解三角形中的數(shù)學(xué)思想(共12頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)題講座 解三角形問(wèn)題中的數(shù)學(xué)思想中國(guó)數(shù)學(xué)解題研究會(huì) 齊建民1.轉(zhuǎn)化思想常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化方式（1） 邊與角的互化方式（I）：在等式的兩邊或分式的上下可同時(shí)進(jìn)行下列雙向的轉(zhuǎn)化：;如：；例 （2014陜西理16）ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a，b，c，（1）若a，b，c成等差數(shù)列，證明：sinA+sinB=2sin（A+C）；（2），若a，b，c成等比數(shù)列，求cosB的最小值例：（2014江蘇14）若的內(nèi)角滿(mǎn)足,則的最小值是解析：因?yàn)椋视烧叶ɡ砜芍?，所以，又由余弦定理可知（?dāng)且僅當(dāng)，即，可設(shè)，驗(yàn)證等號(hào)成立）方式（2）：用余弦定理實(shí)現(xiàn)邊與角的互化：例1：在三角形中，求

2、證：分析：左邊是邊，很自然地要把右邊的兩個(gè)余弦用余弦定理表示出來(lái)，實(shí)現(xiàn)角與邊的互化：；例2：在三角形中，三邊成等差數(shù)列，求證：分析：要證明的問(wèn)題是關(guān)于角的，而條件是關(guān)于邊的，將邊化為角是自然的； 由已知得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)去等號(hào)，即，故方式（3）：用誘導(dǎo)公式實(shí)現(xiàn)角度的轉(zhuǎn)化，方式（4）：用內(nèi)角的關(guān)系實(shí)現(xiàn)減元，角度的轉(zhuǎn)化；如：若，則應(yīng)用：三角形中，求的最大值例1 在中，若，求證:法1：我們采用分析法，要證明，我們需要什么條件？容易想，即，即，即，若，則易知,滿(mǎn)足；若，則可得；以上是分析法得出思路，再用綜合法寫(xiě)出過(guò)程即可；法2：條件與余弦定理的結(jié)構(gòu)相似，可考慮從余弦定理入手.解：因?yàn)?，所以，即，由正?/p>

3、定理得，因?yàn)椋?，即點(diǎn)評(píng)：本題很關(guān)鍵一點(diǎn)是從條件的結(jié)構(gòu)入手，在解題過(guò)程中，又先后運(yùn)用了化邊為角，消元等思想，體現(xiàn)了解題過(guò)程要不斷向目標(biāo)努力，找到的關(guān)系，所以要消去例2 在A(yíng)BC中，已知，且，求方法1：條件與余弦定理相似，條件與兩角和差正弦類(lèi)似，所以有下面的思路：由與可得；對(duì)條件，可以聯(lián)想到兩角和差公式，可得，即，所以，由可得方法2：本題共2個(gè)條件，一個(gè)是邊的，一個(gè)是角度，而角的可以化為邊的，因此產(chǎn)生下面的解法：解：因?yàn)?，所以，得，又，即，?lián)立，得，所以練習(xí)一1、 已知，求2.（2013新課標(biāo)）在內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知.()求;（2）若,求面積的最大值.o.m 3. （2012大綱）中,已知,

4、求.4、（2014大綱）中，已知，求5、已知.（1）求的值；(2)若，求邊的長(zhǎng)6、在銳角中，則的值等于 ,的取值范圍為 . 7、（08重慶）中，求的值8.中，求的值9、（2010江蘇）在銳角中，則=_10 、在中，已知,求：（1）的值；（2）的值.2.方程思想方程（組）思想，這主要在求值時(shí)應(yīng)用，比如要求1個(gè)（2個(gè)）量，我們就要思考，如何得到含這1（2）個(gè)未知量的方程或方程組，必須注意到，絕大多數(shù)情況下，未知數(shù)的數(shù)量應(yīng)該等于方程的數(shù)量；例1的周長(zhǎng)為，面積是，求的長(zhǎng)解：由條件易得，即，三個(gè)未知數(shù)，兩個(gè)方程顯然是不能解出的，必須再找一個(gè)方程！由，加上這個(gè)，三個(gè)條件就夠了，現(xiàn)在的條件即，解這個(gè)方程還需

5、要一定的技巧；代入解得例2（08遼寧）在中，內(nèi)角對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是，已知，（）若的面積等于，求；（）若，求的面積第一問(wèn)分析：要求，就要找到兩個(gè)含有的方程聯(lián)立，已知，可以通過(guò)余弦定理建立一個(gè)方程，再利用面積構(gòu)造第二個(gè)解：由余弦定理及已知條件得，又因?yàn)榈拿娣e等于，所以，得，將聯(lián)立方程組解得，第二問(wèn)分析：要求三角形面積，由于已知，所以只需求出（整體思路）或與的值，而條件是關(guān)于角的，可以借助正弦定理化為邊的關(guān)系；解：由題意得，即， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，得，由正弦定理得，聯(lián)立方程組解得，綜上，所以的面積 練習(xí)二1、銳角中，（1）求證：；（2）設(shè)，求邊上的高2、（08全國(guó)）設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，且，（）求邊長(zhǎng)；

6、（）若的面積，求的周長(zhǎng)3、在中，角的對(duì)邊分別是，且。（1）若的面積等于，求的值；（2）若，求的面積。4、中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，則。3.函數(shù)思想函數(shù)思想，往往用在求某個(gè)變量的最值或范圍的題目中，我們要求目標(biāo)的范圍，可以考慮選取一個(gè)自變量，設(shè)法得到目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)函數(shù)的值域（最值）問(wèn)題，這種思想廣泛用于高中數(shù)學(xué)中。例1（2011浙江） 在中，若，且，若為銳，求的取值范圍.解：因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，又，即，因?yàn)?，所以，依題意，于是例2中，為上一點(diǎn)，若，求的周長(zhǎng)的最大值解：，所以為正三角形，中，根據(jù)正弦定理可得，因?yàn)?，的周長(zhǎng)為，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)，即時(shí)，的周長(zhǎng)取得最大值

7、練習(xí)三1、中，求的最值2、中，且，（1）判斷三角形的形狀；（2）若，求的取值范圍3、（2010遼寧） ABC中，a, b, c分別為內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊，且 （）求A的大小；（）求的最大值.4、數(shù)形結(jié)合思想例 （2013新課標(biāo)）如圖,在A(yíng)BC中,ABC=90,AB=,BC=1,P為ABC內(nèi)一點(diǎn),BPC=90(1)若PB=,求PA;(2)若APB=150,求tanPBA練習(xí)4DACBE如圖所示，在四邊形中， ，；為邊上一點(diǎn)，.（）求sinCED的值；（）求BE的長(zhǎng)15（本小題共13分）（）設(shè).在中，由余弦定理，得 2分得CD2CD60，解得CD2(CD3舍去) 4分在中，由正弦定理，得6分（

8、）由題設(shè)知，所以 8分而，所以. 11分在中，. 13分練習(xí)題答案練習(xí)一1. 由正弦定理可得，即，整理得，即，因?yàn)椋?、（1）已知得由已知及正弦定理得，又，由和得，則;（2） 三角形面積，由已知及余弦定理得，又，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故三角形面積最大值為3、由正弦定理及可得 ，而，已知即，聯(lián)立即得，因?yàn)?故,所以,故.4、解：得,得5、 答案：解：（1）； （2）可得：sinC = , 6、答案 2，7、解：由余弦定理得故8、解：用余弦定理可得原式的值為29、解：，化簡(jiǎn)可得，由正弦定理，得：上式=.10.法1：注意到已知向量的關(guān)系，可得下面的解法：由，則，即，即，故;法2：求的是邊，所以

9、設(shè)法將已知條件向邊轉(zhuǎn)化：由已知得，由余弦定理得，兩式相加得；（2）練習(xí)二1、（1）將已知兩個(gè)式子展開(kāi)可以求得,兩式相除即可；（2）由可得,結(jié)合，可以求得,設(shè)邊上的高為，則,得2、解：（1）要求，就要得到一個(gè)含的方程（組），題目里出現(xiàn)了，所以從正弦定理入手，;下面我們思考，如何求出，看看現(xiàn)在我們已經(jīng)有了什么條件，3個(gè)未知數(shù)，3個(gè)等式，每一個(gè)都是可以解出的，易得，（2）由，得到由，解得：，最后3、解：（1）因?yàn)椋?，又由余弦定理：，上述兩式?lián)立解得。（2）因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，與聯(lián)立解得，從而。4、得，故，代入，得。（三邊均不可求出，所以考慮以為基本量表示）練習(xí)三1、解：，所以，則，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值為2、解：（1）由已知得，化簡(jiǎn)得，由正弦定理得，由已知得，于是，因?yàn)?，則，所以該三角形是等腰三角形（2），所以，