角坐標(biāo)系計算法型：，在上連續(xù)，則型：，在上連續(xù)，則（2）極坐標(biāo)系計算法其中在上連續(xù)，則注意：型，型和極坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化有時可方便解題4、二重積分的對稱性，記為其對稱區(qū)域的一半（1）若關(guān)于軸對稱，有（2）若關(guān)于軸對稱，有（3）若關(guān)于原點對稱，有（4）（輪換對稱性）若關(guān)于對稱，有若將分成兩部分，有二、三重積分1、三重積分的概念設(shè)三元函數(shù)定義在三維有界空間區(qū)域上，則三重積分方法：先提出，在湊出，可以看出是0到1上的，是

3、0到1上的，是0到1上的，是0到1上的。2、三重積分的性質(zhì)（1）區(qū)域面積，其中為區(qū)域的面積。（2）可積函數(shù)必有界：當(dāng)在閉區(qū)域上可積時，則在上必有界（3）線性性質(zhì)：，為常數(shù)。（4）可加性：，。（5）保號性：若在上，則；特殊的有。（6）估值定理：設(shè)，的體積為,則有（7）三重積分中值定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，的體積為，則至少存在一點使得。3、三重積分的計算（1）坐標(biāo)平面投影法（二套一）（2）坐標(biāo)軸投影法（一套二）（3）柱面坐標(biāo)法“直角坐標(biāo)系+極坐標(biāo)系”，其中（4）球坐標(biāo)計算法其中4、三重積分的對稱性（1）若關(guān)于平面對稱，則為對稱區(qū)域的一半。同理與關(guān)于平面對稱和平面對稱（2）輪換對稱性：若關(guān)于具有輪

4、換對稱性（即若，將意互換后的點也屬于），則被積函數(shù)中的自變量可以任意輪換而不改變積分值當(dāng)：，有三、重積分的應(yīng)用1、曲面的面積設(shè)曲面由方程組成，則曲面的面積若光滑曲面方程為，且，則2、質(zhì)心（1）薄片的質(zhì)心：，若薄片是均勻的，密度為常數(shù)，則質(zhì)心即形心，（2）空間立體質(zhì)心：，則：，3、轉(zhuǎn)動慣量（1）平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量，若面密度為，（2）空間立體的轉(zhuǎn)動慣量, 若密度為,4、引力（1）對面上的平面薄片對原點處的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力分量為；，（2）空間立體的對空間任意一點處的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力分量為注：勻質(zhì)球?qū)η蛲獾囊毁|(zhì)點的引力如同球的質(zhì)量集中于球心時兩質(zhì)點的引力；勻質(zhì)球?qū)η騼?nèi)的某一質(zhì)點的引力等于球心到該質(zhì)

5、點為半徑的球?qū)υ擖c的引力。練習(xí)題：1、求極限2、交換下列積分次序（1）；（2）；（3）（4）3、計算下列二重積分（1），；（2）；（3）4、將在下列區(qū)域表示為極坐標(biāo)形式（函數(shù)為）（1）；（2）（3）；（4）5、用極坐標(biāo)計算積分（1）；（2）；（3）；（4），其中是在第一象限區(qū)域；（5），其中是在第一象限區(qū)域；6、（1）求曲面與圍成立體體積。（2）計算面上圍成的閉區(qū)域為底，以曲面為曲頂柱體體積。7、設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，其中是由圍成，求。8、設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，且，求。9、設(shè)平面閉區(qū)域，則 （ ）（A） （B） （C） （D）010、計算其中由圍成11、計算，其中由，圍成。12、已知，計算下列二重積

6、分（1），是定義在連續(xù)正值函數(shù)，常數(shù)。（2），常數(shù)。13、設(shè)在上連續(xù)，求14、已知函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，其中，計算二重積分。15、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則_.16、設(shè)連續(xù)，求。17、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，求證。18、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且滿足，其中，求表達式。19*、求極限20*、計算，其中。21、求極限22、計算，其中為平面所圍成閉區(qū)域。23、（1）計算，其中是由錐面與平面所圍成閉區(qū)域。（2）是平面繞旋轉(zhuǎn)所得與，所圍區(qū)域。24、計算，其中為球面在第一卦限的閉區(qū)域。25、計算，其中為球面的閉區(qū)域。26、計算，其中是不等式所圍成閉區(qū)域。27、計算，其中是不等式所圍成閉區(qū)域。28、求球體上位于錐面之間的部分的體積。29、空間閉區(qū)域，則有 （ ）（A） （B）（C） （D）30、計算，其中為球面的閉區(qū)域。31、計算（1）；（2）32、求球面含在圓柱面內(nèi)部的那部分面積。33、求兩個直交圓柱面圍成立體的表面積。34、求均勻薄片是介于之間的閉區(qū)域的質(zhì)心。35、求均勻立體是圍成的質(zhì)心。36、設(shè)球體中任意一點的密度到球心距離成正比，求球的重心。37、求均勻薄片是由與直線所圍成，繞旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量（）。