離散性隨機變量的均值

1、2 3 1 離散型隨機變量的均值寧波北侖明港高級中學柳勛一、教學內(nèi)容解析離散型隨機變量的均值是隨機變量及其分布第三節(jié)第一小節(jié)的內(nèi)容，本節(jié)課是第一課時 . 本節(jié)課主要的學習任務是從平均的角度引入離散型隨機變量均值的概念，引導學生通過實際問題建立取有限值的離散型隨機變量均值的概念，然后推導出離散型隨機變量均值的線性性質(zhì)E aXbaE Xb 以及離散型隨機變量服從兩點分布的期望E XP 和服從二項分布期望E XnP取有限值的離散型隨機變量的均值是在學生學習完離散型隨機變量及其分布列的概念基礎(chǔ)上，進一步研究離散型隨機變量取值特征的一個方面.學習本節(jié)課的內(nèi)容既是隨機變量分布的內(nèi)容的深化，又是后續(xù)內(nèi)容離散

2、型隨機變量方差的基礎(chǔ)，所以學好本節(jié)課是進一步學習離散型隨機變量取值特征的其它方面的基礎(chǔ) .離散型隨機變量的均值是刻畫離散型隨機變量取值的平均水平的一個數(shù)字特征，是從一個側(cè)面刻畫隨機變量取值的特點 .在實際問題中，離散型隨機變量的均值具有廣泛的應用性 .因此我以為本節(jié)課的重點是：取有限值的離散型隨機變量均值的概念 . 二、教學目標設(shè)置：依據(jù)普通高中數(shù)學課程標準（實驗） 對本節(jié)課的要求，并考慮到學生的實際和學習能力，特將本節(jié)課的教學目標設(shè)定為：1.通過實際問題， 使學生體會離散型隨機變量均值的概念，理解離散型隨機變量均值的線性性質(zhì)，會計算簡單的離散型隨機變量的均值，并能解決一些簡單的實際問題 .2

3、.通過離散型隨機變量均值概念的探究形成，經(jīng)歷建構(gòu)數(shù)學概念這一過程，第 1 頁使學生學會概括、抽象數(shù)學問題的方法，通過簡單的應用，培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識 .重點：離散性隨機變量的均值概念以及求法難點：對離散型隨機變量的均值的理解，并能解決簡單的實際問題。三、學生學情分析本節(jié)課之前，學生已有平均值、概率、離散型隨機變量及其分布列，二項分布及其應用等基礎(chǔ)知識，具備了學習本節(jié)知識的知識儲備 .本節(jié)課是一節(jié)概念新授課，教材從學生熟悉的平均值出發(fā)，從身邊的實際問題中抽象出了取有限值的離散型隨機變量均值的概念，這需要一定的概括和抽象能力.鑒于學生的概括、抽象能力不是太強，因此學生對概念的形成和理解會有一定的

4、困難 .基于以上認識，我以為本節(jié)課的教學難點是：離散型隨機變量均值概念的形成和理解。四、課堂策略分析：本節(jié)課從總體上講是一節(jié)概念教學課 .在教學活動中，學生是一個積極的探索者，教師的作用是要創(chuàng)設(shè)一種學生能夠主動探究的情境，幫助學生形成科學的數(shù)學概念?；谶@種考慮，結(jié)合本節(jié)課知識的邏輯關(guān)系，我設(shè)計了以下的學習順序：溫故知新 引入新課問題引導 講授新課小試牛刀例題講解鞏固新知學以致用 提升自我課堂小結(jié)，鞏固反思五、教學過程 ：（一）、溫故知新引入新課：1、分布列 :設(shè)離散型隨機變量 X 可能取得值為 x1， x2， ，x3 ， ， X 取每一個值 xi（i=1 ，2 ， ）的概率為 P X xi

5、Pi ，則稱表第 2頁Xx1x2xiPP1P2Pi為隨機變量 的概率分布，簡稱 的分布列2、離散型隨機變量的性質(zhì)： （1） Pi0,i1,2,3；（2 ） P1P2pi1（二）、問題引導講授新課：教師：對于離散型隨機變量，可以由它的概率分布列確定與該隨機變量相關(guān)事件的概率。但在實際問題中，有時我們更感興趣的是隨機變量的某些數(shù)字特征。例如，要了解某班同學在一次數(shù)學測驗中的總體水平，很重要的是看平均分；要了解某班同學數(shù)學成績是否“兩極分化”則需要考察這個班數(shù)學成績的方差。我們能否用一些量來刻畫隨機變量的這些數(shù)字特征？問題 1 ：如果你期中考試各門成績?yōu)椋?0 、81、79 、69 、85 、91

6、；那你的平均成績是多少？學生答：（90+81+79+69+85+91）6=82.5教師：得數(shù)是各門學科的平均數(shù)，也就是我們平常所說的算術(shù)平均數(shù)，若有n 個數(shù)據(jù)求平均數(shù)，則有 xx1 x2xn ；n問題 2 ：你的期中數(shù)學考試成績?yōu)?80 ，平時表現(xiàn)成績?yōu)?70 ，學校規(guī)定：在你學分記錄表中，該學期的數(shù)學成績中考試成績占 70% 、平時成績占 30% ，你最終的數(shù)學成績?yōu)槎嗌?？學生答： 80 70%+70 30%=77教師： 77 這個得數(shù)也是一種平均數(shù)，只是在計算平均數(shù)時，我們根據(jù)每個數(shù)據(jù)所占的比重不同在它的前面所乘的系數(shù)也不同，這樣得到的平均數(shù)我們叫做加權(quán)平均數(shù)。一般地，若有 n 個數(shù)據(jù) x

7、1 , x2 , , x 求他們的加權(quán)平均數(shù)，則有：第 3頁xa1 x1a2 x2an xn ， a1a2an1教師：權(quán)：稱棰，權(quán)衡輕重的數(shù)值；權(quán)數(shù)是起權(quán)衡輕重作用的數(shù)值；加權(quán)平均：計算若干數(shù)量的平均數(shù)時， 考慮到每個數(shù)量在總量中所具有的重要性不同，分別給予不同的權(quán)數(shù)。練習：某商場要將單價分別為18 元/kg 、24 元 /kg 、36 元/kg 的 3 種糖果按 3：2 ：1 的比例混合銷售，如何對混合糖果定價才合理？321學生答： x題我們換個角度來看待這個問題，如果我們把混合糖果攪拌充分均勻，從中隨機選取一顆，記X 為這顆糖果所屬種類的單價（元/kg ），你能寫

8、出 X 的分布列嗎？學生：也就是說這個糖果是18 元/kg 的概率為 3 ，為 24元/kg的概率為 2 ，為6636元/kg的概率為 1 ，那：設(shè)混合糖果中各糖果的單價為隨機變量X，那么63 、 2、 1 ；相當于的取值可能是： 18 、24 、36 ；取到各個值的概率分別為：666知道了該離散型隨機變量 X 的分布列：教師：在這里我們發(fā)現(xiàn)糖果X 182436的合理價格合理價格 =18 3 +24 2 +36 1 ，在分布P321列中也有所體現(xiàn)， 其實就是66666618 P(X=18)+24 P(X=24)+36 P(X=36) ，可以說我們所得到的合理價格應該就是 X 取值的一個加權(quán)平均

9、數(shù)，也稱之為離散性隨機變量的均值。教師：如果你買了1kg 這種混合糖果，你要付多少錢？學生： 23 元；教師：而你買的糖果的實際價值剛好是23 元嗎？學生：不一定，看運氣；教師：買的糖果的實際價值其實相當于做了一次抽樣第 4 頁問題：如果你知道了一個離散型隨機變量的分布列：Xx1x2xnPp1p2pn該隨機變量的平均取值應該怎樣計算？學生答： x1p 1+x 2p2+ +x n p n教師：我們稱上式計算所得的加權(quán)平均數(shù)叫做離散型隨機變量X 的均值或者數(shù)學期望，簡稱期望，記為： EX= x 1p 1 +x 2 p 2 + +x n p n它反映了取值的平均水平。注意：該平均數(shù)與以往的平均數(shù)有哪

10、里不同？它是加權(quán)平均。根據(jù)什么來確定權(quán)數(shù)？所取值的概率。思考 :若YaXb (a、b 是常數(shù) )，X 是隨機變量，則Y 也是隨機變量，它們的分布列為Xx1x2xnYax1 bax2 baxn bPp 1p2pn于是 EY ( ax1 b) p1(ax2 b) p2(ax n b) pn由此，我們得到了期望的一個性質(zhì) : E(aX b) aEX b（三）、小試牛刀（基礎(chǔ)訓練）1 、隨機變量 X 的分布列是X357P0.50.30.2（1）則 E(X)=第 5頁（ 2）若 Y=2X+1 ，則 E(Y)=2 、隨機變量 X 的分布列是X46810Pa0.1b0.2E(X)=7 ，則 a=b=（四）、

11、例題講解鞏固新知：例 1 籃球運動員在比賽中每次罰球命中得 1 分，罰不中得 0 分已知某運動員罰球命中的概率為 0.7 ，則他罰球 1 次的得分 X 的均值是多少？小結(jié)：兩點分布變式、籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1 分，罰不中得 0 分已知某運動員罰球命中的概率為0.7 ，他連續(xù)罰球 3 次；（1）求他得到的分數(shù)X 的分布列；（2）求 X 的期望。小結(jié)：二項分布基礎(chǔ)訓練：一袋子里裝有大小相同的3 個紅球和 2 個黃球，從中有放回的取5次，則取到紅球次數(shù)的數(shù)學期望是（用數(shù)字作答）（五）、學以致用提升自我1 .一次英語單元測驗由20 個選擇題構(gòu)成，每個選擇題有4 個選項，其中有且只有一個選項

12、是正確答案，每題選擇正確答案得 5 分，不作出選擇或選錯不得分，滿分 100 分，學生甲選對任一題的概率為 0.9 ，學生乙則在測驗中對每題都從 4 個選項中隨機地選擇一個。求學生甲和乙在這次英語單元測驗中的成績的期望。2 根據(jù)氣象預報，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25, 有大洪水的概率為第 6頁0. 01 該地區(qū)某工地上有一臺大型設(shè)備，遇到大洪水時要損失 60 000 元，遇到小洪水時要損失 10000 元為保護設(shè)備，有以下 3 種方案：方案 1：運走設(shè)備，搬運費為3 800元方案 2：建保護圍墻，建設(shè)費為2 000元但圍墻只能防小洪水方案 3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水試比較哪一種方案好

13、解：用 X1 、X2 和 X3 分別表示三種方案的損失采用第 1 種方案，無論有無洪水，都損失3 800 元，即X1=3800.采用第 2 種方案，遇到大洪水時，損失2 000 + 60 000=62 000元；沒有大洪水時，損失2 000元，即同樣，采用第3 種方案，有于是，EX13 800 ,EX262 000 P (X2 = 62 000 ) + 2 00000P (X2 = 2 000 )= 62019 0. 01 + 2019(1-0.01) = 2 600 ,EX3 = 60000 P (X 3 = 60000) + 10 000 P(X3 =10 000 ) + 0 P (X 3

14、 =0) = 60 000 0.01 + 10000 0.25=3100 .采取方案 2 的平均損失最小，所以可以選擇方案2 .值得注意的是，上述結(jié)論是通過比較“平均損失”而得出的一般地，我們可以這樣來理解“平均損失” ：假設(shè)問題中的氣象情況多次發(fā)生，那么采用方案 2 將會使損失減到最小由于洪水是否發(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機的，所以對于個別的一次決策，采用方案2 也不一定是最好的第 7頁（六）、課堂小結(jié)，鞏固反思：1 、一般地，若離散型隨機變量X 的概率分布為Xx1x2xnPp1p2pn則均值（或數(shù)學期望） ： EXx1 p1 x2p2xn pn，反 映了隨機變量取值的平均水平；2、若 Y

15、 aX b ，則 EY aEXb3、若 X 服從兩點分布，則 E XP4、若 X : B（n,p ）（二項分布），則 E XnP六、課例的點評本節(jié)課教師能合理組織學生自主學習、合作探究，對學生的即時評價具有發(fā)展性和激勵性，做到重組教材，力求讓學生經(jīng)歷探究學習的全過程。主要的學習任務是從平均的角度引入離散型隨機變量均值的概念，引導學生通過實際問題建立取有限值的離散型隨機變量均值的概念，然后推導出離散型隨機變量均值的線性性質(zhì)E aX b aE Xb 以及離散型隨機變量服從兩點分布的期望E X P 和服從二項分布期望 E XnP 。學生能夠自學的內(nèi)容， 教師讓學生自學；學生能夠自己表達的，教師鼓勵學生去表達；學生自己能做的，教師放手讓學生去做。本節(jié)課能夠有效地組織和引導學生開展以探究為特征的研究性學習，環(huán)環(huán)相扣，使接受與探究相輔相成，學生的學習境界更高，學習效果更好。離散型隨