證明積分不等式的若干方法(共4頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上證明積分不等式的若干方法 摘 要 針對(duì)高等數(shù)學(xué)中的關(guān)于積分不等式的證明題我們可以運(yùn)用拉格朗日微分中值定理、柯西-施瓦茨不等式、黎曼積分性質(zhì)、分部積分法和二重積分性質(zhì)等的方法來(lái)證明. 關(guān)鍵詞 積分不等式； 微分中值定理； 柯西施瓦茨不等式； 黎曼積分性質(zhì)； 泰勒公式 中圖分類(lèi)號(hào)： C35 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 1 引言 積分不等是的證明是大學(xué)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，也是理工科研究生入學(xué)考試中常出現(xiàn)的一類(lèi)題型.證明定積分不等式的問(wèn)題中難度較大，技巧性較高，涉及知識(shí)面較廣，大多數(shù)同學(xué)感到無(wú)從下手，本文結(jié)合若干題型例題給出了一些證明積分不等式的方法以供大家參考. 2 預(yù)備知識(shí)

2、定理2.1（拉格朗日（Lagrange）中值定理）若函數(shù)滿(mǎn)足如下條件： （1）在閉區(qū)間上連續(xù)； （2）在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)， 則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得 定理2.2 （積分中值定理）若在上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)，使得 定理2.3（黎曼積分性質(zhì)）設(shè)為上的可積函數(shù).若，則 定理2.4（柯西施瓦茨（Schwarz）不等式）若和在上可積，則 定理2.5（二重積分性質(zhì)（保號(hào)性）若與在上可積，且 則 3 積分不等式的各種證法 3.1 利用中值定理證明積分不等式 當(dāng)被積函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，并在閉區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)時(shí)，對(duì)拉格朗日中值定理和積分中值定理中帶的項(xiàng)作適當(dāng)?shù)淖兓?，可證得某些積分不等式. 例題1 設(shè)在上連續(xù)且遞減， 求證

3、：當(dāng)時(shí)， 證明 根據(jù)積分中值定理有 其中即因?yàn)檫f減， 則有 又所以 即 3.2 利用柯西施瓦茨不等式證明積分不等式 當(dāng)所求證的不等式中帶有：，或 的形式時(shí)，可用柯西不等式求證. 例題2 若都在上可積，則有閔可夫斯基不等式 證明 由施瓦茲不等式，得 故 3.3 利用黎曼積分性質(zhì)證明積分不等式 利用定積分的比較定理，估值定理和絕對(duì)值不等式等定積分的性質(zhì)分析證明積分不等式. 例題3 設(shè)在上連續(xù)且單調(diào)非增，試證當(dāng)時(shí)有 證明 利用換元積分法與定積分的性質(zhì)有 因?yàn)閱握{(diào)非增所以 于是 即 3.4 利用二重積分不等式證明積分不等式 我們注意到，這里 ，因此 ， 可用來(lái)證明含雙積分號(hào)的不等式. 例題4 設(shè)在上連

4、續(xù)，證明不等式 證明 由二重積分的保號(hào)性可得 其中 4 總結(jié) 本文給出了積分不等式的幾種證明方式，可以幫助我們?cè)诙唐趦?nèi)對(duì)照歸納，總結(jié)經(jīng)驗(yàn).再通過(guò)例題達(dá)到融會(huì)貫通，舉一反三的能力. 參 考 文 獻(xiàn) 1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析（上）M.北京高等教育出版社， 2徐新亞，夏海峰.數(shù)學(xué)分析選講M.上海同濟(jì)大學(xué)出版社， 3胡 克. 解析不等式的若干問(wèn)題M. 武漢武漢大學(xué)出版社， 4徐利治.數(shù)學(xué)分析的方法及例題解析M.大連大連理工大學(xué)出版社， 5匡繼昌.常用不等式（第三版）M.濟(jì)南山東科學(xué)技術(shù)出版社， 6孫清華，孫昊.數(shù)學(xué)分析疑難分析與解題方法（上）M.武漢華中科技大學(xué)， 7海 杰. 一道積分不等式的四種證法J.高等數(shù)學(xué)研究J， 8 華東師范大學(xué)數(shù)