期權(quán)定價(jià)數(shù)值方法

1、第20章基本數(shù)值方法 20.1 二叉樹20.2 采用二叉樹對股指、貨幣與期貨期權(quán)定價(jià)20.3 對于支付股息股票的二叉樹模型20.4 構(gòu)造樹形的其他方法20.5 參數(shù)依賴于時(shí)間的情形20.6 蒙特卡羅模擬法20.7 方差縮減程序20.8 有限差分法第20章 基本數(shù)值方法1、從開始的 上升到原先的 倍，即到達(dá) ； 2、下降到原先的 倍，即 。 時(shí)間內(nèi)資產(chǎn)價(jià)格的變動時(shí)間內(nèi)資產(chǎn)價(jià)格的變動SuSudSd 把期權(quán)的有效期分為很多很小的時(shí)間間隔 ，并假設(shè)在每一個(gè)時(shí)間間隔 內(nèi)證券價(jià)格只有兩種運(yùn)動的可能：t t其中 ， .如圖所示。價(jià)格上升的概率假設(shè)為 ，下降的概率假設(shè)為 。1u 1d p1pt相應(yīng)地，期權(quán)價(jià)值

2、也會有所不同，分別為 和 。ufdf20.1 二叉樹 構(gòu)造投資組合包括 份股票多頭和1份看漲期權(quán)空頭 當(dāng) 。則組合為無風(fēng)險(xiǎn)組合SuuSdfd 此時(shí) 因?yàn)槭菬o風(fēng)險(xiǎn)組合，可用無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)，得r tuSfSufe 將 代入上式就可得到：udffSuSd 1r tudfepfp f 其中 dudeptr無套利定價(jià)法：無套利定價(jià)法：udffSuSd在對衍生產(chǎn)品定價(jià)時(shí)，可以假定世界是風(fēng)險(xiǎn)中性的。在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里：（1）所有可交易證券的期望收益都是無風(fēng)險(xiǎn)利率；（2）未來現(xiàn)金流可以用其期望值按無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)。20.1.1 20.1.1 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下, 參數(shù)值滿足條件：SdppS

3、uSetr)1 ( dppuetr)1 ( 假設(shè)證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動，則：22222222(1)(1) StpS up S dSpup d 2222)1 ()1 (dppudpput再設(shè)定： （第三個(gè)條件的設(shè)定則可以有所不同， 這是Cox、Ross和Rubinstein所用的條件） 1/ud由以上三式可得，當(dāng) 很小時(shí)：tdudeptrteuted從而 1r tudfepfp f 以上可知，無套利定價(jià)法和風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法具有內(nèi)在一致性。20.1.2 20.1.2 確定確定p,u,dp,u,d 一般而言，在 時(shí)刻，證券價(jià)格有 種可能，它們可用符號表示為：ti1ijijduS0 其中0,1,ji

4、由于 ，使得許多結(jié)點(diǎn)是重合的，從而大大簡化了樹圖。 1ud20.1.3 20.1.3 資產(chǎn)價(jià)格的樹形資產(chǎn)價(jià)格的樹形 得到每個(gè)結(jié)點(diǎn)的資產(chǎn)價(jià)格之后，就可以在二叉樹模型中采用倒推定價(jià)法，從樹型結(jié)構(gòu)圖的末端T時(shí)刻開始往回倒推，為期權(quán)定價(jià)。 如果是歐式期權(quán)，可通過將 時(shí)刻的期權(quán)價(jià)值的預(yù)期值在 時(shí)間長度內(nèi)以無風(fēng)險(xiǎn)利率 貼現(xiàn)求出每一結(jié)點(diǎn)上的期權(quán)價(jià)值； 如果是美式期權(quán)，就要在樹型結(jié)構(gòu)的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)上，比較在本時(shí)刻提前執(zhí)行期權(quán)和繼續(xù)再持有 時(shí)間，到下一個(gè)時(shí)刻再執(zhí)行期權(quán)，選擇其中較大者作為本結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值。例例20-1 DerivaGem20-1 DerivaGem示范示范 Ttrt20.1.4 20.1.4 通過

5、樹形倒推計(jì)算通過樹形倒推計(jì)算 假設(shè)把一期權(quán)有效期劃分成N個(gè)長度為 的小區(qū)間，同時(shí)用 表示結(jié)點(diǎn) 處的證券價(jià)格可得（以看漲期權(quán)為例）： 其中假定期權(quán)不被提前執(zhí)行，則： （表示在時(shí)間 時(shí)第j個(gè)結(jié)點(diǎn)處的歐式看漲期權(quán)的價(jià)值）若有提前執(zhí)行的可能性，則：tjijduS0),(ji0,1,jN1,11,(1)r tijijijfepfp f )0 ,0(ijNiti20.1.5 20.1.5 代數(shù)表達(dá)式代數(shù)表達(dá)式)0 ,max(0,KduSfjNjjN)1 (,max, 11, !0,jijitrjNjjifppfeKduSf)(5 . 0)/()()/()(20202000, 21 , 20201 , 22

6、, 2dSuSdSSffSuSffdSuSff000, 11 , 1ff*tff20, 01 , 220.1.6 20.1.6 估計(jì)估計(jì)Delta與其他希臘值與其他希臘值 dppuetqr)1 ()(dudeptqr )(teuted20.2 采用二叉樹對股指、貨幣與期貨期權(quán)進(jìn)行定采用二叉樹對股指、貨幣與期貨期權(quán)進(jìn)行定價(jià)價(jià) 當(dāng)對股指、貨幣和期貨上的期權(quán)定價(jià)時(shí)，可以將這些標(biāo)的資產(chǎn)看作是提供已知收益率的資產(chǎn)。對于股指而言，收益率就是股指中股票組合的股息收益率；對于貨幣而言，收益率等于外幣無風(fēng)險(xiǎn)利率；對于期貨合約而言，收益率等于無風(fēng)險(xiǎn)利率。Derivagem求解例求解例20-3，20-4假設(shè)股息離散

7、支付，股息收益率已知 可通過調(diào)整在各個(gè)結(jié)點(diǎn)上的股票價(jià)格，算出期權(quán)價(jià)格； 如果時(shí)刻 在除權(quán)日之前，則結(jié)點(diǎn)處股票價(jià)格仍為： 如果時(shí)刻 在除權(quán)日之后，則結(jié)點(diǎn)處證券價(jià)格相應(yīng)調(diào)整為： 若在期權(quán)有效期內(nèi)有多個(gè)已知紅利率，則 時(shí)刻結(jié)點(diǎn)的相應(yīng)的證券價(jià)格為： （ 為0時(shí)刻到 時(shí)刻之間所有除權(quán)日的總紅利支付率）ijdSujij, 1 , 0,titijijduS)1 (0,1,jijijiduS)1 (tii20.3 對于支付股息股票的二叉樹模型對于支付股息股票的二叉樹模型20.3.1 20.3.1 股息收益率是已知的情形股息收益率是已知的情形ti20.3.2 20.3.2 已知股息數(shù)量的情形已知股息數(shù)量的情形

8、在某些情形下，尤其是當(dāng)期權(quán)的期限很短時(shí)，最符合現(xiàn)實(shí)的做法是假設(shè)已知股息支付的數(shù)量而不是股息收益率。假設(shè)股票波動率 為常數(shù)，二叉樹的形狀如下圖所示。 將股票價(jià)格分為兩個(gè)部分：一部分是不確定的；另一部分是期權(quán)有效期內(nèi)所有未來股息的貼現(xiàn)值。假設(shè)在期權(quán)有效期內(nèi)只有一個(gè)除息日，則在時(shí)刻 不確定部分的價(jià)值為：*()()S i tS i t 當(dāng) 時(shí)i t *()()()ri tS i tS i tDe 當(dāng) 時(shí)（D為股息）i t 對于原股票價(jià)格S的二叉樹，在 時(shí)刻：當(dāng) 時(shí)，股票價(jià)格為：當(dāng) 時(shí)，股票價(jià)格為：tii t *()0jijri tS u dDe ti*0jijS u d0,1,ji（ 為零時(shí)刻的 值）

9、例例20-520-5*0S*Sti 基本原理：期權(quán)A和期權(quán)B的性質(zhì)相似，我們可以得到期權(quán)B的解析定價(jià)公式，而只能得到期權(quán)A的數(shù)值方法解。假設(shè)： （ 代表期權(quán)B的真實(shí)價(jià)值， 表示關(guān)于期權(quán)A的較優(yōu)估計(jì)值， 和 表示用同一個(gè)二叉樹、相同的蒙特卡羅模擬或是同樣的有限差分過程得到的估計(jì)值）則期權(quán)A 的更優(yōu)估計(jì)值為： BBffAAffBfAfAfBfAAffBBff20.3.3 20.3.3 控制變量技術(shù)控制變量技術(shù)pud1ud0.5p 222r qttue 222r qttde 該方法優(yōu)點(diǎn)在于無論 和 如何變化，概率總是不變的缺點(diǎn)在于二叉樹圖中的中心線上的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格不會再和初始中心值相等。 t20.4

10、 構(gòu)造樹形的其他方法構(gòu)造樹形的其他方法 CRR方法并不是構(gòu)造二叉樹的唯一方法，在確定參數(shù) 、 和 時(shí)，不再假設(shè) ，而令 ，可得： 三叉樹圖 每一個(gè)時(shí)間間隔 內(nèi)證券價(jià)格有三種運(yùn)動的可能：1、從開始的 上升到原先的 倍，即到達(dá) ；2、保持不變，仍為 ；3、下降到原先的 倍，即tSuSuSdSd 假定股票支付股息收益率q，以下參數(shù)可保證樹形的均值和標(biāo)準(zhǔn)差與股票價(jià)格的均值和標(biāo)準(zhǔn)差相吻合3 tue1du2211226dtprq 2211226utprq23mp )(tf1、利率是時(shí)間依賴的情形 假設(shè) ，即在時(shí)刻 的結(jié)點(diǎn)上，其應(yīng)用的利率等于 到 時(shí)間內(nèi)的遠(yuǎn)期利率，則： rf ttttt f ttedpud

11、 1f ttuepud這一假設(shè)并不會改變二叉樹圖的幾何形狀，改變的是上升和下降的概率，所以我們?nèi)匀豢梢韵笠郧耙粯訕?gòu)造出二叉樹圖，不同的是貼現(xiàn)時(shí)用2、波動率依賴于時(shí)間20.5 參數(shù)依賴于時(shí)間的情形參數(shù)依賴于時(shí)間的情形Monte Carlo: Based On Probability & Chance基本思路：由于大部分期權(quán)價(jià)值實(shí)際上都可以歸結(jié)為期權(quán)到期回報(bào)(payoff)的期望值的貼現(xiàn)；因此，盡可能地模擬風(fēng)險(xiǎn)中性世界中標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的多種運(yùn)動路徑，計(jì)算每種路徑結(jié)果下的期權(quán)回報(bào)均值，之后貼現(xiàn)就可以得到期權(quán)價(jià)值。20.6 蒙特卡羅模擬法蒙特卡羅模擬法等價(jià)形式重復(fù)以上的模擬至足夠大的次數(shù)，計(jì)算回

12、報(bào)值的平均值，重復(fù)以上的模擬至足夠大的次數(shù)，計(jì)算回報(bào)值的平均值，折現(xiàn)后就得到了期權(quán)的期望值折現(xiàn)后就得到了期權(quán)的期望值（ 是從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中抽取的一個(gè)隨機(jī)樣本）SdzSdtds假定在風(fēng)險(xiǎn)世界中，標(biāo)的市場變量服從 ，為了模擬變量S的路徑，將期權(quán)期限分割成N個(gè)長度為 的小區(qū)間，其近似方程為： 實(shí)際中，對lns進(jìn)行模擬結(jié)果更準(zhǔn)確。由伊藤引理，tttSttStSttS)()()()(dzdtsd)2(ln2因此，tttSttS)2()(ln)(ln2)2exp()()(2tttSttS1、當(dāng)回報(bào)僅僅取決于到期時(shí) 的最終價(jià)值時(shí)，可直接用一個(gè)大步（ ）（假設(shè)初始時(shí)刻為零時(shí)刻）來多次模擬最終的資產(chǎn)價(jià)格，得到期

13、權(quán)價(jià)值：S0T 2、當(dāng)回報(bào)依賴于多個(gè)市場變量時(shí)每次模擬運(yùn)算中對每個(gè)變量的路徑都必須進(jìn)行抽樣，從樣本路徑進(jìn)行的每次模擬運(yùn)算可以得出期權(quán)的終值。 的離散過程可以寫為：i（期權(quán)依賴于 個(gè)變量 ， 為 的波動率， 為 在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的期望增長率， 為 和 之間的瞬間相關(guān)系數(shù)） iiiiiiitttmttstt n1iin isiimiikik)2exp()0()(2TTSTS20.6.1 20.6.1 多個(gè)標(biāo)的變量的情形多個(gè)標(biāo)的變量的情形 的產(chǎn)生：是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的一個(gè)隨機(jī)數(shù)。如果只有一個(gè)單變量，EXCEL中的指令=NORMSINV(RAND()用來產(chǎn)生一元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)樣本。如果要產(chǎn)生n元聯(lián)

14、合正態(tài)分布的隨機(jī)抽樣，用喬里斯基分解。如果對衍生產(chǎn)品價(jià)格的估計(jì)值要求95的置信度，則期權(quán)價(jià)值應(yīng)（ 是進(jìn)行運(yùn)算的個(gè)數(shù)， 為均值， 是標(biāo)準(zhǔn)差）1.961.96fMMM20.6.2 20.6.2 由正態(tài)分布中抽樣由正態(tài)分布中抽樣20.6.3 20.6.3 模擬次數(shù)模擬次數(shù) 在每個(gè)節(jié)點(diǎn)，取01隨機(jī)數(shù)，隨機(jī)數(shù)P,選擇上升分支，否則，選擇下降分支。到達(dá)下個(gè)節(jié)點(diǎn)后，重復(fù)上述過程直到到達(dá)樹圖末端。（例20-9）fxff*fxx其中， 為標(biāo)的變量價(jià)格或參數(shù)， 為一般蒙特卡羅法計(jì)算的衍生產(chǎn)品價(jià)格， 為將 值增加 時(shí)計(jì)算出的衍生產(chǎn)品新價(jià)格。為減小標(biāo)準(zhǔn)誤差，計(jì)算這兩次衍生產(chǎn)品價(jià)格時(shí)，選用的時(shí)間區(qū)間個(gè)數(shù)N,選用的隨機(jī)樣

15、本、模擬運(yùn)算的次數(shù)M都必須相同x20.6.5 20.6.5 計(jì)算希臘值計(jì)算希臘值20.6.4 20.6.4 通過樹形取樣通過樹形取樣主要優(yōu)點(diǎn)： 1. 可以給出估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)誤差，可以處理復(fù)雜的收益形式。 2. 可用于收益為變量所遵循的整個(gè)路徑的函數(shù)，而不只是變量最終值函數(shù)的情形。主要缺點(diǎn)：1. 只能為歐式期權(quán)定價(jià)，難以處理提前執(zhí)行的情形。2. 為了達(dá)到一定的精確度，一般需要大量的模擬運(yùn)算。20.6.6 20.6.6 應(yīng)用應(yīng)用（一）對偶變量技術(shù)(antithetic variable technique)（二）控制變量技術(shù)(control variate technique)（三）重點(diǎn)抽樣法(im

16、portant sampling)（四）間隔抽樣法(stratified sampling)（五）矩匹配法(moment matching)（六）利用偽隨機(jī)數(shù)(quasi-random sequency)20.7 方差縮減程序方差縮減程序222212fffrSSrftSS轉(zhuǎn)化為一系列近似的差分方程，之后用迭代法求解，得到期權(quán)價(jià)值。20.8 有限差分法有限差分法有限差分方法的主要思想是：應(yīng)用有限差分方法將衍生證券所滿足的偏微分方程有限差分網(wǎng)格 的近似 對于坐標(biāo)方格內(nèi)部的點(diǎn) ，期權(quán)價(jià)值對資產(chǎn)價(jià)格的一階導(dǎo)數(shù)可以用三種差分來表示： 、 和 的近似 對于 點(diǎn)處的 ，我們則采取前向差分近似以使 時(shí)刻的值和

17、 時(shí)刻的值相關(guān)聯(lián)： 的近似 點(diǎn) 處的 的后向差分近似為 ，因此點(diǎn)處期權(quán)價(jià)值對標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的二階差分為fS, i j,1,i ji jffS,1i ji jffS,1,12i ji jffSft, i jfti t1it1,iji jffftt22fS,1i j fS,1,i ji jffS,1,12,1,1,222i ji ji ji ji ji ji jfffffffSSfSSS1.下面介紹一下 、 和 的差分近似ftfS22fS20.8.1 20.8.1 隱式有限差分法隱式有限差分法1,.,2 , 1Mj把以上三個(gè)近似代入布萊克舒爾斯偏微分方程，整理得到：其中， ,1,11,ji jji

18、jji jija fb fc ff221122jarj tjt 221jbjtr t 221122jcrj tjt 0,1,.,1iN2.差分方程 時(shí)刻看跌期權(quán)的價(jià)值為 其中 當(dāng)股票價(jià)格為零時(shí)，下方邊界上所有格點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值： 當(dāng)股票價(jià)格趨于無窮時(shí) T,max,0N jTfXSTSj S 0,1,.,jM0S ,0ifX0,1,.,iN,0i Mf0,1,.,iN3.邊界條件聯(lián)立 個(gè)方程： 和 時(shí)， 時(shí)， 時(shí)，解出每個(gè) 的期權(quán)價(jià)值最后可以計(jì)算出 ，當(dāng) 等于初始資產(chǎn)價(jià)格時(shí)，該格點(diǎn)對應(yīng)的 就是我們要求的期權(quán)價(jià)值。 1M 1,11,1,1,jNjjNjjNjN ja fb fc ff1,.,1jM0j

19、 1,0NfXjM1,0NMf1,Njf0, jfj SNi ,max,0N jTfXS4.求解期權(quán)價(jià)值 隱式差分法可以理解為從格點(diǎn)圖內(nèi)部向外推知外部格點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值。如圖所示：顯式有限差分法： 其中， 即直接從 時(shí)刻的三個(gè)相鄰格點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值求出 時(shí)刻資產(chǎn)價(jià)格為 時(shí)的期權(quán)價(jià)值，可理解為從格點(diǎn)圖外部推知內(nèi)部格點(diǎn)期權(quán)價(jià)值的方法*,1,11,1,1i jjijjijjijfa fb fc f*22111122jarj tjtr t *22111jbjtr t *22111122jcrj tjtr t 1iti tj S20.8.2 20.8.2 顯式有限差分法顯式有限差分法1ZnS以lns為標(biāo)的變量代

20、替以s為標(biāo)的變量，定義 微分方程變?yōu)椋横槍設(shè)定等距離網(wǎng)格，隱式法中，微分方程變?yōu)?222122fffrqrftzz21,1,1,1,1,2,221222iji ji ji ji ji ji ji jfffffffrqrftzz即,1,11 ,jijjijjijijffff其中221jtrtz 222222jttrqzz 20.8.3 20.8.3 變量替換變量替換222222jttrqzz21,1,11,11,11,11,2,221222iji jijijijijiji jfffffffrqrftzz*1,11,1,1,jijjijjiji jffff2*2211222jttrqr tzz 顯示法中，差分方程為即其中*22111jtr tz 2*2211222jttrqr tzz 1.跳格法（hopscotch method）2.Crank-Nicolson法20.8.5 20.8.5 其