平行線的性質(zhì)知識(shí)講解

1、平行線的性質(zhì)（基礎(chǔ)）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 掌握平行線的性質(zhì)公理、定理，并能依據(jù)平行線的性質(zhì)公理、定理逬行簡單的推解；2. 了解并掌握平行線的性質(zhì)定理的探究過程；3. 了解平行線的判定與性質(zhì)的區(qū)別和聯(lián)系【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、平行線的公理、定理公理：兩條平行線被第三條直線所截，得到的同位角相等（簡記為：兩直線平行，同位角相等）定理：兩條平行線被第三條直線所截，得到的內(nèi)錯(cuò)角相等（簡記為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）定理：兩條平行線被第三條直線所截，得到的同旁內(nèi)角互補(bǔ)（簡記為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.要點(diǎn)詮釋：（1 ） ”同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等”、“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”都是平行線的性質(zhì)的一部分內(nèi)容，切不可

2、忽 視前提“兩直線平行”.（2）從角的矢系得到兩直線平行，是平行線的判定；從平行線得到角相等或互補(bǔ)矢系，是平行線的性質(zhì)要點(diǎn)二、平行線的性質(zhì)定理的探究過程1. 兩條平行線被第三條直線所截，得到的內(nèi)錯(cuò)角相等（簡記為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）因?yàn)閍 / b,所以/ 1 =Z2 （兩直線平行，同位角相等），又/ 3=/ 1 （對(duì)頂角相等）所以/ 2=/3.2.同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩條平行線被第三條直線所截，得到的 （簡記為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.因?yàn)閍/ b,所以/ 3=/ 2 （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）又/ 3+/仁180° （補(bǔ)角的定義），所以/ 2+/仁180° .因?yàn)楣硎侨?/p>

3、們在生產(chǎn)要點(diǎn)詮釋：平行線性質(zhì)定理的證明，要借助平行線線性質(zhì)公理，和生活中總結(jié)出來的正確的結(jié)論，不需要證明，但是定理、性質(zhì)或推論到的證明其正確性 要點(diǎn)三、平行線的性質(zhì)與判定（1）平行線的判定是由角的數(shù)量矢系判斷兩直線的位置矢系平行線的性質(zhì)是由平行矢系來尋找角的數(shù)量 尖系.（2）應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時(shí)，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆.（3）平行線的判定與性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別區(qū)別：性質(zhì)由形到數(shù)，用于推導(dǎo)角的矢系并計(jì)算；判定由數(shù)到形，用于判定兩直線平 行.聯(lián)系：性質(zhì)與判定的已知和結(jié)論正好相反，都是角的矢系與平行線相尖.（4）輔助線規(guī)律，經(jīng)常作出兩平行線平行的直線或作出聯(lián)系兩直線的截線，構(gòu)造出三類角.

4、【典型例題】類型一、平行線的性質(zhì)公理、定理的應(yīng)用1.如圖所示，如果AB/ DF, DE/ BC,且/ 1二65。.那么你能說出/ 2、/ 3、/ 4的度數(shù)嗎？為什么.【思路點(diǎn)撥】本題已知條件中，包含了兩個(gè)層次：第一層次是由DE/ BC,可得/ 1 = / 4,/ 1+/ 2二180'；第二層次是由DF/AB可得/ 3二/ 2或1 3+/ 4= 180°,從而解出/ 2、/ 3、/ 4的度數(shù).【答案與解析】解：DE / BC,/ 4二/ 1二65° （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）./ 2+/ 1 = 180 6 （兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）./ 2= 180 °

5、 - / 1 = 180° -65 ° = 115 ° .又DF / AB （已知）»/ 3=/ 2 （兩直線平行，同位角相等）./ 3二115 ° （等量代換）.【總結(jié)升華】平行線的性質(zhì)：由兩條直線平行的位置矢系得到兩個(gè)相尖角的數(shù)量矢系.舉一反三：【變式】（2015?永州）如圖，/ 1= / 2,/ A=60。則/ ADC= 度.【答案】解：/ 1 = / 2,二AB / CD ,/ A+/ADC=180 °/ A=60 °/ ADC=120 ° 故答案為:120°2. 如圖，一條鐵路修到一個(gè)村子邊時(shí)，

6、需拐彎繞道而過，如果第一次拐的 角/ A是105度，第二次拐的角/ B是135度，第三次拐的角是/ C,這時(shí)的道路 恰好和第一次拐彎之前的道路平行，那么/ C應(yīng)為多少度？【思路點(diǎn)撥】過點(diǎn)B作直線BE/ CD用“兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等”和“兩直線 平行同旁內(nèi) 角互補(bǔ)”解答.【答案與解析】解：過點(diǎn)B作直線BE/ CDCD/AF, BE/ CD/ AF./ A=Z ABE=105./ CBE=/ ABC-/ ABE=30 . 又BF/ CD/ CBE+Z C=18C ,/ C=15C【總結(jié)升華】此題是一道生活實(shí)際問題，根據(jù)題目信息,轉(zhuǎn)化為矢于平行線性質(zhì)的數(shù)學(xué)問題.03.已知，如圖，AB/ CD BE/

7、 FD.求證：Z B+Z D=180B+/FD【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/B=/ 1 , / 1+/ D=18Ca，等量代換即可證明/D=18C° .【答案與解析】證明： AB/CD （已知），/ B=/ 1 （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）. / BE/ FD （已知），/ 1+/ D=18C6 （兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）/ B+Z D=180 (等量代換)【總結(jié)升華】 此題主要考查平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò) 角相等.舉一反三【變式】如圖，AB/ CD CE平分Z ACD若Z 1=25,Z2的度數(shù).【答案】解：CE平分Z ACDZ仁25。， ZECD

8、Z1=25°,“ AB/ CD Z ECD-Z 2=180°,線，其實(shí)并不難）4 -（2016春？秦皇島期末）如圖，AB/ CD分別探討下面四個(gè)圖形中Z APC與Z PAB （適當(dāng)添加輔助zPCD的矢系，請你從所得到的矢系中任選一個(gè)加以說明.【思路點(diǎn)撥】矢鍵過轉(zhuǎn)折點(diǎn)作出平行線，角性根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等/或結(jié)合三角形的外質(zhì)求證即可.【答案與解析】 如圖:(1 )Z APCZ PAB-Z PCD證明：過點(diǎn) P 作 PF/ AB 貝 U AB/ CD/ PF, /APC=/ PAB+Z PCD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）（2）Z APCZ PAB+Z PCD=360 ;（3

9、）Z APCZ PAB-Z PCD（4）: AB/ CD Z POBZ PCDZ POB是厶AOP的外角， Z APC-Z PABZ POB Z APCZ POB-Z PAB Z APCZ PCD-Z PAB【總結(jié)升華】兩直線平行時(shí)，應(yīng)該想到它們的性質(zhì)，由兩直線平行的矢系得到角之間的數(shù)量矢系，從而達(dá)到解決 問題的目的.5.如圖是大眾汽車的標(biāo)志圖案，其中蘊(yùn)涵著許多幾何知識(shí)根據(jù)下面的條件完成證明.已知：如圖，BC/ AD BE/ AF.（1）求證：ZA=ZB;（2）若/ DOB=135 »求Z A的度數(shù).A=ZB.A=180° ZDOE【思路點(diǎn)撥】（1）由平行線的性質(zhì)（兩直線平

10、行，同位角相等）可得Z（2）由平行線的性質(zhì)（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）可得Z【答案與解析】解：（1） BC/ AD, Z B=Z DOE又 BE/AF, Z DOEZ A, Z A=Z B.（2）： Z DOBZ EOA 由 BE/ AF,得 Z EOA+Z A=180。又 ZDOB=135, Z A=45 .【總結(jié)升華】本題考查的是平行線的性質(zhì)，主要是考查學(xué)生把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的能力，要結(jié)合實(shí)際圖象 畫出數(shù)學(xué)圖形，再運(yùn)用平行線的性質(zhì)來解決.舉一反三【變式】已知：如圖，BD/ AF/ CE, Z ABD=60 , Z ACE=36 , AP是Z BAF的平分線，求ZPAC的度數(shù).【答案】 解： BD/ AF,/ ABD=60 ,/ BAF=/ ABD=60 ,/ AP 平分/ BAF1./ PAF= / BAF=30 ,2又 AF/ CE / ACE=36 , / CAF=/ ACE=36 . / PAC/ PAF+/ CAF=30 +36° =66°類型二、平行的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用6、如圖所示，A EF,那么/ BAC+/ ACE+/ CEF=A. 180B270°C360D 540°【答案】C【解析】過點(diǎn)C作CD/ AB,CD / AB/BAC/ ACD=180（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ))又/ EF / ABEF