貝特朗悖論(幾何概型).doc

1、一個(gè)幾何概型試題的題源探究中學(xué)教研2010年第09期 第38頁福建中學(xué)數(shù)學(xué)2010年第05期 第23頁1 題目點(diǎn)為周長(zhǎng)等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)，則劣弧的長(zhǎng)度小于1的概率為 .（2009年福建省數(shù)學(xué)高考文科試題）解：如圖1，另一端點(diǎn)只能在優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，因此所求概率為圖1圖2.2 題源2.1 源于歷史名題初看此題以為是數(shù)學(xué)史上得一個(gè)經(jīng)典的悖論貝特朗悖論，其實(shí)這是一個(gè)根據(jù)貝特朗悖論改編的題目.貝特朗悖論：“在半徑為1的圓周上任取兩點(diǎn)，連成一條弦，問弦長(zhǎng)超過其內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)的概率是多少？”從不同方向考慮這道試題，可得不同結(jié)果：解法1 如圖2，滿足條件得弦為.不失一般性，先固定

2、其中一點(diǎn)于圓周上，則另一端點(diǎn)只能在弧上運(yùn)動(dòng)，因此所求概率.解法2 如圖3，應(yīng)用對(duì)稱性.可預(yù)先固定直徑，點(diǎn)為的四等分點(diǎn).作垂直于直徑的弦，若弦長(zhǎng)要大于內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)，則半弦長(zhǎng)，于是弦心距，即弦的中點(diǎn)須在線段上運(yùn)動(dòng)（弦中點(diǎn)與弦一一對(duì)應(yīng)），故所求概率為.圖4圖3解法3 如圖4所示，弦長(zhǎng)要大于內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)，則半弦長(zhǎng)，于是弦心距，即弦中點(diǎn)必須在以為圓心、半徑為的圓內(nèi)或圓上，故所求概率.這導(dǎo)致同一事件有不同概率，因此為悖論.同一問題有3中不同的答案，原因在于取弦時(shí)采取不同的等可能性假設(shè)！解法1假設(shè)端點(diǎn)在圓周上是均勻分布的；解法2假設(shè)弦中點(diǎn)在直徑上是均勻分布的；解法3是假設(shè)弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)是均勻分布的.

3、這3種解答是針對(duì)3種不同的隨機(jī)試驗(yàn)，對(duì)于各自的隨機(jī)試驗(yàn)而言，它們都是正確的.因此，在試驗(yàn)術(shù)語“隨機(jī)”、“等可能”、“均勻分布”等時(shí)，應(yīng)明確指明其含義，這又因試驗(yàn)而異.幾何概率是19世紀(jì)末新發(fā)展起來的一門學(xué)科，使很多概率問題的解決變得簡(jiǎn)單而不用運(yùn)用微積分的知識(shí)。然而，1899年，法國(guó)學(xué)者貝特朗提出了所謂“貝特朗悖論”（亦稱”貝特朗怪論“），矛頭直指幾何概率概念本身.悖論提出后，在數(shù)學(xué)界引起很大震動(dòng)，促使數(shù)學(xué)家理性反思概率論的基礎(chǔ)理論.1932，這個(gè)問題才由前蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫解決，他在其經(jīng)典的著作概率論基礎(chǔ)中建立了在測(cè)度論的基礎(chǔ)上的概率論公理系統(tǒng)，從而把概率論建立在完全嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之上.

4、貝特朗悖論貝特朗概率悖論是一個(gè)著名的悖論題，與其他的集合悖論不一樣，這個(gè)悖論只是我們看起來“錯(cuò)”而已，也并沒有像集合悖論一樣帶來一次數(shù)學(xué)危機(jī)，正確審視它，就是讓我們對(duì)“幾何概型”這一概念更加地深入了解而已.“貝特朗悖論問題”：在半徑為1的圓內(nèi)隨機(jī)地取一條弦，則其長(zhǎng)超過該圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)的概率是多少？取單位圓，的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)等于，取的任一弦長(zhǎng)，記“”的事件為.圖2圖1圖3 解法1 因?yàn)橄议L(zhǎng)只和它與圓心的距離有關(guān)，而與方向無關(guān)，因此不妨固定弦的方向，考慮弦與垂直于它的直徑的交點(diǎn)，分別以為一個(gè)頂點(diǎn)作圓內(nèi)接正三角形，這兩個(gè)正三角形的邊與分別交于點(diǎn)，交點(diǎn)位于上時(shí)（如圖1），有弦，否則

5、.由于，.解法2 任何弦都交圓周于兩點(diǎn)，不失一般性，不妨固定弦的一端于圓上，以此點(diǎn)位頂點(diǎn)作一圓內(nèi)接正三角形，弦的另一端在圓周上“隨機(jī)地”變動(dòng)（如圖2），當(dāng)點(diǎn)落在所夾弧上時(shí)，有弦，否則，的長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的，.解法3 因?yàn)橄议L(zhǎng)被中點(diǎn)唯一確定，在圓內(nèi)“隨機(jī)地”取一點(diǎn)作為弦的中點(diǎn)，若，則弦，否則，故點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓內(nèi)（如圖3），而小圓的面積大圓面積的，.貝特朗悖論幾何概率是十九世紀(jì)末新發(fā)展起來的一門學(xué)科，使很多概率問題的解決變得簡(jiǎn)單而不用運(yùn)用微積分的知識(shí)。然而，1899年，法國(guó)學(xué)者貝特朗提出了所謂“貝特朗悖論”（亦稱”貝特朗怪論“），矛頭直指幾何概率概念本身.在一給定圓內(nèi)所有的弦中任選一條弦,求該

6、弦的長(zhǎng)度長(zhǎng)于圓的內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)的概率.取單位圓，的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)等于，取的任一弦長(zhǎng)，記“”的事件為.1. ,如果, 其發(fā)生的概率為；2. ,如果, 其發(fā)生的概率為. 3. ,如果在半徑為的圓內(nèi)，其發(fā)生的概率為. 悖論分析1）由于對(duì)稱性，可預(yù)先固定弦的一端。僅當(dāng)弦與過此端點(diǎn)的切線的交角在 之間，其長(zhǎng)才合乎要求.所有方向是等可能的，則所求概率為.此時(shí)假定端點(diǎn)在圓周上均勻分布.2）由于對(duì)稱性，可預(yù)先指定弦的方向.作垂直于此方向的直徑，只有交直徑于點(diǎn)與點(diǎn)間的弦，其長(zhǎng)才大于內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)。所有交點(diǎn)是等可能的,則所求概率為.此時(shí)假定弦的中心在直徑上均勻分布. 3）弦被其中點(diǎn)位置唯一確定.只有當(dāng)弦的

7、中點(diǎn)落在半徑縮小了一半的同心圓內(nèi)，其長(zhǎng)才合乎要求.中點(diǎn)位置都是等可能的,則所求概率為.此時(shí)假定弦長(zhǎng)被其中心唯一確定. 這導(dǎo)致同一事件有不同概率，因此為悖論.貝特朗悖論幾何概率是十九世紀(jì)末新發(fā)展起來的一門學(xué)科，使很多概率問題的解決變得簡(jiǎn)單而不用運(yùn)用微積分的知識(shí)。在19世紀(jì)，人們一度認(rèn)為任何概率問題都有唯一的解答。然而，1899年，法國(guó)學(xué)者貝特朗（Joseph Bertrand）提出了所謂“貝特朗悖論”，矛頭直指一些數(shù)學(xué)基本概念。貝特朗的這個(gè)悖論以及他的概率論對(duì)幾何概率的不確定性提出的批評(píng)，促使概率論向公理化方向發(fā)展。然而，人類也因此再一次錯(cuò)失了一次糾偏的大好時(shí)機(jī)！在半徑為1的圓內(nèi)的所有弦中任選一

8、條弦，求該弦的長(zhǎng)度長(zhǎng)于圓的內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)的概率.解法一：由于對(duì)稱性，可預(yù)先固定弦的一端。僅當(dāng)弦與過此端點(diǎn)的切線的交角在之間，其長(zhǎng)才合乎要求。所有方向是等可能的，則所求概率為.解法二：由于對(duì)稱性，可預(yù)先指定弦的方向。作垂直于此方向的直徑，只有交直徑于點(diǎn)與點(diǎn)間的弦，其長(zhǎng)才大于內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)。所有交點(diǎn)是等可能的,則所求概率為.解法三：弦被其中點(diǎn)位置唯一確定。只有當(dāng)弦的中點(diǎn)落在半徑縮小了一半的同心圓內(nèi)，其長(zhǎng)才合乎要求。中點(diǎn)位置都是等可能的,則所求概率為.三個(gè)看似都有道理的解法卻得到了不同的結(jié)果，所以我們稱其為paradox。其實(shí)，這些結(jié)果都是對(duì)的。因?yàn)樗鼈儾捎昧瞬煌牡瓤赡苄约俣ǎ航夥ㄒ患俣ǘ它c(diǎn)在

9、圓上均勻分布；解法二假定半徑在圓內(nèi)均勻分布以及弦的中點(diǎn)在半徑上均勻分布；解法三假定弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分布.這三種解法針對(duì)三種不同的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，對(duì)于各自的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)它們都是正確的.現(xiàn)在，如果我們假定弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分布。那么前兩種假設(shè)中弦的中點(diǎn)便不是均勻分布了.它們的分布情況如下：解法一的弦中點(diǎn)分布：從貝特朗的這個(gè)悖論，我們可以清醒地看到數(shù)學(xué)家們對(duì)點(diǎn)的分布狀態(tài)影響問題的結(jié)果是有認(rèn)識(shí)的！事實(shí)上，貝特朗悖論告訴了我們一個(gè)很淺顯的道理：我們?cè)诮鉀Q一個(gè)問題之前，就應(yīng)該設(shè)定點(diǎn)的分布狀態(tài)。然而，遺憾的是數(shù)學(xué)家們不去反省由此悖論反應(yīng)出來的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是否牢固，而總是弄出一大堆理論來試圖亡羊補(bǔ)牢。說句不好聽的話，數(shù)學(xué)

10、的公理化是什么？就是如果你說的一大堆謬論沒有自相矛盾，那么恭喜你，你創(chuàng)造了一套理論.現(xiàn)在問題來了！數(shù)學(xué)中我們經(jīng)常所說的“點(diǎn)”究竟是什么？平面或者空間中點(diǎn)的分布狀態(tài)到底是怎么樣的？我們一般傾向于假設(shè)點(diǎn)在平面或者空間是均勻分布的，但是“均勻”這個(gè)詞并不能表達(dá)所有，是在每個(gè)方向上是均勻的嗎？在每條直線上的密度是一樣的嗎？我們能建立直角坐標(biāo)系嗎？如果我們建立了直角坐標(biāo)平面，那么就等于宣布了平面上的點(diǎn)在軸和軸方向上都是均勻的，而且在軸和軸上的“密度”是相同的！我們?cè)谙蜃约旱膶W(xué)生講授函數(shù)知識(shí)的時(shí)候，總是說單調(diào)函數(shù)是從定義域到值域上的一一對(duì)應(yīng)。果真是這樣嗎？下面我也仿照貝特朗悖論，提出下面一個(gè)悖論：首先我們假設(shè)平面內(nèi)的點(diǎn)在軸和軸