第八章-向量值函數(shù)的曲線積分與曲面積分(共11頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上8.5 場論簡介8.5.1 向量場的散度1沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件對于曲面積分在怎樣的條件下與曲面無關(guān)而只取決于的邊界曲線？這問題相當(dāng)于在怎樣的條件下，沿任意閉曲面的曲面積分為零？對空間區(qū)域G，如果G內(nèi)任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于G，則稱G是空間二維單連通區(qū)域；如果G內(nèi)任一閉曲線總可以張一片完全屬于G的曲面，則稱G是空間一維單連通區(qū)域.定理2 設(shè)G是空間二二維單連通區(qū)域，在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲面積分在G內(nèi)與所取曲面無關(guān)而只取決于的邊界曲線（或沿G內(nèi)任一閉曲面的曲面積分為零）的充分必要條件是（4）在G內(nèi)恒成立.證 類似于第三節(jié)第二目的證明.2. 通量與散

2、度設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體（假定密度為1）的速度場由給出，其中假定具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，是速度場中的一片有向曲面，又是在點(diǎn)處的單位法向量，則由第五節(jié)第一目知道，單位時(shí)間內(nèi)流體經(jīng)過流向指定側(cè)的流體總質(zhì)量可用曲面積分來表示：其中表示流體的速度向量在有向曲面的法向量上的投影.如果是高斯公式（1）中閉區(qū)域的邊界曲面的外測，那么公式（1）的右側(cè)可解釋為單位時(shí)間內(nèi)離開閉區(qū)域的流體的總質(zhì)量.由于假定流體是不可壓縮的，且流動是穩(wěn)定的，因此在流體離開的同時(shí)，內(nèi)部必須有產(chǎn)生流體的“源頭”產(chǎn)生同樣多的流體來進(jìn)行補(bǔ)充.所以高斯公式左端可解釋為分布在內(nèi)的源頭在單位時(shí)間內(nèi)所產(chǎn)生的流體的總質(zhì)量.為簡便起見，把高斯公式（1）改

3、寫成以閉區(qū)域的體積V除上式兩端，得 上式左端表示內(nèi)的源頭在單位時(shí)間內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量的平均值。應(yīng)用積分中值定理于上式左端，得，這里是內(nèi)的某個(gè)點(diǎn).令縮向一點(diǎn)，取上式的極限，得上式左端稱為v在點(diǎn)M的散度，記作，即在這里可看作穩(wěn)定流動的不可壓縮流體在點(diǎn)M的源頭強(qiáng)度在單位時(shí)間內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量.如果為負(fù)，表示點(diǎn)M處流體在消失.一般地，設(shè)某向量場由給出，其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，是場內(nèi)的一片有向曲面，n是在點(diǎn)處的單位法向量，則叫做向量場通過曲面向著指定側(cè)的通量（或流量），而叫做向量場的散度，記作，即高斯公式現(xiàn)在可以寫成，其中是空間閉區(qū)域的邊界曲面，而是向量在曲面的外測法向量上的投影.例1 設(shè)向量場A(x,

4、 y, z)=(xy, y, xz)，求A(x, y, z)在點(diǎn)(0, 1, 0)處的散度divA。解 這里P= xy, Q=y, R=xzdivA=于是div8.5.2 向量場的旋度1空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件定理2 設(shè)空間區(qū)域G是一維單連通域，函數(shù)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則空間曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)（或沿G內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零）的充分必要條件是（5）在G內(nèi)恒成立.證 略定理3 設(shè)區(qū)域G是空間一維單連通區(qū)域，函數(shù)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則表達(dá)式在G內(nèi)成為某一函數(shù)的全微分的充分必要條件是等式（5）在G內(nèi)恒成立；當(dāng)條件（5）滿足時(shí)，這函數(shù)（不計(jì)一常數(shù)之差）可用下式求出： （6）或用

5、定積分表示為（按圖1029取積分路徑）（6）其中為G內(nèi)某一定點(diǎn)，點(diǎn)2. 環(huán)流量與旋度設(shè)斯托克斯公式中的有向曲面在點(diǎn)處的單位法向量為而的正向邊界曲線在點(diǎn)處的單位切向量為則斯托克斯公式可用對面積的曲面積分及對弧長的曲線積分表示為（7）設(shè)有向量場在坐標(biāo)軸上的投影分別為的向量叫做向量場的旋度，記作，即.（8）現(xiàn)在，斯托克斯公式可寫成向量的形式，或，（9）其中為在的法向量上的投影，而為向量在的切向量上的投影.沿有向閉曲線的曲線積分 叫做向量場沿有向閉曲面的環(huán)流量.斯托克斯公式（9）現(xiàn)在可敘述為：向量場沿有向閉曲線的環(huán)流量等于向量場的旋度場通過所張的曲面的通量,這里的正向與的側(cè)應(yīng)符合右手規(guī)則.為便于記憶，

6、的表達(dá)式（8）可利用行列式記號形式地表示為.作業(yè) 2，4（2）（4），6習(xí)題課1計(jì)算曲線積分，其中L是圓周.解 利用L的極坐標(biāo)方程被積函數(shù)，于是 圖820例 2 計(jì)算，其中L是圓周.解 利用曲線積分的性質(zhì)，得對于，因?yàn)榉e分曲線L是關(guān)于y軸對稱的，被積函數(shù)是L上關(guān)于的奇函數(shù)，所以0.對于，因?yàn)榉e分曲線L是關(guān)于軸也是對稱的，被積函數(shù)是L上關(guān)于y的奇函數(shù)，所以0.綜上所述，得0.關(guān)于對稱性的一般法則設(shè)函數(shù)在一條光滑（或分段光滑）的曲線L上連續(xù)，L關(guān)于y軸（或x軸）對稱，則（1）當(dāng)是L上關(guān)于x（或y）的奇函數(shù)時(shí)，；（2）當(dāng)是L上關(guān)于x（或y）的偶函數(shù)時(shí)，其中曲線是曲線L落在y（或x）軸一側(cè)的部分。例3

7、 計(jì)算，其中為，取逆時(shí)針方向.解 積分路徑如圖821，利用對稱性。將原式分成兩部分，即第一個(gè)積分，曲線關(guān)于軸對稱，L在上半平面部分的走向與L在下半平面部分的走向相反(前者，后者)，被積函數(shù)是y的偶函數(shù)。第二個(gè)積分，曲線關(guān)于軸對稱，L在右半平面部分的走向與L在左半平面部圖821分的走向相反(前者，后者)，被積函數(shù)是x的偶函數(shù)。所以兩個(gè)積分均為零.即0上述結(jié)論再一般情況下也成立.對坐標(biāo)的曲線積分，當(dāng)平面曲線L是分段光滑的，關(guān)于軸對稱，L在上半平面與下半平面部分的走向相反時(shí)，（1）若（即為的偶函數(shù)），則；（2）若（即為的奇函數(shù)），則 ，其中為L的上半平面的部分.類似地，對的討論也有相應(yīng)的結(jié)論.例4

8、設(shè)，在光滑的有向曲線上連續(xù)，L為曲線弧的弧長，而，證明證 由兩類曲線積分的聯(lián)系和性質(zhì)，有例5 求面密度為常數(shù)的均勻拋物面殼的重心坐標(biāo).解 由拋物面的對稱性和均勻性知，重心坐標(biāo)中，下面求坐標(biāo).拋物面在xOy平面上的投影區(qū)域?yàn)椋视兴灾匦淖鴺?biāo)為例6 計(jì)算其中是錐面被平面和所截得的部分的下側(cè).解 在計(jì)算時(shí)，可分為兩塊，即前面一塊和后面一塊，在yOz平面上的投影為正，在yOz平面上的投影為負(fù)，其投影區(qū)域相同.見圖922.故圖822在計(jì)算時(shí)，可分為兩塊，即右面一塊和左面一塊，在zOx平面上的投影為正，在zOx平面上的投影為負(fù)，其投影區(qū)域相同.故在計(jì)算時(shí)，注意被積函數(shù)中，在xOy平面上的投影為負(fù)，投影區(qū)

9、域可用極坐標(biāo)表示為，故例7 計(jì)算，其中是平面在第一卦限部分的上側(cè).解 因?yàn)槿∩蟼?cè)，因此法向量n與z軸正向的夾角為銳角，其方向余弦是 ，則有.計(jì)算。的方程為，其在xOy平面的投影區(qū)域：，又曲面的面積元素所以 例8 計(jì)算，其中L是從點(diǎn)到點(diǎn)的上半圓弧，為常數(shù).解 我們補(bǔ)一條直線，得閉曲線，從而可以是呀格林公式 圖823其中為半圓又 ，故例9 計(jì)算，其中為任一不經(jīng)過原點(diǎn)的閉曲面的外測.解 因?yàn)椋裕?）當(dāng)不包圍原點(diǎn)時(shí)，由高斯公式即得0。（2）當(dāng)包圍原點(diǎn)時(shí)，取的外測，由高斯公式，得。而即 例10 計(jì)算，其中，是錐面 在xOy平面上方的部分，n是的上側(cè)的單位法向量.解 曲面與xOy平面的交線（即其邊界）為，并取為逆時(shí)針方向.由斯托克斯公式，知，在和所圍成的平面上，對上式右端閉路積分再次應(yīng)用斯托克斯公式，得，其中 例11 設(shè)函數(shù)有連