貝特朗悖論(幾何概型).doc

1、一個幾何概型試題的題源探究中學教研2010年第09期 第38頁福建中學數(shù)學2010年第05期 第23頁1 題目點為周長等于3的圓周上的一個定點，若在該圓周上隨機取一點，則劣弧的長度小于1的概率為 .（2009年福建省數(shù)學高考文科試題）解：如圖1，另一端點只能在優(yōu)弧上運動，因此所求概率為圖1圖2.2 題源2.1 源于歷史名題初看此題以為是數(shù)學史上得一個經(jīng)典的悖論貝特朗悖論，其實這是一個根據(jù)貝特朗悖論改編的題目.貝特朗悖論：“在半徑為1的圓周上任取兩點，連成一條弦，問弦長超過其內(nèi)接正三角形的邊長的概率是多少？”從不同方向考慮這道試題，可得不同結(jié)果：解法1 如圖2，滿足條件得弦為.不失一般性，先固定

2、其中一點于圓周上，則另一端點只能在弧上運動，因此所求概率.解法2 如圖3，應用對稱性.可預先固定直徑，點為的四等分點.作垂直于直徑的弦，若弦長要大于內(nèi)接正三角形邊長，則半弦長，于是弦心距，即弦的中點須在線段上運動（弦中點與弦一一對應），故所求概率為.圖4圖3解法3 如圖4所示，弦長要大于內(nèi)接正三角形邊長，則半弦長，于是弦心距，即弦中點必須在以為圓心、半徑為的圓內(nèi)或圓上，故所求概率.這導致同一事件有不同概率，因此為悖論.同一問題有3中不同的答案，原因在于取弦時采取不同的等可能性假設(shè)！解法1假設(shè)端點在圓周上是均勻分布的；解法2假設(shè)弦中點在直徑上是均勻分布的；解法3是假設(shè)弦的中點在圓內(nèi)是均勻分布的.

3、這3種解答是針對3種不同的隨機試驗，對于各自的隨機試驗而言，它們都是正確的.因此，在試驗術(shù)語“隨機”、“等可能”、“均勻分布”等時，應明確指明其含義，這又因試驗而異.幾何概率是19世紀末新發(fā)展起來的一門學科，使很多概率問題的解決變得簡單而不用運用微積分的知識。然而，1899年，法國學者貝特朗提出了所謂“貝特朗悖論”（亦稱”貝特朗怪論“），矛頭直指幾何概率概念本身.悖論提出后，在數(shù)學界引起很大震動，促使數(shù)學家理性反思概率論的基礎(chǔ)理論.1932，這個問題才由前蘇聯(lián)的數(shù)學家柯爾莫哥洛夫解決，他在其經(jīng)典的著作概率論基礎(chǔ)中建立了在測度論的基礎(chǔ)上的概率論公理系統(tǒng)，從而把概率論建立在完全嚴格的數(shù)學基礎(chǔ)之上.

4、貝特朗悖論貝特朗概率悖論是一個著名的悖論題，與其他的集合悖論不一樣，這個悖論只是我們看起來“錯”而已，也并沒有像集合悖論一樣帶來一次數(shù)學危機，正確審視它，就是讓我們對“幾何概型”這一概念更加地深入了解而已.“貝特朗悖論問題”：在半徑為1的圓內(nèi)隨機地取一條弦，則其長超過該圓內(nèi)接正三角形的邊長的概率是多少？取單位圓，的內(nèi)接正三角形的邊長等于，取的任一弦長，記“”的事件為.圖2圖1圖3 解法1 因為弦長只和它與圓心的距離有關(guān)，而與方向無關(guān)，因此不妨固定弦的方向，考慮弦與垂直于它的直徑的交點，分別以為一個頂點作圓內(nèi)接正三角形，這兩個正三角形的邊與分別交于點，交點位于上時（如圖1），有弦，否則

5、.由于，.解法2 任何弦都交圓周于兩點，不失一般性，不妨固定弦的一端于圓上，以此點位頂點作一圓內(nèi)接正三角形，弦的另一端在圓周上“隨機地”變動（如圖2），當點落在所夾弧上時，有弦，否則，的長是圓周長的，.解法3 因為弦長被中點唯一確定，在圓內(nèi)“隨機地”取一點作為弦的中點，若，則弦，否則，故點在以為圓心，為半徑的圓內(nèi)（如圖3），而小圓的面積大圓面積的，.貝特朗悖論幾何概率是十九世紀末新發(fā)展起來的一門學科，使很多概率問題的解決變得簡單而不用運用微積分的知識。然而，1899年，法國學者貝特朗提出了所謂“貝特朗悖論”（亦稱”貝特朗怪論“），矛頭直指幾何概率概念本身.在一給定圓內(nèi)所有的弦中任選一條弦,求該

6、弦的長度長于圓的內(nèi)接正三角形邊長的概率.取單位圓，的內(nèi)接正三角形的邊長等于，取的任一弦長，記“”的事件為.1. ,如果, 其發(fā)生的概率為；2. ,如果, 其發(fā)生的概率為. 3. ,如果在半徑為的圓內(nèi)，其發(fā)生的概率為. 悖論分析1）由于對稱性，可預先固定弦的一端。僅當弦與過此端點的切線的交角在 之間，其長才合乎要求.所有方向是等可能的，則所求概率為.此時假定端點在圓周上均勻分布.2）由于對稱性，可預先指定弦的方向.作垂直于此方向的直徑，只有交直徑于點與點間的弦，其長才大于內(nèi)接正三角形邊長。所有交點是等可能的,則所求概率為.此時假定弦的中心在直徑上均勻分布. 3）弦被其中點位置唯一確定.只有當弦的

7、中點落在半徑縮小了一半的同心圓內(nèi)，其長才合乎要求.中點位置都是等可能的,則所求概率為.此時假定弦長被其中心唯一確定. 這導致同一事件有不同概率，因此為悖論.貝特朗悖論幾何概率是十九世紀末新發(fā)展起來的一門學科，使很多概率問題的解決變得簡單而不用運用微積分的知識。在19世紀，人們一度認為任何概率問題都有唯一的解答。然而，1899年，法國學者貝特朗（Joseph Bertrand）提出了所謂“貝特朗悖論”，矛頭直指一些數(shù)學基本概念。貝特朗的這個悖論以及他的概率論對幾何概率的不確定性提出的批評，促使概率論向公理化方向發(fā)展。然而，人類也因此再一次錯失了一次糾偏的大好時機！在半徑為1的圓內(nèi)的所有弦中任選一

8、條弦，求該弦的長度長于圓的內(nèi)接正三角形邊長的概率.解法一：由于對稱性，可預先固定弦的一端。僅當弦與過此端點的切線的交角在之間，其長才合乎要求。所有方向是等可能的，則所求概率為.解法二：由于對稱性，可預先指定弦的方向。作垂直于此方向的直徑，只有交直徑于點與點間的弦，其長才大于內(nèi)接正三角形邊長。所有交點是等可能的,則所求概率為.解法三：弦被其中點位置唯一確定。只有當弦的中點落在半徑縮小了一半的同心圓內(nèi)，其長才合乎要求。中點位置都是等可能的,則所求概率為.三個看似都有道理的解法卻得到了不同的結(jié)果，所以我們稱其為paradox。其實，這些結(jié)果都是對的。因為它們采用了不同的等可能性假定：解法一假定端點在

9、圓上均勻分布；解法二假定半徑在圓內(nèi)均勻分布以及弦的中點在半徑上均勻分布；解法三假定弦的中點在圓內(nèi)均勻分布.這三種解法針對三種不同的隨機實驗，對于各自的隨機實驗它們都是正確的.現(xiàn)在，如果我們假定弦的中點在圓內(nèi)均勻分布。那么前兩種假設(shè)中弦的中點便不是均勻分布了.它們的分布情況如下：解法一的弦中點分布：從貝特朗的這個悖論，我們可以清醒地看到數(shù)學家們對點的分布狀態(tài)影響問題的結(jié)果是有認識的！事實上，貝特朗悖論告訴了我們一個很淺顯的道理：我們在解決一個問題之前，就應該設(shè)定點的分布狀態(tài)。然而，遺憾的是數(shù)學家們不去反省由此悖論反應出來的數(shù)學基礎(chǔ)是否牢固，而總是弄出一大堆理論來試圖亡羊補牢。說句不好聽的話，數(shù)學

10、的公理化是什么？就是如果你說的一大堆謬論沒有自相矛盾，那么恭喜你，你創(chuàng)造了一套理論.現(xiàn)在問題來了！數(shù)學中我們經(jīng)常所說的“點”究竟是什么？平面或者空間中點的分布狀態(tài)到底是怎么樣的？我們一般傾向于假設(shè)點在平面或者空間是均勻分布的，但是“均勻”這個詞并不能表達所有，是在每個方向上是均勻的嗎？在每條直線上的密度是一樣的嗎？我們能建立直角坐標系嗎？如果我們建立了直角坐標平面，那么就等于宣布了平面上的點在軸和軸方向上都是均勻的，而且在軸和軸上的“密度”是相同的！我們在向自己的學生講授函數(shù)知識的時候，總是說單調(diào)函數(shù)是從定義域到值域上的一一對應。果真是這樣嗎？下面我也仿照貝特朗悖論，提出下面一個悖論：首先我們假設(shè)平面內(nèi)的點在軸和軸